贵州省贵阳市普通中学2022-2023学年高一下学期期末监测数学试题

这是一份贵州省贵阳市普通中学2022-2023学年高一下学期期末监测数学试题，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

贵州省贵阳市普通中学2022-2023学年高一下学期期末监测数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．设为虚数单位，则（    ）
A．1 B． C．－1 D．
2．平面直角坐标系中，已知，，，则（    ）
A． B． C． D．
3．已知事件，互斥，若，.则（    ）
A． B． C． D．
4．已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（    ）
A．若，∥，则 B．若∥，，则
C．若，，则∥ D．若，，则
5．已知直角三角形三边长分别为3，4，5，以其中一条边所在直线为轴旋转一周后得到一个几何体，则该几何体的最大体积为（    ）
A． B． C． D．
6．从正五边形的5个顶点中任取3个构成三角形，则所得三角形是锐角三角形的概率为（    ）
A． B． C． D．
7．在中，角，，的对边分别为，，.已知，，，则（    ）
A． B． C．3 D．
8．利用向量方法研究函数（，，不同时为0），过程如下：设，，则.所以当与方向相同时，取到最大值，当与方向相反时，取到最小值；根据以上研究，下列关于函数的结论正确的是（    ）
A．最大值为5，取到最大值时
B．最大值为5，取到最大值时
C．最大值为，取到最大值时
D．最大值为，取到最大值时

二、多选题
9．已知复数的共轭复数为，则下列说法正确的是（    ）
A．一定是实数 B．一定是实数
C．一定是纯虚数 D．
10．底面为平行四边形的四棱柱称为平行六面体，连接平行六面体不在同一面上两个顶点的线段称为平行六面体的体对角线.以下关于平行六面体的命题，正确的是（    ）

A．平行六面体的4条体对角线交于一点且互相平分
B．平行六面体的8个顶点在同一球面上
C．平行六面体的4条体对角线长的平方和等于所有棱长的平方和
D．各棱长均为1的平行六面体中，，则体对角线的长为

三、填空题
11．已知平面向量，满足，，与的夹角为60°，则 .
12．甲、乙两名学生通过某种听力测试的概率分别为，若两人同时参加测试，则有且只有一人能通过的概率是 .
13．一个圆台的上、下底面圆周在同一球面上，已知圆台上、下底面的半径分别为3cm和4cm，球的表面积为，则该圆台的高为 cm.

四、双空题
14．某校采用比例分配分层随机抽样采集了高一年级学生的身高情况，部分统计数据如下：
性别
样本量
样本平均数
样本方差
男
100
170
22
女
100
160
38
则估计该校高一年级的全体学生的身高平均数为 ，方差为 .（注：由人教版高中数学必修第二册习题9.2拓广探索可知以下结论：已知总体划分为两层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，；，，.记总的样本平均数为，样本方差为，则）
15．魏晋时期的刘徽在其所撰《海岛算经》中，运用二次测望法解决实际测量问题，是世界测量学上取得的伟大成就.某数学学习小组受《海岛算经》中“望山松”一题的启发，进行了如下测量实践活动：如图，为测量山顶松树的高，在山底所在水平面内，选择、两点，使、、三点在同一直线上，在点测得点和点的仰角分别为60°、45°，在点测得点的仰角为30°，测得基线的长为100米.由以上测量数据可得出：①松树的高 米（精确到0.1）；②和分别是人在点和点观测松树的视角，其大小关系为： （填“>”，“<”或“=”）.（参考数据：，）


五、解答题
16．如图，在平行四边形中，，，满足，，，设，.
  
(1)用，表示，；
(2)若，求.
17．某企业生产口罩、防护服、消毒水等物品，在加大生产的同时，该公司狠抓质量管理，不定时抽查口罩，该企业质检人员从所生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下六组：，，，…，，得到如下频率分布直方图.
  
(1)求出直方图中的值；
(2)利用样本估计总体的思想，估计该企业所生产的口罩的质量指标值的中位数（精确到0.01）；
(3)规定：质量指标值小于70的口罩为二等品，质量指标不小于70的口罩为一等品.采用样本量比例分配的分层随机抽样，从该企业所抽取的100个口罩中抽出5个口罩，其中一等品和二等品分别有多少个？
18．的内角的对边分别为，且满足.
(1)求的大小；
(2)若为钝角三角形，且，，求的面积.
19．如图，四面体中，，，，点在上，为的中点.
  
(1)证明：平面平面；
(2)若，，四面体的体积为，若恰为二面角的平面角，求的面积.
20．阅读材料：材料一：我国南宋的数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”：若把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜，记小斜为，中斜为，大斜为，则三角形的面积为.这个公式称之为秦九韶公式；材料二：古希腊数学家海伦在其所著的《度量论》或称《测地术》；中给出了用三角形的三条边长表示三角形的面积的公式，即已知三角形的三条边长分别为，则它的面积为，其中，这个公式称之为海伦公式；材料三：秦九韶公式和海伦公式都解决了由三角形的三边直接求三角形面积的问题.海伦公式形式优美，容易记忆，体现了数学的对称美，秦九韶公式虽然与海伦公式形式不一样，但与海伦公式完全等价，且由秦九韶在不借助余弦定理的情况下独立推出，充分说明了我国古代学者具有很高的数学水平；材料四：印度数学家婆罗摩笈多将海伦公式推广到凸四边形（凸四边形即任取平面四边形一边所在直线，其余各边均在此直线的同侧）中，即设凸四边形的四条边长分别为，，凸四边形的一对对角和的半为，则凸四边形的面积为.这个公式称之为婆罗摩笈多公式.请你结合阅读材料解答下面的问题：
(1)在下面两个问题中选择一个作答：（如果多做，按所做的第一个问题给分）①证明秦九韶公式与海伦公式的等价性；②已知圆内接四边形中，，，，，求的面积；
(2)中，的对边分别为，已知的面积为6，其内切圆半径为1，，求，.

参考答案：
1．D
【分析】利用复数的乘法运算即可求得结果.
【详解】，
故选：D.
【点睛】本题主要考查复数的乘法运算，属基础题.
2．B
【分析】根据平面向量的坐标表示，以及坐标运算的法则，即可求解.
【详解】由，，，可得，
所以.
故选：B.
3．A
【分析】由互斥事件并事件概率的加法公式求解.
【详解】由于事件，互斥，
则，
所以，选项A正确.
故选：A
4．B
【分析】对于ACD，举例判断，对于B，根据线面垂直的判定定理分析判断.
【详解】对于A，如下图，，∥，而∥，所以A错误，

对于B，设，且，因为，所以，
因为∥，所以，因为，且，所以，所以B正确，

对于C，如下图，，，此时，所以C错误，

对于D，如下图，，，此时∥，所以D错误，

故选：B
5．C
【分析】分别计算以直角边和斜边为轴旋转得到的几何体体积，然后比较大小；
【详解】当以斜边为轴旋转时，所得的几何体是由两个同底的圆锥拼接而成，如图所示，
  
在直角三角形中，所以
解得：
故圆锥底面面积为：
所以几何体的体积为
以为轴旋转时，
当以为轴旋转时，
综上所述，当以为轴旋转时，体积最大，
故选： C.
6．C
【分析】首先根据组合求解基本事件总数，然后分析所得三角形是锐角三角形的情形，即可得到答案；
【详解】  
从正五边形的五个顶点中，随机选择三个顶点连成三角形，基本事件总数为;
因为正五边形的顶角为钝角，所以以它们作为顶点的三角形是锐角三角形（如图所示）的个数为5，所以.
故选：C.
7．D
【分析】先利用正弦定理结合已知条件可求出，则可求出角，从而可求出
【详解】在中，，，，
由正弦定理得，，得，
因为，所以，得，
因为，所以，
所以，则，
所以，
故选：D
8．A
【分析】根据所给定义及向量模的坐标表示计算可得.
【详解】因为，
设，，则，，
则，
所以，当与方向相同，即，即时取最大值.
故选：A
9．AB
【分析】设，得到，结合选项，逐项判定，即可求解.
【详解】设，则，
对于A中，由，所以A正确；
对于B中，由，所以B正确；
对于C中，由，只有当时，是纯虚数，所以C不正确；
对于D中，由，所以，所以D不正确.
故选：AB.
10．ACD
【分析】由平行四边形对角线互相平分可证选项A; 由圆内接四边形对角互补，可判断选项B错误；由平行四边形对角线的平方和等于四条边的平方和性质，可得选项C正确；由三棱锥为棱长为1正三棱锥，可求出，从而在中利用余弦定理求解，可判断选项D正确.
【详解】
如图，连结
依题意，，
所以，即为平行四边形，则相交且互相平分，
同理相交且互相平分，则相交于中点，
所以平行六面体的4条体对角线交于一点且互相平分，选项A正确；
若平行六面体的8个顶点在同一球面上，则平行四边形四个定点在一个圆周上，
而圆的内接四边形对角互补，而平行四边形对角不一定互补，选项B错误；
，，
，
，
则，
，
，
则
所以，
即平行六面体的4条体对角线长的平方和等于所有棱长的平方和，选项C正确；

根据题意，三棱锥为棱长为1正三棱锥，
所以在平面上的投影为正的中心，
则，，所以，
由余弦定理，
所以的长为，选项D正确.
故选：ACD
11．3
【分析】根据平面向量数量积定义求解即可.
【详解】.
故答案为：
12．/
【分析】根据相互独立事件的概率乘法公式，以及互斥事件的概率加法，结合题意，即可求解.
【详解】设事件表示“甲同学通过测试”，事件表示“乙同学通过测试”，可得，
则有且只有一人能通过的概率为.
故答案为：.
13．7或1/1或7
【分析】设圆台的上、下底面的圆心分别为，球心为，分圆台的上、下底面不在同一半球上和圆台的上、下底面在同一半球上两种情况，再利用勾股定理可得答案.
【详解】设圆台的上、下底面的圆心分别为，球心为，
如图，当圆台的上、下底面不在同一半球上时，
，
，所以则该圆台的高为；

如图，当圆台的上、下底面在同一半球上时，
，
，所以则该圆台的高为；

综上，该圆台的高为或.
故答案为：7或1.
14． 165 55
【分析】根据题意，由公式代入计算，即可得到结果.
【详解】由题意可得，该校高一年级的全体学生的身高平均数为
由结论可得，方差为
.
故答案为：；
15． 36.6 >
【分析】由题意可得，则可得，然后求出可求得的值，由图可知的外接圆大于，然后分别在两个三角形中利用正弦定理比较即可
【详解】由题意得，
所以，所以，
所以，
在中，，
，
在中，，
所以，
设的外接圆半径为，的外接半径为，由图可知，
由正弦定理得，
所以，所以，
因为都为锐角，所以，
故答案为：，
16．(1)，
(2)1

【分析】（1）根据题意，由平面向量基本定理即可得到结果；
（2）根据题意，由可得，即可得到结果.
【详解】（1），
；
（2）若，则
所以
所以，所以.
17．(1)
(2)73.33
(3)一等品有3个和二等品有2个

【分析】（1）根据频率之和为1，列出方程，即可得到结果；
（2）根据中位数的计算公式，代入计算，即可得到结果；
（3）根据分层抽样的计算公式，代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）由，得.
（2）因为，
所以中位数在第4组，设中位数为，则，
解得.
所以可以估计该企业所生产的口罩的质量指标值的中位数为73.33.
（3）由频率分布直方图可知：100个口罩中一等品有60个，二等品有40个，
由分层抽样可知，所抽取的5个口罩中一等品有个，二等品有个，
所以抽取的5个口罩中一等品有3个和二等品有2个.
18．(1)
(2)

【分析】（1）根据题意，由正弦定理和三角形的性质化简得到，进而得到的值，即可求解.
（2）由正弦定理求得，结合题设条件，得到，求得，利用三角形的面积公式，即可求解.
【详解】（1）解：因为，所以，
由正弦定理可得，
即，
因为，可得，所以，
又因为，可得，所以，
因为，.
（2）解：由正弦定理有，可得，则或
若，则，
此时为锐角三角形，不满足条件.
若，此时为钝角三角形.
则，
所以.
19．(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）依题意，可证，由等腰三角形性质得，
从而平面，由面面垂直的判定定理得证；
（2）连接，由是二面角的平面角，可得平面，从而，求得，再由四面体的体积为，解得，由等面积法得，最后，解决问题.
【详解】（1）证明：因为，为的中点，所以，
在和中，，，
所以，所以，
又为的中点，所以，
又，平面，，
所以平面.
又平面，所以平面平面
（2）  
如图，连接，因为是二面角的平面角，
所以，，
又，平面，，
所以平面.
因为平面，所以.
因为，，，
所以，又由（1），平面
所以四面体的体积，
即，
解得.
因为，
即，，
则.
又平面，所以，
所以.
20．(1)答案见解析
(2)

【分析】（1）若选择①：由秦九韶公式证明海伦公式化简得到，即可求解；
若选择②：根据题意得到，得到四边形的面积为，结合四边形是圆内接四边形对角和为，代入即可求解；
（2）设内切圆半径为，根据，求得，再由海伦公式化简得到，联立方程组，即可求解.
【详解】（1）解：若选择①：由秦九韶公式证明海伦公式：


设，
所以

上述每一步均为等价变形，所以秦九韶公式与海伦公式是等价的.
若选择②：因为，且，，，，
代入可得，
所以，
因为四边形是圆内接四边形，对角和为，
所以，可得.
（2）解：设内切圆半径为，因为，
代入，，，可得，①
又由，
由海伦公式，可得，
化简得，即，
代入①，可得，②
联立方程组，且，解得.