高中数学高考考点37 抛物线的标准方程及几何性质-备战2021年新高考数学一轮复习考点一遍过(1)

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【命题解读】
抛物线的标准方程及其几何性质是高考考查知识点之一，对于抛物线作为圆锥曲线的一个重要内容，高考主要考查抛物线的方程、焦点、准线及几何性质，在选择、填空和解答中都有可能出现，主要是考查学生的运算能力和数形结合能力。
【命题预测】
预计2021年的高考抛物线的考查还是以常考查的知识点为主，不会变化很大，主要还是抛物线的方程和几何性质，注重数形结合和分析能力的考查。
【复习建议】
1.理解抛物线的定义以及椭圆抛物线的标准方程的形式，准线等；
2.掌握椭抛物线的简单几何性质。
考向一 抛物线的定义及标准方程
1.满足以下三个条件的点的轨迹叫作抛物线:
(1)在平面内;
(2)动点到定点F的距离与到定直线l的距离相等;
(3)定点不在定直线上.
2.抛物线的标准方程
1. 【2020全国开学考试（理）】已知抛物线的焦点为，为抛物线上一点，为坐标原点，且，则（ ）
A．4B．2C．D．
【答案】B
【解析】依题意可得，设，
由得，
所以，，所以，，
因为为抛物线上一点，所以，解得.
故选：B.
2. 【2020四川成都七中开学考试】抛物线的焦点为，点在抛物线上，且点到直线的距离是线段长度的2倍，则线段的长度为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】依题意，得F（1,0），抛物线的准线为x＝－1，
线段AF的长等于点A到准线x＝－1的距离，
因为点到直线的距离是线段长度的2倍，
所以，点到直线的距离是点A到准线x＝－1的距离的2倍
设A点横坐标为，是＋3＝2（＋1），解得：＝1，
所以，｜AF｜＝1－（－1）＝2
故选B
考向二 椭圆的几何性质
1. 【2019岳麓湖南师大附中期末】已知直线，，点P为抛物线上的任一点，则P到直线l1，l2的距离之和的最小值为
A．2B．C．1D．
【答案】B
【解析】抛物线，其焦点坐标，准线为也就是直线，故到直线的距离就是到的距离.如图所示，
设到直线的距离为，则，当且仅当三点共线时等号成立，故选B.
2.【2020江西上高二中月考】抛物线的焦点为，点，为抛物线上一点，且不在直线上，则周长的最小值为____．
【答案】3+
【解析】求△MAF周长的最小值，即求|MA|+|MF|的最小值，
设点M在准线上的射影为D，则
根据抛物线的定义，可知|MF|＝|MD|
因此，|MA|+|MF|的最小值，即|MA|+|MD|的最小值
根据平面几何知识，可得当D，M，A三点共线时|MA|+|MD|最小，
因此最小值为xA﹣（﹣1）＝2+1＝3，
∵|AF|＝＝，
∴△MAF周长的最小值为3+，
故答案为3+

3. 【2020江西南昌二中其他（理）】已知抛物线的焦点为是抛物线上一点，过点向抛物线的准线引垂线，垂足为，若为等边三角形，则______．
【答案】
【解析】抛物线，焦点为，准线为，
是抛物线上一点，则，
由题意可得，
由于为等边三角形，则有，
即有：，可得．
故答案为．
题组一（真题在线）
1. 【2019年高考全国Ⅱ卷理数】若抛物线y2=2px(p>0)的焦点是椭圆的一个焦点，则p=
A．2 B．3
C．4 D．8
2. 【2020年高考全国Ⅰ卷理数】已知A为抛物线C:y2=2px（p>0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p=
A．2B．3
C．6D．9
3. 【2020年高考全国Ⅲ卷理数】设为坐标原点，直线与抛物线C交于，两点，若，则的焦点坐标为
A． B．
C． D．
4. 【2020年高考北京】设抛物线的顶点为，焦点为，准线为．是抛物线上异于的一点，过作于，则线段的垂直平分线
A． 经过点B． 经过点
C． 平行于直线D． 垂直于直线
5. 【2020年新高考全国Ⅰ卷】斜率为的直线过抛物线C：y2=4x的焦点，且与C交于A，B两点，则=________．
6. 【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P．
（1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程；
（2）若，求|AB|．
7. 【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知曲线C：y=，D为直线y=上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.
（1）证明：直线AB过定点：
（2）若以E(0，)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积.
8. 【2019年高考北京卷理数】已知抛物线C：x2=−2py经过点（2，−1）．
（1）求抛物线C的方程及其准线方程；
（2）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y=−1分别交直线OM，ON于点A和点B．求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点．
题组二
1. 【2020江苏歌风中学月考】若抛物线上的点M到焦点的距离为10，则M点到y轴的距离是（ ）
A．6B．8C．9D．10
2. 【2020全国其他】已知抛物线：（）上一点到焦点的距离为6，，分别为抛物线与圆上的动点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
3. 【2020四川成都七中开学考试】抛物线的焦点为，点在抛物线上，且点到直线的距离是线段长度的2倍，则线段的长度为（ ）
A．1B．2C．3D．4
4. 【2020安徽开学考试（理）】已知双曲线的两条渐近线互相垂直，且焦距为，则抛物线的准线方程为（ ）
A．B．C．D．
5. 【2020山东淄博高三一模】已知抛物线上一点到其准线及对称轴的距离分别为3和，则的值可以是( )
A．2B．6C．4D．8
6.【2020山东菏泽高三一模】已知直线过抛物线的焦点，且与该抛物线交于，两点，若线段的长是16，的中点到轴的距离是6，是坐标原点，则（ ）．
A．抛物线的方程是B．抛物线的准线方程是
C．直线的方程是D．的面积是
7. 【2020赣榆智贤中学高二月考】已知抛物线，过点的直线与抛物线交于，且的长为10，设的中点为，则到轴的距离为______．
8. 【2020江苏泰州中学高二开学考试】已知抛物线的准线方程为，在抛物线上存在两点关于直线对称，且为坐标原点，则的值为__________.
9. 【2020全国其他】已知抛物线的焦点为，点，点为抛物线上的动点.
（1）若的最小值为，求实数的值；
（2）设线段的中点为，其中为坐标原点，若，求外接圆的方程.
10. 【2020浙江高三开学考试】如图，已知椭圆，且满足，抛物线，点是椭圆与抛物线的交点，过点的直线交椭圆于点，交轴于点.
（1）若点，求椭圆及抛物线的方程；
（2）若椭圆的离心率为，点的纵坐标记为，若存在直线，使为线段的中点，求的最大值.
题组一
1. D
【解析】因为抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，所以，解得，故选D．
2. C
【解析】设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义知，即，解得.
故选：C．
3. B
【解析】因为直线与抛物线交于两点，且，
根据抛物线的对称性可以确定，所以，
代入抛物线方程，求得，所以其焦点坐标为，
故选：B．
4. B
【解析】如图所示：．
因为线段的垂直平分线上的点到的距离相等，又点在抛物线上，根据定义可知，，所以线段的垂直平分线经过点.
故选：B．
5.
【解析】∵抛物线的方程为，∴抛物线的焦点F坐标为，
又∵直线AB过焦点F且斜率为，∴直线AB的方程为：
代入抛物线方程消去y并化简得，
解法一：解得
所以
解法二：
设，则,
过分别作准线的垂线，设垂足分别为如图所示.
故答案为：
6. 见解析
【解析】设直线．
（1）由题设得，故，由题设可得．
由，可得，则．
从而，得．
所以的方程为．
（2）由可得．
由，可得．
所以．从而，故．
代入的方程得．
故．
7. 见解析
【解析】（1）设，则.
由于，所以切线DA的斜率为，故 .
整理得
设，同理可得.
故直线AB的方程为.
所以直线AB过定点.
（2）由（1）得直线AB的方程为.
由，可得.
于是，
.
设分别为点D，E到直线AB的距离，则.
因此，四边形ADBE的面积.
设M为线段AB的中点，则.
由于，而，与向量平行，所以.解得t=0或.
当=0时，S=3；当时，.
因此，四边形ADBE的面积为3或.
8. 见解析
【解析】（1）由抛物线经过点，得.
所以抛物线的方程为，其准线方程为.
（2）抛物线的焦点为.
设直线的方程为.
由得.
设，则.
直线的方程为.
令，得点A的横坐标.
同理得点B的横坐标.
设点，则，
.
令，即，则或.
综上，以AB为直径的圆经过y轴上的定点和.
题组二
1.C
【解析】抛物线的焦点，准线为，由M到焦点的距离为10，
可知M到准线的距离也为10，故到M到的距离是9，
故选C．
2.A
【解析】由抛物线：（）焦点在轴上，准线方程，
则点到焦点的距离为，则，∴抛物线方程为.
设，圆：，圆心为，半径为1，
则，
当时，有最小值，故最小值为.
故选：.
3.B
【解析】依题意，得F（1,0），抛物线的准线为x＝－1，
线段AF的长等于点A到准线x＝－1的距离，
因为点到直线的距离是线段长度的2倍，
所以，点到直线的距离是点A到准线x＝－1的距离的2倍
设A点横坐标为，是＋3＝2（＋1），解得：＝1，
所以，｜AF｜＝1－（－1）＝2
故选B
4. B
【解析】因为双曲线的两条渐近线互相垂直，
所以，又焦距为，
所以，
解得，
所以 ，
所以抛物线的准线方程是，
故选：B.
5.AC
【解析】设的横坐标为，由题意，，，解得或.
故选：AC
6.AD
【解析】设，，
根据抛物线的定义可知，
又的中点到轴的距离为6，∴，
∴，∴．
∴所求抛物线的方程为．故A项正确；
抛物线的准线方程是，故B项错误；
设直线的方程是，联立，
消去得，则，
所以，解得，
故直线的方程是或．故C项错误；
．
故D项正确．
故选：AD．
7. 3
【解析】由抛物线方程可知，
，．
由线段的中点到轴的距离为，
故答案为3．
8.
【解析】拋物线的准线方程为，可知抛物线的方程为：．
设点，的中点为，则
两式相减可得，，，所以，解得，可得，则，
可得.
故答案为：．
9. 见解析
【解析】（1）由题意，联立，可得.
①若线段与抛物线没有公共点，即时，
点在抛物线准线上的射影为，由抛物线的定义可得，
则当、、三点共线时，的最小值为，此时；
②若线段与抛物线有公共点，即时，
则当、、三点共线时，的最小值为，此时，
综上，实数的值为或；
（2）因为，所以轴且，
设，则，代入抛物线的方程得，解得，
于是，所以外接圆的方程为.
10. 见解析
【解析】（1）点在抛物线上，
代入得，，故抛物线.
点在椭圆上，故，
又，，故：，，
椭圆的方程为：.
（2）椭圆的离心率为，故，
又，故.
又，，故：，，
椭圆的方程为：.
设，直线的方程为：，
联立椭圆方程得：，代入化简得：
，
，，
，
由于为线段的中点，且点的纵坐标为，
故，
得：，，
消得：，代入得：，
又，
所以的最大值为，
当，时，取到最大值.
y2=2px(p>0)
y2=-2px(p>0)
x2=2py(p>0)
x2=-2py(p>0)
p的几何意义:焦点F到准线l的距离
标准方程
y2=2px(p>0)
y2=-2px(p>0)
x2=2py(p>0)
x2=-2py(p>0)
p的几何意义:焦点F到准线l的距离
图形
顶点
O(0,0)
对称轴
直线y=0
直线x=0
焦点
Fp2,0
F-p2,0
F0,p2
F0,-p2
离心率
e=1
准线方程
x=-p2
x=p2
y=-p2
y=p2
范围
x≥0,y∈R
x≤0,y∈R
y≥0,x∈R
y≤0,x∈R
开口方向
向右
向左
向上
向下