高中数学高考考点36 双曲线的标准方程及几何性质-备战2021年新高考数学一轮复习考点一遍过(1)

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【命题解读】
双曲线的定义、标准方差、几何性质一直是高考的必考重点知识之一，近几年的高考中多有涉及，从高考的出题来看多集中在选择题和填空题，以中档题为多，灵活多样。在考查中重点是注重学生分析问题和解决问题的能力，注重数学核心素养的考查。
【命题预测】
预计2021年的高考对于双曲线的考查变化不是很大，还是以选择或者填空为主，但要注意新高考下的多选题的考查，注重能力的考查。
【复习建议】
1.理解双曲线的定义以及双曲线的标准方程的形式；
2.掌握双曲线的简单几何性质。
考向一 双曲线的定义及标准方程
双曲线的定义：平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫作双曲线.这两个定点叫作双曲线的焦点,两焦点间的距离叫作双曲线的焦距.
双曲线的标准方程：焦点在x轴上的双曲线的标准方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0);
焦点在y轴上的双曲线的标准方程为y2a2-x2b2=1(a>0,b>0).
1. 【2020兴安县第三中学开学考试】若曲线表示双曲线，则的取值范围是_________________.
【答案】
【解析】∵曲线表示双曲线，∴，解得或．
故答案为：．
2. 【2020重庆市广益中学校期末】过点（﹣4，2），且与双曲线y21有相同渐近线的双曲线的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由题, 设双曲线的方程是,又双曲线过,故.
故.
故选：A
考向二 双曲线的几何性质
1. 【2020浙江月考】已知点是双曲线右支上一点，是双曲线的左焦点，且双曲线的一条渐近线恰是线段的中垂线，则该双曲线的渐近线方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】如图所示，双曲线的渐近线为，
对于，，直线与直线垂直，
所以直线的斜率为，
所以直线的方程为，即.
设直线与直线相交于
原点到直线：的距离得，因此，
由于是线段的中点，是线段的中垂线，
则根据几何图形的性质可得，
根据双曲线的定义得，
因此可得，，则双曲线的线近线为.
故选：D
2.【2020湖北沙区沙市中学期末】椭圆与双曲线共焦点，，它们的交点为，且.若椭圆的离心率为，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】不妨设P为第一象限的点，
在椭圆中： ① ,
在双曲线中: ②,
联立①②解得, ,
在中由余弦定理得：
即
即
椭圆的离心率，
双曲线的离心率，
故选：B
3. 【2020河南月考（理）】已知双曲线的左右焦点为、，过左焦点作垂直于轴的直线交双曲线的两条渐近线于、两点，若是钝角，则双曲线离心率的取值范围是______.
【答案】
【解析】设双曲线的焦距为，双曲线的渐近线方程为，
由题意可知，点，，且点、，
所以，.
因为为钝角，则，得，
所以.
故答案为：.
题组一（真题在线）
1. 【2019年高考全国Ⅱ卷理数】设F为双曲线C：的右焦点，为坐标原点，以为直径的圆与圆交于P，Q两点．若，则C的离心率为
A． B．
C．2D．
2. 【2019年高考全国Ⅲ卷理数】双曲线C：=1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点，若，则△PFO的面积为
A．B．
C．D．
3. 【2019年高考浙江卷】渐近线方程为x±y=0的双曲线的离心率是
A．B．1
C．D．2
4. 【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若，，则C的离心率为____________．
5. 【2019年高考江苏卷】在平面直角坐标系中，若双曲线经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是 .
6. 【2020年高考全国Ⅲ卷理数】设双曲线C：（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为．P是C上一点，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面积为4，则a=
A． 1B． 2
C． 4D． 8
7. 【2020年高考全国Ⅱ卷理数】设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若的面积为8，则的焦距的最小值为
A．4B．8
C．16D．32
8. 【2020年高考天津】设双曲线的方程为，过抛物线的焦点和点的直线为．若的一条渐近线与平行，另一条渐近线与垂直，则双曲线的方程为
A． B． C． D．
9. 【2020年高考全国I卷理数】已知F为双曲线的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3，则C的离心率为 .
10. 【2020年高考北京】已知双曲线，则C的右焦点的坐标为_________；C的焦点到其渐近线的距离是_________．
11. 【2020年高考江苏】在平面直角坐标系xOy中，若双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率是 ．
题组二
1. 【2020江苏泰州中学高二开学考试】设，为双曲线的两个焦点，点P在双曲线上，且满足，则的面积为（ ）
A．B．2C．D．1
2. 【2020山西大同高三月考（理）】如图，双曲线的左，右焦点分别为，，过作直线与C及其渐近线分别交于Q，P两点，且Q为的中点．若等腰三角形的底边的长等于C的半焦距．则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
3. 【2020辽宁高三其他（理）】若，则是方程表示双曲线的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4. 【2019河北衡水中学期末】如图，已知、双曲线的左、右焦点，A、B为双曲线上关于原点对称的两点，且满足，，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
5. 【2020江苏高三月考】已知曲线的方程为，则下列选项正确的是（ ）
A．当时，一定是椭圆B．当时，是双曲线
C．当时，是圆D．当且时，是直线
6. 【2020全国高三开学考试】双曲线的焦点在圆上，圆与双曲线的渐近线在第一、二象限分别交于点、，点满足（其中为坐标原点），则（ ）
A．双曲线的一条渐近线方程为B．双曲线的离心率为
C．D．的面积为6
7.【2020肥城市教学研究中心高三】双曲线的右支上一点在第一象限，，分别为双曲线的左、右焦点，为△的内心，若内切圆的半径为1，则直线的斜率等于_____.
8. 【2020全国高三三模】设F1，F2是双曲线C:的左、右焦点，M是C上的第一象限的一点，若△MF1F2为直角三角形，则M的坐标为_____________.
9.【2020辽宁丹东高三二模】已知双曲线经过点，两个焦点为，．
（1）求的方程；
（2）设是上一点，直线与直线相交于点，与直线相交于点，证明：当点在上移动时，为定值，并求此定值．
10. 【2020江苏泰州中学高二考试】在平面直角坐标系中，已知双曲线C的焦点为、，实轴长为.
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）过点的直线l与曲线C交于M，N两点，且Q恰好为线段的中点，求直线l的方程.
题组一
1. A
【解析】设与轴交于点，由对称性可知轴，
又，为以为直径的圆的半径，
∴，，
又点在圆上，，即．
，故选A．
2. A
【解析】由，
又P在C的一条渐近线上，不妨设为在上，则，
，故选A．
3. 2
【解析】因为双曲线的渐近线方程为，所以，则，所以双曲线的离心率.故选C.
4. B
【解析】如图，由得又得OA是三角形的中位线，即由，得∴，，
又OA与OB都是渐近线，得
又，∴
又渐近线OB的斜率为，∴该双曲线的离心率为．
5.
【解析】由已知得，解得或，
因为，所以.
因为，所以双曲线的渐近线方程为.
6. A
【解析】，，根据双曲线的定义可得，
，即，
，，
，即，解得，
故选：A．
7. B
【解析】，
双曲线的渐近线方程是，
直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点
不妨设为在第一象限，在第四象限，
联立，解得，
故，
联立，解得，
故，
，
面积为：，
双曲线，
其焦距为，
当且仅当取等号，
的焦距的最小值：.
故选：B．
8. D
【解析】由题可知，抛物线的焦点为，所以直线的方程为，即直线的斜率为，
又双曲线的渐近线的方程为，所以，，因为，解得．
故选：．
9. 2
【解析】联立，解得，所以.
依题可得，，，即，变形得，,
因此，双曲线的离心率为.
故答案为：．
10. ；.
【解析】在双曲线中，，，则，则双曲线的右焦点坐标为，
双曲线的渐近线方程为，即，
所以，双曲线的焦点到其渐近线的距离为.
故答案为：；.
11.
【解析】双曲线，故.由于双曲线的一条渐近线方程为，即，所以，所以双曲线的离心率为.
故答案为：
题组二
1.D
【解析】设，，为双曲线的两个焦点，点P在双曲线上，，，，，，的面积为.
故选：D
2.C
【解析】
连接，由为等腰三角形且Q为的中点，得，由知．由双曲线的定义知，在中，， （负值舍去）．
故选：C
3.B
【解析】因为方程表示双曲线，所以，解得，
因为，
所以是方程表示双曲线的必要不充分条件，
故选：B
4. D
【解析】连接，由及双曲线的对称性知是矩形，由，，，则，，
∴，
∴离心率为，
故选：A．
5.BCD
【解析】对于A，若，，此时变为，不表示椭圆，故A错误；
对于B，若，则可化为，表示双曲线，故B正确.
对于C，若，方程变为，表示圆，故C正确.
对于D，若，，此时变为，表示直线；同理，若，，也表示直线，故D正确.
故选：BCD.
6.ABD
【解析】如图：设双曲线的焦距为，与轴交于点，由题可知，则，由得点为三角形的重心，可得，即，，，，，解得.
双曲线的渐近线方程为，，的坐标为，，
故选：ABD.
7.
【解析】设与圆的切点分别为.
则，
所以
又，解得 连接
则，
故答案为：.
8.
【解析】圆化为，
圆心坐标为，半径为.
如图，
所求的圆与圆相切于原点，两圆圆心的连线在直线上，
可设所求圆的圆心为，则，
解得，
所求圆的半径为.
故答案为：.
9. 见解析
【解析】解法1：（1）由题意，所以，的方程可化为．
因为的方程经过点，所以，解得，或（舍去）．
于是的方程为．
（2）由（1）知直线的方程为．
把，分别代入得：，．
又在上，所以．,
所以．
于是为定值．
解法2：（1）由双曲线定义得
．
所以，因为，所以，于是的方程为．
（2）同解法1．
10. 见解析
【解析】（1）根据题意，焦点在轴上，且，所以，
双曲线的标准方程为C：.
（2）过点的直线l与曲线C交于M，N两点，且Q恰好为线段的中点，
当直线斜率不存在时，直线方程为，则由双曲线对称性可知线段的中点在轴上，所以不满足题意；
当斜率存在时，设直线方程为，设，
则，化简可得，
因为有两个交点，所以
化简可得恒成立，
所以，
因为恰好为线段的中点，则，
化简可得，
所以直线方程为，即.
标准方程
x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)
y2a2-x2b2=1(a>0,b>0)
图形
性质
范围
x≥a或x≤-a,y∈R
y≤-a或y≥a,x∈R
对称性
对称轴:坐标轴.对称中心:原点
顶点
A1(-a,0) A2(a,0)
A1(0,-a) A2(0,a)
渐近线
y=±bax
y=±abx
离心率
e=ca,e∈(1,+∞)
a,b,c的关系
c2= a2+b2 (c>a>0,c>b>0)
实、虚轴
线段A1A2叫作双曲线的实轴,它的长|A1A2|=2a;线段B1B2叫作双曲线的虚轴,它的长|B1B2|=2b;a叫作双曲线的实半轴长,b叫作双曲线的虚半轴长