高中数学高考考点23 等差数列与等比数列基本量的问题（解析版）

考点23 等差数列与等比数列基本量的问题【知识框图】【自主热身，归纳总结】1、(2019宿迁期末） 已知数列{an}的前n项和为Sn，an＋1－2an＝1，a1＝1，则S9的值为________．【答案】 1013　【解析】由an＋1－2an＝1，得an＋1＋1＝2(an＋1)，即eq \f(an＋1＋1,an＋1)＝2，所以数列{an＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，设bn＝an＋1的前n项和为Tn，则T9＝eq \f(2（1－29）,1－2)＝1022，S9＝T9－9＝1013.eq \a\vs4\al(解后反思) 一般地，数列{an}满足an＋1＝pan＋q(p≠1，q≠0)，则有an＋1＋eq \f(q,p－1)＝peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(an＋\f(q,p－1)))，当a1＋eq \f(q,p－1)≠0时，eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an＋\f(q,p－1)))为等比数列．2、(2019通州、海门、启东期末）设{an}是公比为正数的等比数列，a1＝2，a3＝a2＋4，则它的前5项和S5＝________．【答案】 62【解析】　设公比为q，因为a1＝2，a3＝a2＋4，所以2q2＝2q＋4，解得q＝2或q＝－1，因为{an}为正项数列，所以q＝2，所以S5＝eq \f(2（1－25）,1－2)＝62.3、(2019扬州期末）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝7，S6＝63，则a1＝________．【答案】 1　【解析】首先根据S3＝7，S6＝63可判断出等比数列{an}公比q≠1，由等比数列的前n项和公式得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(S3＝\f(a1（1－q3）,1－q)＝7，,S6＝\f(a1（1－q6）,1－q)＝63，))则eq \f(S6,S3)＝1＋q3＝9，解得q＝2，a1＝1.4、(2019镇江期末） 设Sn是等比数列{an}的前n项的和，若eq \f(a6,a3)＝－eq \f(1,2)，则eq \f(S6,S3)＝________．【答案】 eq \f(1,2)　【解析】设等比数列{an}的公比为q，则q3＝eq \f(a6,a3)＝－eq \f(1,2).易得S6＝S3(1＋q3)，所以eq \f(S6,S3)＝1＋q3＝1－eq \f(1,2)＝eq \f(1,2).5、(2019南京、盐城二模） 等差数列{an}中，a4＝10，前12项的和S12＝90，则a18的值为________．【答案】 －4　【解析】由等差数列通项公式、求和公式得a4＝a1＋3d＝10，S12＝12a1＋66d＝90，解得a1＝13，d＝－1，故a18＝a1＋17d＝13－17＝－4.6、(2017苏州暑假测试） 已知数列{an}满足a1＝1，a2＝eq \f(1,2)，且an(an－1＋an＋1)＝2an＋1an－1(n≥2)，则a2 015＝________.【答案】 eq \f(1,2 015)　【解析】由an(an－1＋an＋1)＝2an＋1an－1(n≥2)得eq \f(1,an＋1)＋eq \f(1,an－1)＝eq \f(2,an)(n≥2)，又a1＝1，a2＝eq \f(1,2)，所以数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是以1为首项，1为公差的等差数列．所以eq \f(1,an)＝n，即an＝eq \f(1,n)，所以a2 015＝eq \f(1,2 015).7、(2017镇江期末） Sn是等差数列{an}的前n项和，若eq \f(Sn,S2n)＝eq \f(n＋1,4n＋2)，则eq \f(a3,a5)＝________.【答案】. eq \f(3,5)　【解析】解法1 由eq \f(Sn,S2n)＝eq \f(n＋1,4n＋2)可得，eq \f(\f(na1＋an,2),\f(2na1＋a2n,2))＝eq \f(a1＋an,a1＋a2n)＝eq \f(n＋1,2n＋1)，当n＝1时，eq \f(2a1,a1＋a2)＝eq \f(2,3)，所以a2＝2a1.d＝a2－a1＝a1，所以eq \f(a3,a5)＝eq \f(a1＋2d,a1＋4d)＝eq \f(3a1,5a1)＝eq \f(3,5).解法2 eq \f(Sn,S2n)＝eq \f(n＋1,4n＋2)＝eq \f(n2＋n,4n2＋2n)，观察发现可令Sn＝n2＋n，则an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－(n－1)2－(n－1)＝2n，所以eq \f(a3,a5)＝eq \f(2×3,2×5)＝eq \f(3,5).8、(2017南京三模）若等比数列{an}的各项均为正数，且a3－a1＝2，则a5的最小值为 ．【答案】．8 【解析】 因为a3－a1＝2，所以，即 所以，设，即，所以，当且仅当，即时取到等号.9、(2018南京学情调研）记等差数列{an}的前n项和为Sn.若am＝10，S2m－1＝110，则m的值为________．【答案】. 6　【解析】由S2m－1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a1＋a2m－1,2)))·(2m－1)＝[a1＋(m－1)d](2m－1)＝(2m－1)am得，110＝10(2m－1)，解得m＝6.10、(2018苏州暑假测试） 等差数列{an}的前n项和为Sn，且an－Sn＝n2－16n＋15(n≥2，n∈N*)，若对任意n∈N*，总有Sn≤Sk，则k的值是________．【答案】7　【解析】解法1(特殊值法) 在式子“an－Sn＝n2－16n＋15(n≥2，n∈N*)”中分别令n＝2，3得，a1＝13，a2＝11.又因为{an}是等差数列，所以公差d＝－2，an＝13＋(n－1)×(－2)＝15－2n≥0，解得n≤7.5，故前7项和最大，所以k＝7.解法2(公式法) 在等差数列{an}中，设公差为d，因为式子“an－Sn＝a1＋(n－1)d－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a1n＋\f(n（n－1）,2)d))＝n2－16n＋15(n≥2，n∈N*)”的二次项系数为1，所以－eq \f(d,2)＝1，即公差d＝－2，令n＝2得，a1＝13，所以前n项和Sn＝13n＋eq \f(n（n－1）,2)×(－2)＝14n－n2＝49－(n－7)2，故前7项和最大，所以k＝7.【问题探究，开拓思维】题型一、等差数列与等比数列的基本量问题知识点拨：一是基本量法，即转化为a1，d(q)，n，an，Sn的方程组，解方程组即可；例1、(2019苏州期初调查）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2，S6，S4成等差数列，则eq \f(a2＋a4,a6)的值为________．【答案】2　【解析】设公比为q，因为S2，S6，S4成等差数列，所以2S6＝S2＋S4，若q＝1，则有12a1＝2a1＋4a1，所以a1＝0，不成立，则q≠1，所以2·eq \f(a1（1－q6）,1－q)＝eq \f(a1（1－q2）,1－q)＋eq \f(a1（1－q4）,1－q)，则有2q6＝q2＋q4，所以2q4－q2－1＝0，q2＝1，则q＝－1，所以eq \f(a2＋a4,a6)＝eq \f(a2＋a2q2,a2q4)＝eq \f(1＋q2,q4)＝2.eq \a\vs4\al(易错警示) 运用等比数列的前n项和公式时，一定要讨论公比q＝1的情形，否则会产生漏解或增解．【变式1】(2019泰州期末） 已知数列{an}满足log2an＋1－log2an＝1，则eq \f(a5＋a3,a3＋a1)＝________．【答案】4　【解析】log2an＋1－log2an＝log2eq \f(an＋1,an)＝1，所以eq \f(an＋1,an)＝2，即数列{an}是以2为公比的等比数列，所以eq \f(a5＋a3,a3＋a1)＝eq \f(a3q2＋a1q2,a3＋a1)＝q2＝4.【变式2】(2019苏州期末）设Sn是等比数列{an}的前n项和，若eq \f(S5,S10)＝eq \f(1,3)，则eq \f(S5,S20＋S10)＝________．【答案】eq \f(1,18)　【解析】设等比数列{an}的公比为q，则S10＝S5(1＋q5)，S20＝S10(1＋q10)．由eq \f(S5,S10)＝eq \f(1,3)，得q5＝2，q10＝4.所以S10＝3S5，S20＝5S10＝15S5，从而S10＋S20＝18S5.eq \a\vs4\al(解后反思) 因为数列{an}是等比数列，所以S5，S10－S5，S15－S10，S20－S15也成等比数列．它们的比值为1∶2∶4∶8，所以S20＝(1＋2＝4＋8)S5＝15S5.【变式3】(2019苏锡常镇调研（二））已知等比数列的前n项和为，若，则＝ ．【答案】．【解析】设等比数列的公比为，因为，所以，故．由于，故解后反思：在利用等比数列的求和公式计算时要注意公比是否为，在化简时要注意对条件的整体处理．【变式4】(2019苏北四市、苏中三市三调）已知是等比数列，前项和为．若，，则的值为 ．【答案】14【解析】：(基本量法) 设数列的首项是，公比为，则由，，得解得 ，.【变式5】(2019南京、盐城一模）已知等比数列{an}为单调递增数列，设其前n项和为Sn，若a2＝2，S3＝7，则a5的值为________．【答案】16　【解析】：解法1(基本量为a1，q) 设an＝a1·qn－1，则a2＝a1·q＝2，即a1＝eq \f(2,q)，所以S3＝a1·(q2＋q＋1)＝7，即eq \f(2,q)·(q2＋q＋1)＝2q＋2＋eq \f(2,q)＝7，q＋eq \f(1,q)＝eq \f(5,2)，解得q＝2或q＝eq \f(1,2)(数列单调递减，舍)，则a5＝a1·q4＝16.解法2(基本量为a2，q) 设公比为q，则S3＝eq \f(2,q)＋2＋2q＝7，解得q＝2或q＝eq \f(1,2)(数列单调递减，舍)，则a5＝a2·q3＝16.eq \a\vs4\al(解后反思) 在等差数列与等比数列中常常使用基本量法，但是要注意基本量的相对性. 我们所说的基本量，往往是a1，d(或a1，q)，其实也可以把a2，d(或a2，q)等作为基本量．题型二 等差数列与等比数列的性质知识点拨： 在解数列填空题时，记住一些常见的结论可以大大提高解题速度．(1)在等差数列{an}中，若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq；(2)在等差数列{an}中，若公差为d，且m，n∈N*，则am＝an＋(m－n)d.，在等比数列中若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，则aman＝apaq；掌握等差数列和等比数列的性质在解题时不但能提升解题速度还能提高准确率。例2、(2019南通、泰州、扬州一调）已知数列{an}是等比数列，有下列四个命题：①数列{|an|}是等比数列；　　　　②数列{anan＋1}是等比数列；③数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是等比数列； ④数列{lgaeq \o\al(2,n)}是等比数列．其中正确的命题有________个．【答案】3【解析】设等比数列{an}的公比为q，对于①中数列{|an|}，eq \f(|an＋1|,|an|)＝q，且首项|a1|≠0，所以为等比数列；对于②中数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(anan＋1))，eq \f(an＋1an＋2,anan＋1)＝q2，且首项a1a2≠0，所以为等比数列；对于③中数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))，eq \f(\f(1,an＋1),\f(1,an))＝eq \f(1,q)，且首项eq \f(1,a1)≠0，所以为等比数列， 对于④中数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(lgaeq \o\al(2,n)))，若a1＝1，则lga1＝0，所以不是等比数列．则正确的命题有3个，故答案为3.【变式1】(2018南京、盐城一模）设Sn为等差数列{an}的前n项和，若{an}的前2017项中的奇数项和为2018，则S2017的值为________．【答案】 4034【解析】　因为a1＋a3＋a5＋…＋a2017＝1009a1009＝2018，所以a1009＝2，故S2017＝a1＋a2＋…＋a2017＝2017a1009＝4034.【变式2】(2018苏北四市期末）已知等差数列{an}满足a1＋a3＋a5＋a7＋a9＝10，aeq \o\al(2,8)－aeq \o\al(2,2)＝36，则a11的值为________．【答案】 11　【解析】设等差数列{an}的公差为d，由aeq \o\al(2,8)－aeq \o\al(2,2)＝36得6a5d＝18.由a1＋a3＋a5＋a7＋a9＝10得a5＝2，从而6d＝9，a11＝a5＋6d＝2＋9＝11.【变式3】(2017南京、盐城一模）设{an}是等差数列，若a4＋a5＋a6＝21，则S9＝________.【答案】63　【解析】因为{an}是等差数列，且a4＋a5＋a6＝21，所以3a5＝21，即a5＝7，故S9＝eq \f(9a1＋a9,2)＝9a5＝63.【变式4】(2017南通、扬州、泰州、淮安三调）设等差数列的前n项和为．若公差，，则的值是 ．【答案】110 【解析】1：由，求得，故 ，即.解析2：由，求得，由等差数列的性质得：，故.【变式5】(2016常州期末） 已知等比数列{an}的各项均为正数，且a1＋a2＝eq \f(4,9)，a3＋a4＋a5＋a6＝40，则eq \f(a7＋a8＋a9,9)的值为________．【答案】117【解析】解法1 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1＋a2＝a11＋q＝\f(4,9)，,a3＋a4＋a5＋a6＝a1q2＋q3＋q4＋q5＝40，))两式相除可得q2＋q4＝90，即q2＝－10(舍)或q2＝9.又an>0，所以q＝3，故a1＝eq \f(1,9)，所以a7＋a8＋a9＝a1q6(1＋q＋q2)＝1 053，即eq \f(a7＋a8＋a9,9)＝117.解法2 因为eq \f(a3＋a4,a1＋a2)＝q2，eq \f(a5＋a6,a1＋a2)＝q4，所以a3＋a4＋a5＋a6＝(q2＋q4)(a1＋a2)＝40.即q4＋q2＝90，解得q2＝9.又an>0，所以q＝3.又eq \f(a7＋a8＋a9,a1＋a2＋a3)＝q6，eq \f(a7＋a8＋a9,a4＋a5＋a6)＝q3，故a1＋a2＋…＋a6＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,q6)＋\f(1,q3)))(a7＋a8＋a9)＝40＋eq \f(4,9)，解得a7＋a8＋a9＝1 053，即eq \f(a7＋a8＋a9,9)＝117.【变式6】(2015镇江期末）设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝7，S6＝63，则a7＋a8＋a9＝________.【答案】 448　【解析】因为a1＋a2＋a3＝7，a1＋a2＋a3＋…＋a6＝63，所以a4＋a5＋a6＝56.因为a1＋a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9成等比数列，所以a7＋a8＋a9＝eq \f(562,7)＝448.题型三 等差数列与等比数列的证明问题知识点拨：证明一个数列为等差数列或者等比数列常用定义法与等差、等比中项法，其他方法只用于选择、填空题中的判定；若证明某数列不是等差或等比数列，则只要证明存在连续三项不成等差或等比数列即可．而研究数列中的取值范围问题，一般都是通过研究数列的单调性来进行求解．例3、(2019苏州三市、苏北四市二调）已知数列{an}的各项均不为零．设数列{an}的前n项和为Sn，数列{aeq \o\al(2,n)}的前n项和为Tn，且3Seq \o\al(2,n)－4Sn＋Tn＝0，n∈N*.(1) 求a1，a2的值；(2) 证明：数列{an}是等比数列；(3) 若(λ－nan)(λ－nan＋1)