2023年高考数学二轮复习 圆锥曲线综合题复习（2份打包，教师版+原卷版）

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高考数学圆锥曲线综合题复习1.设椭圆的上焦点为F，椭圆E上任意动点到点F的距离最大值为＋1，最小值为﹣1．(1)求椭圆E的标准方程；(2)过点F作两条相互垂直的直线，分别与椭圆E交于P，Q和M，N，求四边形PMQN的面积的最大值．【答案解析】解：(1)设椭圆E的焦距为，则有，解得，∴，因此，椭圆E的方程为；(2)如图所示，椭圆E的上焦点为F(0，1)．①当直线PQ与直线MN分别与x轴、y轴垂直时，则，，此时，四边形PMQN的面积为；②当直线PQ、MN的斜率都存在时，设直线PQ的方程为，则直线MN的方程为，设点、，将直线PQ的方程与椭圆E的方程联立，消去y得，，由韦达定理可得，，∴ ，同理可得，所以，四边形PMQN的面积为 ，令，则，所以，∵，所以，，由二次函数的基本性质可知，当，所以，．综上所述，四边形PMQN的面积的最大值为2．2.已知P是圆F1:(x＋1)2＋y2＝16上任意一点，F2(1,0)，线段PF2的垂直平分线与半径PF1交于点Q，当点P在圆F1上运动时，记点Q的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)过点M(﹣,0)的直线l与(1)中曲线相交于A，B两点，O为坐标原点，求△AOB面积的最大值及此时直线l的方程.【答案解析】解:(1)由已知|QF1|＋|QF2|＝|QF1|＋|QP|＝|PF1|＝4，所以点Q的轨迹为以为F1，F2焦点，长轴长为4的椭圆，则2a＝4且2c＝2，所以a＝2，c＝1，则b2＝3，所以曲线C的方程为；(2)设直线l的方程为x＝ty﹣与椭圆交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立直线与椭圆的方程消去x，得(3t2＋4)y2﹣6ty﹣3＝0，则y1＋y2，y1y2，则S△AOB|OM|•|y1﹣y2|••，令，则u≥1，上式可化为，当且仅当u＝，即t＝±时等号成立，因此△AOB面积的最大值为，此时直线l的方程为x＝±y﹣.3.已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，过椭圆的上顶点的直线x＋y＝1被椭圆截得的弦的中点坐标为P(,).(1)求椭圆C的方程；(2)过F1的直线l交椭圆于A，B两点，当△ABF2面积最大时，求直线l的方程.【答案解析】解:(1)直线x＋y＝1与y轴的交于(0，1)点，∴b＝1，设直线x＋y＝1与椭圆C交于点M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2，y1＋y2，∴1，1，两式相减可得(x1﹣x2)(x1＋x2)(y1﹣y2)(y1＋y2)＝0，∴，∴＝﹣1，解得a2＝3，∴椭圆C的方程为y2＝1.(2)由(1)可得F1(0，0)，F2(，0)，设A(x3，y3)，B(x4，y4)，可设直线l的方程x＝my﹣，将直线l的方程x＝my﹣代入y2＝1，可得(m2＋3)y2﹣2my﹣1＝0，则y3＋y4，y3y4，|y3﹣y4|，∴|F1F2||y3﹣y4|＝||y3﹣y4|，当且仅当，即m＝±1，△ABF2面积最大，即直线l的方程为x﹣y＋＝0或x＋y＋＝0.4.已知抛物线C：y2＝2px经过点P(1，2).过点Q(0，1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N.(1)求直线l的斜率的取值范围；(2)设O为原点，＝λ，＝μ，求证：＋为定值.【答案解析】解：(1)因为抛物线y2＝2px过点(1，2)，所以2p＝4，即p＝2.故抛物线C的方程为y2＝4x，由题意知，直线l的斜率存在且不为0.设直线l的方程为y＝kx＋1(k≠0).由得k2x2＋(2k﹣4)x＋1＝0.依题意Δ＝(2k﹣4)2﹣4×k2×1＞0，解得k<0或0<k<1.又PA，PB与y轴相交，故直线l不过点(1，﹣2).从而k≠﹣3.所以直线l斜率的取值范围是(﹣∞，﹣3)∪(﹣3，0)∪(0，1).(2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由(1)知x1＋x2＝﹣，x1x2＝.直线PA的方程为y﹣2＝(x﹣1).令x＝0，得点M的纵坐标为yM＝＋2＝＋2.同理得点N的纵坐标为yN＝＋2.由＝λ，＝μ得λ＝1﹣yM，μ＝1﹣yN.所以＋＝＋＝＋＝·＝·＝2.所以＋为定值.       5.已知抛物线C1：y2＝4px(p＞0)，焦点为F2，其准线与x轴交于点F1；椭圆C2：分别以F1、F2为左、右焦点，其离心率e＝；且抛物线C1和椭圆C2的一个交点记为M.(1)当p＝1时，求椭圆C2的标准方程；(2)在(1)的条件下，若直线l经过椭圆C2的右焦点F2，且与抛物线C1相交于A，B两点，若弦长|AB|等于△MF1F2的周长，求直线l的方程.【答案解析】解：(1)设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，由已知得＝，①    c＝1，②∴a＝2，c＝1，b＝，∴椭圆方程为＋＝1.(2)①若直线l的斜率不存在，则l：x＝1，且A(1,2)，B(1，﹣2)，∴|AB|＝4.又∵△MF1F2的周长等于|MF1|＋|MF2|＋|F1F2|＝2a＋2c＝6≠|AB|.∴直线l的斜率必存在.②设直线l的斜率为k，则l：y＝k(x﹣1)，由，得k2x2﹣(2k2＋4)x＋k2＝0，∵直线l与抛物线C1有两个交点A，B，∴Δ＝[﹣(2k2＋4)]2﹣4k4＝16k2＋16＞0，且k≠0设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则可得x1＋x2＝，x1x2＝1.于是|AB|＝|x1﹣x2|＝＝＝＝，∵△MF1F2的周长等于|MF1|＋|MF2|＋|F1F2|＝2a＋2c＝6，∴由＝6，解得k＝±.故所求直线l的方程为y＝±(x﹣1).6.已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的四个顶点围成的菱形的面积为4，椭圆的一个焦点为圆x2＋y2﹣2x＝0的圆心．(1)求椭圆的方程；(2)若M，N为椭圆上的两个动点，直线OM，ON的斜率分别为k1,k2，当k1k2＝﹣时，△MON的面积是否为定值?若为定值，求出此定值；若不为定值，说明理由．【答案解析】解：(1)由题意可知，2ab＝4，圆x2＋y2﹣2x＝0的圆心为(1,0)，所以c＝1，因此，联立，解之，故椭圆的方程为. (2)设，当直线MN的斜率存在时，设方程为，由，消可得， 则有，即，，所以.     点到直线的距离，所以.    又因为，所以，化简可得，满足， 代入， 当直线的斜率不存在时，由于，考虑到关于轴对称，不妨设，则点的坐标分别为,此时，综上，的面积为定值.  法二：设，由题意，可得， 所以，而 因为，所以，故为定值.7.已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)过点(,﹣)，且它的焦距是短轴长的倍.(1)求椭圆C的方程.(2)若A，B是椭圆C上的两个动点(A，B两点不关于x轴对称)，O为坐标原点，OA，OB的斜率分别为k1，k2，问是否存在非零常数λ，使k1k2＝λ时，△AOB的面积S为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由.【答案解析】解：(1)因为椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)过点(,﹣)所以又因为该椭圆的焦距是短轴长的倍，所以 从而 联立方程组 解得 所以 (2)设存在这样的常数使 的面积为定值.因为A，B两点不关于x轴对称，故斜率存在，设直线的方程为点点 则由知即即所以  ①联立方程组 消去得由韦达定理有代入①得 化简得 ②，点到直线的距离△AOB的面积将②代入上式，再平方得要使上式为定值, 只需即需 从而 此时 所以存在这样的常数 此时为定值.8.已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A1，A2，且|A1A2|＝4,P为椭圆上异于A1，A2的点，PA1和PA2的斜率之积为﹣．(1)求椭圆C的标准方程；(2)设O为椭圆中心，M，N是椭圆上异于顶点的两个动点，求△OMN面积的最大值．【答案解析】解：(1)由，得，所以，．设，则， 解得．于是椭圆的标准方程为．(2)①当直线垂直于轴时，设的方程为，由，得，，从而，当时，△OMN的面积取得最大值．②当直线线与轴不垂直时，设的方程为，由消去，得．，化简得．设，，则，，，原点到直线的距离，所以．当且仅当时，取得最大值．综合①②知，△OMN的面积取得最大值．9.已知O为坐标原点，椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的短轴长为2，F为其右焦点，P为椭圆上一点，且PF与x轴垂直，．(1)求椭圆C的方程；(2)直线l与椭圆C交于不同的两点A、B，若以AB为直径的圆恒过原点O，求|AB|弦长的最大值．【答案解析】解：(1)由已知得，，又，，椭圆的方程为(2)当直线的斜率不存在或斜率为零时，易知；当直线的斜率存在且不为零时，直线，互相垂直且由图象的对称性知，直线，为椭圆有四个交点，从中任取两点作弦长所得的值相等．设直线方程为：联立：解得：不妨取，同理取则，综上 可知：10.已知O为坐标原点，椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为A1，A2，上、下顶点分别为B2、B1，四边形A1B1A2B2的面积为4，四边形F1B1F2B2的面积为2．(1)求椭圆C的标准方程；(2)若点M，N为椭圆C上的两个动点，△OMN的面积为1．证明：存在定点W，使得|WM|2＋|WN|2为定值．【答案解析】解：(1)由题意知，，即，，即，又，解得，，，椭圆的标准方程为．(2)证明：当定点为原点时，为定值5．证明如下：设，，，，①当直线的斜率不存在时，，，，即，，，，．②当直线的斜率存在时，设直线，代入可得，，，，设点到直线的距离为，则，而，，化简得，即，，．综上所述，存在定点W，当W为原点O时，可使|WM|2＋|WN|2为定值．11.已知直线经过椭圆C：＋＝1(a＞b＞c)的右焦点(1,0)，交椭圆C于点A，B，点F为椭圆C的左焦点，△ABF的周长为8．(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线m与直线的倾斜角互补，且交椭圆C于点M、N，|MN|2＝4|AB|.求证：直线m与直线l的交点P在定直线上．【答案解析】解：(1)由已知，得，，，椭圆的标准方程．(2)若直线的斜率不存在，则直线的斜率也不存在，这与直线与直线相交于点矛盾，所以直线的斜率存在．令，，，，，，，，，，．将直线的方程代入椭圆方程得：，，，．同理．由得，此时，△，直线，，即点的定直线x＝上．     12.已知椭圆的一个焦点与抛物线y2＝8x的焦点重合，点，在C上（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M，证明：的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．【答案解析】解：（Ⅰ）抛物线的焦点为，由题意可得：，即，又点，在椭圆上，可得，解得：，，，的方程：；（Ⅱ）证明：设直线的方程为，，，，，，整理得：，由韦达定理可知：，即有的中点的横坐标为，纵坐标为，直线的斜率为，即有，故的斜率与直线的斜率的乘积为定值．