高考数学二轮专题复习圆锥曲线专题01《中点问题》(2份打包，原卷版+教师版)

高考数学二轮专题复习圆锥曲线专题01

《中点问题》

1.过椭圆内一点M(2，1)引一条弦，使弦被M点平分，求这条弦所在直线的方程．

【答案解析】解：设直线与椭圆的交点为，、，

为的中点

，

又、两点在椭圆上，则，

两式相减得

于是

，即，

故所求直线的方程为y-1＝-(x-2)，即x＋2y-4＝0．

2.已知曲线C:3x2＋4y2＝12，试确定m的取值范围，使得对于直线y＝4x＋m，曲线C上总有不同两点关于该直线对称．

【答案解析】解：设椭圆上关于直线y＝4x＋m对称的点，，，，

则根据对称性可知线段AB被直线y＝4x＋m垂直平分．

可得直线AB的斜率k＝-，

直线AB与椭圆有两个交点，且AB的中点，在直线，

故可设直线AB的方程为y＝-x＋n，

联立方程组，整理可得

，，

△，

，，，代入，，

，的范围就是，．

3.已知椭圆的离心率是，直线y＝被椭圆E截得的线段长为．

（Ⅰ）求椭圆E的方程；

（Ⅱ）若椭圆E两个不同的点A，B关于直线y＝mx＋对称，求实数的取值范围．

【答案解析】解：（Ⅰ）由题设得，椭圆过点，

所以，解得，，，所以椭圆的方程为；

（Ⅱ）由（Ⅰ）易得知，可设直线的方程为．

由消去得

因为直线与椭圆有两个不同交点，所以①

设，，，，由韦达定理知，，

于是线段的中点坐标为，将其代入直线，解得②

将②代入①，得，解得或．

因此，所求实数的取值范围．

4.已知椭圆的一个焦点与抛物线y2＝8x的焦点重合，点，在C上

（Ⅰ）求C的方程；

（Ⅱ）直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M，证明：的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．

【答案解析】解：（Ⅰ）抛物线的焦点为，由题意可得：，即，

又点，在椭圆上，可得，解得：，，

，的方程：；

（Ⅱ）证明：设直线的方程为，，，，，

，整理得：，

由韦达定理可知：，

即有的中点的横坐标为，纵坐标为，

直线的斜率为，即有，

故的斜率与直线的斜率的乘积为定值．

5.已知椭圆的一个顶点为A(2,0)，离心率为．

（1）求椭圆C的方程；

（2）经过点M(1,1)能否作一条直线l，使直线l与椭圆交于A，B两点，且使得M是线段AB的中点，若存在，求出它的方程；若不存在，说明理由．

【答案解析】解：（1）椭圆的顶点为，，

又，，

，椭圆的方程为：．

（2）当过点的直线斜率不存在时，显然不成立，

设直线的斜率为，则其方程为：，

联立方程组，消去并整理，得，

△，整理，得，，

，且点是线段的中点，，，

故存在这样的直线，此时，直线方程为：，即，

存在符合条件的直线，它的方程．

6.已知双曲线，经过点M(1,1)能否作一条直线l，使直线l与双曲线交于A、B，且M是线段AB的中点，若存在这样的直线l，求出它的方程；若不存在，说明理由．

【答案解析】解：设过点M(1,1)的直线方程为或

（1）当存在时有得    （1）

当直线与双曲线相交于两个不同点，则必有

△，

又方程（1）的两个不同的根是两交点、的横坐标

又为线段的中点即

，使但使△

因此当时，方程（1）无实数解

故过点与双曲线交于两点、且为线段中点的直线不存在．

（2）当时，直线经过点但不满足条件，

综上，符合条件的直线不存在

7.在△ABC中，|BC|是|AB|、|AC|的等差中项，且B(-1,0)，C(1,0)．

（1）求顶点A的轨迹G的方程；

（2）若G上存在两点关于直线l:y＝2x＋m对称，求实数m的取值范围．

【答案解析】解：（1）由题意，，

顶点的轨迹是以，为焦点的椭圆（除去，，共线），

且，，，

顶点的轨迹的方程；

（2）解：设关于直线对称的点为，，则的方程为，

与椭圆方程联立，消去整理得：．即．

由△，得．

设，，，，则，，

再设的中点为，，则，

又在上，得，在上，得，即．

则，得．

8.已知椭圆C过点P(2,2)，且与椭圆有相同的焦点．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若椭圆C上存在A、B两点关于直线l：y＝x＋m对称，求实数m的取值范围．

【答案解析】解：（1）由椭圆，可得，可得焦点．

设椭圆的标准方程为，

则，解得，．椭圆的标准方程为．

（2）设直线的方程为：，，，，，线段的中点，．

联立，化为：．

△，化为：．

，．，．

，解得，代入．可得．

实数的取值范围是．