高中数学高考湖南省长沙市2020届高三上学期统一模拟（期末）考试数学（理科）试题(1)

这是一份高中数学高考湖南省长沙市2020届高三上学期统一模拟（期末）考试数学（理科）试题(1)，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
长沙市2020届高三年级统一模拟考试理科数学本试题卷共7页，全卷满分150分，考试用时120分钟.一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.已知集合，，则
A. B.
C. D.在复平面内，复数（是虚数单位）对应的点位于
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限如图，在正方形中，点是的中点，点满足，那么

A. B.
C. D.函数（其中为自然对数的底）的图象大致是

      A.                 B.                  C.                   D.在如图所示的正方形内任取一点，其中图中的圆弧为该正方形的内切圆，以及以正方形的顶点为圆心以正方形边长的一半为半径的圆弧，则点恰好取自阴影部分的概率为

A. B.
C. D.的展开式中的常数项为
A. B.
C. D.已知为锐角，且，则的值为
A. B.
C. D.设椭圆：的左、右焦点分别为，，点（）.已知动点在椭圆上，且点，，不共线，若的周长的最小值为，则椭圆的离心率为
A. B.
C. D.设三棱柱的侧棱垂直于底面，，，，且三校柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是
A. B.
C. D.设是数列的前项和，若，，则数列的前项和为
A. B.
C. D.已知函数，若，则的最小值为
A. B.
C. D.已知双曲线：，过其右焦点作渐近线的垂线，垂足为，交轴于点，交另一条渐近线于点，并且点位于点，之间.已知为原点，且，则
A. B.
C. D.二、填空题：本大愿共4个小题，每小题5分，共20分.已知函数为偶函数，则___________.已知是等比数列的前项和，且，，成等差数列，，则___________.若的图像关于直线对称，且当取最小值时，，使得，则的取值范围是___________.在四面体中，为等边三角形，边长为，，，，则四面体的体积为___________.三、解答题：本大题共7个小题，共70外，解答应写出文字说明，证明过程成演算步骤第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22.23题为选考照，考生1据要求作答.（一）必考题：共60分.（本小题满分12分）
已知的内角的对边分别为，且.
（1）求角的值；
（2）若，且的面积为，求的周长.（本小题满分12分）
如图，三棱柱中，侧面是菱形，其对角线的交点为，且，.
（1）求证：平面；
（2）设，若直线与平面所成的角为，求二面角的余弦值.
 （本小题满分12分）
已知椭图：的右顶点与抛物线：的焦点重合，椭圆的离心率为，过椭圆的右焦点且垂直于轴的直线截抛物线所得的弦长为.
（1）求椭图和抛物线的方程；
（2）过点的直线与椭图交于，两点，点关于轴的对称点为.当直线绕点旋转时，直线是否经过一定点？请判断并证明你的结论.（本小题满分12分）
某市有一家大型共享汽车公司，在市场上分别投放了黄、蓝两种颜色的汽车，已知黄、蓝两种颜色的汽车的投放比例为.监管部门为了了解这两种颜色汽车的质量，决定从投放到市场上的汽车中随机抽取辆汽车进行试驾体验，假设每辆汽车被抽取的时能性相同.
（1）求抽取的辆汽车中恰有辆是蓝色汽车的概率；
（2）在试驾体验过程中，发现蓝色汽车存在一定质量问题，监管部门决定从投放的汽车中随机地抽取一辆送技术部门作进一步抽样检测，并规定：若抽取的是黄色汽车.则将其放回市场，并继续随机地抽取下一辆汽车；若抽到的是蓝色汽车，则抽样结束；并规定抽样的次数不超过（）次，在抽样结束时，若已取到的黄色汽车数以表示，求的分布列和数学期望.（本小题满分12分）
已知函数，既存在极大值，又存在极小值.
（1）求实数的取值范围；
（2）当时，，分别为的极大值点和极小值点.且，求实数的取值范围.（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数），设直线与的交点为，当变化时点的轨迹为曲线.（1）求出曲线的普通方程；
（2）以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，点为曲线上的动点，求点到直线的距离的最大值.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若函数的最小值为，正数，满足，求证：.