高中数学高考黄金卷05（理）（新课标Ⅰ卷）（解析版）

这是一份高中数学高考黄金卷05（理）（新课标Ⅰ卷）（解析版），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
黄金卷05（新课标Ⅰ卷）理科数学本卷满分150分，考试时间120分钟。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合，，若，则实数的值为(  )。A、B、C、D、【答案】A【解析】∵，又，∴，又，∴、是方程的两个根，∴，故选A。2．设复数满足，则复数(  )。A、B、C、D、【答案】A【解析】，∴，故选A。3．已知实数、满足约束条件，则的最小值为(  )。A、B、C、D、【答案】A【解析】画可行域可知如图，令，则，作出直线并平移，分析可知当平移后的直线经过点时取得最小值，联立解得，则，∴的最小值为，故选A。4．已知、为双曲线：(，)的焦点，为与双曲线的交点，且有，则该双曲线的离心率为(  )。A、B、C、D、【答案】B【解析】由题意知，在中，，可设，则，由勾股定理得，，又由得，∴，故选B。5．现有人参加抽奖活动，每人依次从装有张奖票(其中张为中奖票)的箱子中不放回地随机抽取一张，直到张中奖票都被抽出时活动结束，则活动恰好在第人抽完后结束的概率为(  )。A、B、C、D、【答案】C【解析】将张奖票不放回地依取出共有种不同的取法，若恰好在第次抽奖结束，则前三次共抽到张中奖票，第次抽到最后张中奖票，共有种不同的取法，∴概率，故选C。6．如图的程序框图，若输入，，，则输出的值为(  )。A、B、C、D、【答案】C【解析】此程序图的功能是输出的、、中的最小数，又、、，∴，输出的值为，故选C。7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(  )。A、B、C、D、【答案】A【解析】根据几何体的三祝图可知，还原到正方体如图，该几何体是底面为直角形(上底是下底是，高是)，高为的四棱推，∴该几何体的体积，故选A。8．已知在边长为的正三角形中，、分别为边、上的动点，且，则的最大值为(  )。A、B、C、D、【答案】B【解析】如图建系，则、、，则，，设()，则()，则，，∴，，∴，当时取最大值，故选B。9．如图，点和点分别是函数(，，)图像上的最低点和最高点，若、两点间的距离为，则关于函数的说法正确的是(  )。A、在区间上单调递增B、在区间上单调递减C、在区间上单调递减D、在区间上单调递增【答案】C【解析】如图，过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，设两垂线的交点为，连接，可知为直角三角形，，，则，易知，解得，，∴，，得，，∴，故，由函数的图像经过点可得，则，，又，则，∴，∴的单调递增区间为，得()，的单调递减区间为，得()，∴当时在区间上单调递减，选C。10．已知是双曲线(，)的左焦点，过作一条渐近线的垂线与右支交于点，垂足为，且，则双曲线方程为(  )。A、B、C、D、【答案】D【解析】设双曲线右焦点为，连接，左焦点到渐近线的距离为，故，在中，，由双曲线定义得，在中，由余弦定理得，整理得，即，又，解得、，故双曲线方程为：，故选D。11．函数恰有两个整数解，则实数的取值范围为(  )。A、B、C、D、【答案】C【解析】的定义域为，恰有两个整数解等价于恰有两个整数解，令，定义域为，，令，易知为单调递减函数，，则当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增，又，，，由题意可知：，∴，故选C。12．现有一批大小不同的球体原材料，某工厂要加工出一个四棱锥零件，要求零件底面为正方形，，侧面为等边三角形，线段的中点为，若，则所需球体原材料的最小体积为(  )。A、B、C、D、【答案】A【解析】如图，设为中点，为正方形中心，连、，，设四棱锥的外接球的球心为，半径为，则球心一定在过点且垂直于底面的垂线上，∴，，∵是边长为的等边三角形，∴，又、，∴，∴,又，∴为外心，则球心一定在过点且垂直于侧面的垂线上，∴，∴，∴，又∵，∴，此时球心在四棱锥外，不是最小球，浪费材料，可把底面的外心看做最小球的球心，此时的球不是四棱锥的外接球，但这时候原材料最省，最小球的半径，，故选A。二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知为第三象限角，且，则        。【答案】【解析】由已知得，则，由为第三象限角，得，故，，∴。14．已知，则二项式的展开式中的系数为        。【答案】【解析】，则的展开式中的系数为：。15．已知函数是定义域为的偶函数，当时，，若关于的方程恰好有个不同的实数根，那么的值为        。【答案】【解析】做图像如图，令，则原方程可化为，    根据图像可知，原方程恰好有个不同的实数根，只需有两个不等的实数根、，由韦达定理得，，解得，，于是。16．在中，点是的中点，，且，，则       ，       。(本题第一空2分，第二空3分)【答案】【解析】∵，∴，在和中，分别由正弦定理得，，又，∴两式相比得，即，即，即，则或，又，∴，故。三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）已知正项数列的前项和为，且()，。(1)证明数列是等差数列，并求其前项和。(2)若，试求数列的前项和。【解析】(1)当时，由得：，                              1分∴，                         2分∴，                                      3分∵数列是正项数列，∴，∴，                     4分∴数列是等差数列，首项为，公差为，∴，                    5分∴；                                                     6分(2)由(1)知，，                                     8分∴                   9分。                                                           12分18．（12分）如图所示，在多面体中，四边形为正方形，四边形为矩形，平面平面，且。(1)求证：平面；(2)求二面角的余弦值。   【解析】∵平面平面，平面平面，又∵四边形为正方形，四边形为矩形，∴，∴平面，∴，                                2分∴以为原点，以、、为、、轴建系，则，，，，，，                    3分(1)证明：，，，则，，则，，又，∴平面，∴平面；                          5分(2)解：设平面的法向量为，设平面的法向量为，，，        ，，                 令，则，           令，，，         9分则，，则，设二面角的平面角为，经观察为锐角，则，∴二面角的余弦值为。                                    12分19．（12分）某钢管生产车间生产一批钢管，质检员从中抽出着十根对其直径(单位：)进行测量，得出这批钢管的直径服从正态分布。(1)当质检员随机抽检时，测得一根钢管的直径为，他立即要求停止生产，检查设备，请你根据所学知识，判断该质检员的决定是否有道理，并说明判断的依据；(2)如果钢管的直径满足为合格品(合格品的概率精确到)，现要从根该种钢管中任意挑选根，求次品数的分布列和数学期望。(参考数据：若，则，，)。【解析】(1)∵、、、，且，                 1分∴，         3分∴此事件为小概率事件，∴该质检员的决定有道理；                             4分(2)∵、、、，由题意可知钢管直径满足：为合格品，                       5分故试钢管为合格品的概率的为，根管中，合格品根，次品根，         6分任意挑选根，则次品数的可能取值为：、、、，，，，，                    10分则次品数的分布列为：则次品数的数学期望。   12分20．（12分）如图所示，已知椭圆：()的左、右焦点分别为、，过点且与轴垂直的直线与圆：交于点(点在轴上方)，与椭圆交于点(点在轴下方)，且满足。(1)若的面积为，求椭圆的标准方程；(2)过点作椭圆的切线，与直线交于点，其中，试判断以线段为直径的圆是否经过点，并说明理由。    【解析】(1)设，则直线的方程为，与联立得，       1分由得，∴，则，又，∴，                         2分故，，                                            3分由，解得，故，∴椭圆的标准方程为；                                          4分(2)由(1)知，椭圆的方程为，，                            5分设切线的方程为，                                         6分由得：，                8分∴，                                 9分解得或，其中时不满足，舍去，                          10分又，∴，即，故以线段为直径的圆经过点。                                         12分21．（12分）已知函数(且)。(1)讨论函数的单调性；(2)若函数有两个零点、()，且，证明：。【解析】(1)的定义域为，，                                    1分当时，恒成立，则在上单调递减，                    2分当时，令，当时，，则在上单调递减，当时，，则在上单调递增；           4分(2)由(1)知，，，依题意可知，解得，由得：()，，，由及得，即，                   6分欲证，只要，注意到在上单调递减，且，只要证明即可，由得，          7分∴           ，，                      9分令，，                               10分则，则在上是递增的，          11分于是，即，综上。                      12分请考生在第22、23两题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分。22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）已知点是曲线：上的动点，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，将线段绕点顺时针旋转得到线段，设点的轨迹为曲线。(1)求曲线和的极坐标方程；(2)设直线：，射线：，，若与曲线，直线分别交于、两点，求的最大值。【解析】(1)将、代人得曲线的极坐标方程，即，即，                          2分设，则，代入曲线的极坐标方程得曲线的极坐标方程，即；                                          5分(2)直线的极坐标方程为，设、，则、，                                            6分∴              ，         9分∴的最大值为。                                            10分23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知、、为正数，且满足。证明：(1)； (2)。【解析】证明：(1)∵、、为正数，，∴               2分                     3分，          4分∴；                                            5分(2)由、、，将上述三个不等式相加得：，                 7分又、、，同理，将上述三个不等式相加得：，                9分而，∴，当且仅当时，等号成立。 10分