高中数学高考黄金卷03（理）（新课标Ⅲ卷）（解析版）

这是一份高中数学高考黄金卷03（理）（新课标Ⅲ卷）（解析版），共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
本卷满分150分，考试时间120分钟。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，则( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】B
【解析】∵，，∴，故选B。
2．设复数满足，则( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】A
【解析】，则，故选A。
3．函数的图像大致是( )。
A、 B、 C、 D、
【答案】B
【解析】函数的定义域为，又，则为奇函数，排除C、D，
∵在上恒成立，而在上恒成立，
∴当时，，故选B。
4．音乐是由不同频率的声音组成的。若音()的频率为，则简谱中七个音()、()、()、()、()、()、()组成的音阶频率分别是、、、、、、，其中相邻两个音的频率比是一个音到另一个音的台阶。上述“七声音阶”的台阶只有两个不同的值，记为、() ，称为全音，称为半音，则下列关系式成立的是( )。
(参考数据：、)
A、
B、
C、
D、
【答案】D
【解析】由题意知，，显然A、B错误，
由，∴C错误，
而，∴D正确，故选D。
5．已知的展开式中的常数项为，则的系数为( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】A
【解析】的展开式的通项公式为，
∵常数项，∴，∴常数项为，解得，
∵，∴，∴的系数为，故选A。
6．已知、满足约束条件，则目标函数的取值范围是( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】D
【解析】
作图，令，则，做虚线，上下移动，
则过截距最大即，过截距最小即，
则转换为()，求值域，
∴，最小为，最大值为，故选D。
7．如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的体积为( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】D
【解析】由已知中的三视图可得该几何体是一个以正视图为底面的四棱锥，还原几何体如图所示，
故该四棱锥的外接球，与以俯视图为底面，以为高的直三棱柱的外接球相同，
∵底面底边为，高为，故底面是等腰直角三角形，
可得底面三角形外接圆的半径为，由棱柱高为可得，
外接球半径为，外接球的体积为，故选D。
8．已知双曲线：(，)的左焦点为，过原点的直线与双曲线左、右两支分别交于点、，且满足，虚轴的上端点在圆内，则该双曲线离心率的取值范围为( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】A
【解析】设双曲线的右焦点为连接、，如图所示，
由对称性可知，、关于原点对称，则，
又，∴四边形为平行四边形，
∴，则，∴，
∵虚轴的上端点在圆内，
∴，解得，则，即，
得，∴，故选A。
9．年，新型冠状病毒引发的疫情牵动着亿万人的心。八方驰援战疫情，众志成城克时难，社会各界支援湖北，共抗新型冠状病毒肺炎。沈阳市某医院的甲、乙、丙、丁、戊名医生到湖北的、、三个城市支援，若要求每个城市至少安排名医生，则城市恰好只有医生甲去支援的概率为( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】B
【解析】先算总数：分两步，第一步，把名医生分成三组，有、、和、、两种分法，
当分成、、时，有种情况，
当分成、、时，有种情况，
第二步，把这三组分到三个城市，则共有种情况，
再算城市恰好只有医生甲去支援的情况：
分两步，第一步，把名医生分成二组，有、和、两种分法，
当分成、时，有种情况，
当分成、时，有种情况，
第二步，把这两组分到两个城市，则共有种情况，
因此所求概率为，故选B。
10．将函数的图像向右平移个单位长度，再将所得图像上所有点的横坐标变为原来的
()倍(纵坐标不变)，得到函数的图像，若函数在区间上是增函数，则的取值范围是( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】B
【解析】将函数的图像经过变化后得到的图像，
令()，即()，
∵在上是增函数，∴，又，∴，
令时，解得，当且时，不符合题意，故选B。
11．如图为一个正方体与一个半球构成的组合体，半球的底面圆与正方体的上底面的四边相切，球心与正方形的中心重合，将此组合体重新置于一个球中(球未画出)，使正方体的下底面的顶点均落在球的表面上，半球与球内切，设切点为，若四棱锥的表面积为，则球的表面积为( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】B
【解析】设球、半球的半径分别为、，
则由正方体与半球的位置关系易知正方体的棱长为，
设正方体的下底面的中心为，连接，则四棱锥的高，
易知该四棱锥为正四棱锥，则其斜高为，
由题意得，得，
根据几何体的对称性知球的球心在线段上，连接、，
在中，，，，
则，解得，
∴球的表面积，故选B。
12．设函数的零点为、、…，表示不超过的最大整数，有下述四个结论：①函数在上单调递增；②函数与有相同零点；③函数有且仅有一个零点，且；④函数有且仅有两个零点，且。其中所有正确结论的个数是( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】C
【解析】，当时，，
∴函数在上单调递增，故①正确，
显然不是零点，令，
则在上，与有相同零点，故②正确，
在上，，
∴在上单调递增，在上也单调递增，
而、，∴存在，使，
又、，∴存在的，使，
∴在上只有两个零点、，也即在上只有两个零点到、，
且，故③错误、④正确，正确的命题有个，故选C。
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知向量，，且与平行，那么 。
【答案】
【解析】∵、，且与平行，
∴，解得。
14．曲线在处的切线方程为 。
【答案】
【解析】由求导可得，
故在处切线斜率为，∴切线方程为。
15．已知抛物线：，，若抛物线上存在点()，使得过点的切线，设与轴交于点，则的面积为 。
【答案】
【解析】由可得，，∴直线的斜率，
又直线的斜率为，∵切线，∴，又，
解得，，不妨设，则直线的方程为，即，
∴，则的面积为。
16．已知数列满足，，，则 ，
。(本题第一空2分，第二空3分)
【答案】，
【解析】∵，∴，∴，且，即，
∴的奇数项为首项为、公差为的等差数列，
设()，则，
∴的偶数项为首项为、公差为的等差数列，
设()，则，
∴；
∵
。
三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（12分）
在中、、分别为角、、所对的边，已知。
(1)求角的大小；
(2)若、，求的面积。
【解析】(1)在中，，
∵，∴由正弦定理得：， 2分
∴，
即，
化简得， 4分
又，∴，∴； 6分
(2)在中，由余弦定理得：， 8分
即，∴，解得(可取)或(舍)， 10分
∴。 12分
18．（12分）
某商场为了了解顾客的购物信息，随机在商场收集了位顾客购物的相关数据如下表：
统计结果显示位顾客中一次购物款不低于元的顾客占，该商场每日大约有名顾客，为了增加商场销售额度，对一次购物不低于元的顾客发放纪念品。
(1)试确定、的值，并估计每日应准备纪念品的数量；
(2)现有人前去该商场购物，用频率估计概率，求获得纪念品的数量的分布列与数学期望。
【解析】(1)由已知，位顾客中购物款不低于元的顾有：
，解得，则， 2分
该商场每日应准备纪念品的数量约为； 4分
(2)由(1)可知人购物获得纪念品的频率即为概率， 5分
故人购物获得纪念品的数量服从二项分配， 6分
则，
，
，
，
， 10分
则的分布列为：
的数学期望为。 12分
19．（12分）
如图所示，在三棱柱中，四边形为菱形，， 平面平面，，，为的中点。
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面所成角的大小。
【解析】(1)∵四边形为菱形，，， 1分
∴，∴， 2分
又平面平面，平面平面，
∴平面， 3分
又，∴平面； 4分
(2)取的中点，的中点，连接、，
∵平面，∴平面，∴、，
又四边形是菱形，，是的中点，∴，
故、、两两互相垂直， 6分
以为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
∴、、、， 7分
由图可知，平面的一个法向量为， 8分
设平面的法向量为，则，即，
取，得平面的一个法向量为， 10分
设平面与平面所成角的平面角为，
则， 11分
又∵，∴，∴平面与平画所成角为。 12分
20．（12分）
已知函数，，。
(1)设函数，当存在最小值时，求其最小值的解析式；
(2)对(1)中的和任意的、，证明：。
【解析】(1)，的定义域为，∴， 1分
①当时，令，解得，
∴当时，，在上递减，
当时，，在上递增，
∴是在上的唯一极值点，从而也是的最小值点，
∴最小值， 4分
②当时，恒成立，在上递增，无最小值，
故的最小值的解析式为()； 6分
(2)由(1)知，对任意的、，
，①； 8分
，② 9分
，③ 10分
故由①②③得。 12分
21．（12分）
记抛物线：()的焦点为，过点的动直线与的交点为、。当的斜率为时，。
(1)求抛物线的方程；
(2)若，()，求的取值范围。
【解析】(1)抛物线的焦点，直线的方程为， 1分
联立直线与抛物线的方程得：， 2分
设、，则，，
则， 3分
∵，∴，即，解得，
∴抛物线的方程为； 4分
(2)由(1)知，焦点，由得：，，
由得，又、，
故，代入得，即，， 6分
①当时，点，此时，，
∴，记，则，
当时，，故在上单调递减，
∴的取值范围是， 9分
②当时，点，此时，，
∴，同理，当时，在上单调递增，
∴的取值范围是， 11分
综上，的取值范围是。 12分
请考生在第22、23两题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分。
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数，)。以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，圆的极坐标方程为。
(1)化圆的极坐标方程为直角坐标标准方程；
(2)设点，圆心，若直线与圆交手、两点，求的最大值。
【解析】(1)圆的极坐标方程为，
∴， 2分
∵，，，∴，
∴圆的直角坐标标准方程为； 4分
(2)由(1)知圆的圆心的直角坐标为，则，∴，
∴直线的参数方程为(为参数，)， 6分
将直线的参数方程代入得：，
设点、对应的参数方程为、，则，， 8分
，
∴当时，取得最大值为。 10分
23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知函数。
(1)若，解不等式；
(2)对任意满足的实数、，若总存在实数，使，求实数的取值范围。
【解析】(1)当，，即或或， 2分
解得或或， 3分
∴，即不等式的解集为； 4分
(2)根据题意得的取值范围是值域的子集， 5分
∵，由基本不等式得：
， 7分
当且仅当、时等号成立，
∴的取值范围为， 8分
∵，∴的值域为，
∴，∴，即实数的取值范围为。 10分一次购物款(单位：元)
顾客人数