高中数学高考黄金卷03（文）（新课标Ⅱ卷）（解析版）

这是一份高中数学高考黄金卷03（文）（新课标Ⅱ卷）（解析版），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
本卷满分150分，考试时间120分钟。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，则( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】A
【解析】∵，
，
∴，故选A。
2．已知复数满足，则( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】B
【解析】∵，则，故选B。
3．若双曲线(，)的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，则该双曲线的渐近线方程是( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】A
【解析】双曲线(，)的一个焦点到一条渐近线的距离为，则，
则，又，则，则，，
渐近线方程为，即，故选A。
4．如图的程序框图，若输入，，，则输出的值为( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】C
【解析】此程序图的功能是输出的、、中的最小数，
又、、，
∴，输出的值为，故选C。
5．若函数的值域为，则实数的取值范围为( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】C
【解析】等价于的值域能取到内的任意实数，
若，则，可取，
若，则需，，解得，
∴的范围为，故选C。
6．设曲线()上任意一点处切线斜率为，则函数的部分图像可以为( )。
A、 B、 C、 D、
【答案】D
【解析】∵()上任一点处切线率为，
∴，∴，
∴该函数为奇函数，且当时，，故选D。
7．近年来，黄金周给百姓的生活带来了巨大变化。不断增长的旅游需求，日益完善的旅游市场和四通八达的交通出行，让人们对黄金周热情不改。而随着社会老龄化程度的不断加深，老人出游人数也越来越多。据全国老龄办统计，国内游总人次中有两成是老年人。某旅行社在十一期间接待了大量的老年旅行团，旅行团人数的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，可见部分如下(阴影部分为损坏数据)，估算该旅行社团的平均人数和频率分布直方图中的矩形的高分别为( )。
A、，
B、，
C、，
D、，
【答案】A
【解析】由茎叶图得，旅行团人数在的频数为，
由频率分布直方图可得，人数在的频率为，
可得旅行团总数为，则旅行团人数在的频率为，
在频率分布直方图中对应的高为，可得频率分布表如下：
∴平均人数为，故选A。
8．已知在边长为的正三角形中，、分别为边、上的动点，且，则的最大值为( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】B
【解析】如图建系，则、、，
则，，设()，
则()，则，，
∴，，
∴，
当时取最大值，故选B。
9．函数()的图象关于对称，且在上单调递增，则函数在区间上的最小值为( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】B
【解析】由题意得：()，解得()，
且，故，∴，
即，∵、∴，
故在区间上的最小值为，故选B。
10．互相垂直的直线、(不与坐标轴垂直)过抛物线：的焦点，且分别与抛物线交于点、、、，记、的中点分别为、，则线段的中点的轨迹方程为( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】A
【解析】由题意，抛物线：的焦点，
设直线、的方程分别为和，
、、、，
联立得，∴、，
联立得，∴、，
∴、，∴，
∴的轨迹方程为，故选A。
11．设，若，恒成立，则实数的取值范围为( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】A
【解析】将不等式变形为，
当时，不等式恒成立；
当时，不等式变形为，
记，则，而，
因此在上单调递增，故，∴，故，
∴的取值范围是，故选A。
12．已知正四面体内接于球，点是底面三角形一边的中点，过点作球的截面，若存在半径为的截面圆，则正四面体棱长的取值范围是( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】C
【解析】如图，在正四面体中，设顶点在底面的射影为，
则球心在上，在上，连接、，
设正四面体的棱长为，
则正四面体的高，
设外接球半径为，
在中，，即，解得，
∴在中，，
过点作外换球的截面，只有当截面圆所在的平面时，截面圆的面积最小，
此时截面圆的半径为，
最大截面圆为过球心的大圆，半径为，
由题设存在半径为的截面圆，∴，解得，故选C。
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知平面单位向量、互相垂直，且平面向量，，，若，则实数 。
【答案】
【解析】，∵，∴，即，
即，解得。
14．若实数、满足，且的最小值为，则实数的值为 。
【答案】
【解析】画出可行域如图所示，
当目标函数过点时取得最小值
由得，则，解得。
15．已知函数是定义域为的偶函数，当时，，若关于的方程恰好有个不同的实数根，那么的值为 。
【答案】
【解析】做图像如图，令，则原方程可化为，
根据图像可知，原方程恰好有个不同的实数根，
只需有两个不等的实数根、，
由韦达定理得，，解得，，于是。
16．在中，角、、的对边分别为、、，，，若，则 ， 。(本题第一空2分，第二空3分)
【答案】
【解析】由正弦定理得，又由题意可知得，即，
则，即，解得，又，∴，
由余弦定理得，∴；
由得，∵，∴，
∴，，
∴。
三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（12分）
某公司统计了年期间该公司年收入的增加值(万元)以及相应的年增长率，所得数据如表所示：
(1)通过表格数据可知，可用线性回归模型拟合年的年收入增加值与代码的关系，求增加值关于代码的线性回归方程；
(2)从哪年开始连续三年公司年收入増加值的方差最大？(不需要说明理由)
附：对于一组数据、、…、，其回归直线中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，。
【解析】(1)依题意，，， 2分
， 4分
， 6分
，故， 8分
故所求的同归方程为； 9分
(2)年。 12分
18．（12分）
如图所示，在直角梯形中，，，且，、分别为线段、的中点，沿把折起，使，得到如下的立体图形。
(1)证明：平面平面；
(2)若，求点到平面的距离。
【解析】(1)证明：由题意可得，则，
又，，平面， 2分
∴平面，
又∵平面，∴平面平面； 4分
(2)过点作交于点，连接，则平面，∴， 5分
又，，∴平面， 6分
又平面，∴，易得∽，
则，得， 7分
设点到平面的距离为，
∵可得， 8分
又∵、，，平面，
∴平面，∴， 10分
又∵，，∴， 11分
∴，故点到平面的距离为。 12分
19．（12分）
已知数列和满足，且数列是等比数列，，。
(1)求数列和的通项公式；
(2)求数列的前项和。
【解析】(1)设等比数列的公比为()，
依题意得①， 1分
当时，可得，
当时，②， 2分
①②两式相减得：，
又，即当时，，即， 3分
故，故，
故当时，， 4分
累加得
， 5分
又当时，符合，∴； 6分
(2)设由(1)得，， 7分
∴
， 8分
， 9分
∴上式减下式得：
， 10分
化简可得。 12分
20．（12分）
已知椭圆：()的右焦点与抛物线的焦点重合，以椭圆的短轴为直径的圆过椭圆的焦点。
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点的直线交椭圆于、两点，直线：与椭圆在第一象限的交点为点，，求直线的方程。
【解析】(1)∵抛物线的焦点为，∴， 1分
由椭圆的短轴为直径的圆过圆的焦点，则， 2分
又，得，， 3分
∴椭圆的标准方程为； 4分
(2)由(、)，得， 5分
由得，
即，可得， 6分
①当垂直轴时，，此时满足题意，
∴此时直线的方程为：， 7分
②当不垂直轴时，设、，直线的方程为，
联立消去得：，
则，， 9分
代入可得：，
代入和得：，
化简得，解得，
经检验满足题意，则直线的方程为， 11分
综上所述，直线的方程为或。 12分
21．（12分）
已知函数，其中，。
(1)当时，证明不等式恒成立；
(2)若()，证明有且仅有两个零点。
【解析】(1)令，则， 1分
当时，，∴在上单调递减， 3分
∴，即不等式恒成立； 4分
(2)的定义城为，且，
令，，则在上单调递增，
当时，，∴， 6分
， 7分
故在上有唯一解，从而在上有唯一解，
不妨设为，则，
当时，，∴在上单调递减，
当时， ，∴在上单调递增，
因此是唯一极值点， 8分
∵，∴，即在上有唯一零点， 9分
，
∵，由(1)可知，∴，
即在上有唯一零点， 11分
综上，在上有且仅有两个零点。 12分
请考生在第22、23两题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分。
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在平面直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数)。在以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，圆的极坐标方程为。
(1)求的普通方程和圆的直角坐标方程；
(2)已知点，直线与圆相交于、两点，求。
【解析】(1)将直线的参数方程消去参数得直线的普通方程为， 2分
将和代入到中，
则圆的直角坐标方程为，即； 5分
(2)将的参数方程 (为参数)代入到圆的直角坐标方程，
得，设这个方程的两个实根分别为、， 7分
则由参数的几何意义即知，。 10分
23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知()。
(1)当时，求不等式的解集；
(2)若，不等式恒成立，求的取值范围。
【解析】(1)当时，， 1分
①当时，不等式可化为，解得，∴，2分
②当时，不等式可化为，解得，∴，3分
③当时，不等式可化为，解得，∴， 4分
综上可知，原不等式的解集为； 5分
(2)当时，不等式，即，整理得，
则，即， 6分
又，故分离参数可得， 7分
令函数()，显然在上单调递减，∴，
当时，(当且仅当时等号成立)， 9分
∴实数的取值范围为。 10分人数
频率
年份
代码
增加值
增长率