高中数学高考黄金卷04（理）（新课标Ⅲ卷）（解析版）

黄金卷04（新课标Ⅲ卷）理科数学本卷满分150分，考试时间120分钟。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知，，则(  )。A、B、C、D、【答案】D【解析】，又，∴，故选D。2．已知复数满足，则(  )。A、B、C、D、【答案】B【解析】∵，则，故选B。3．下列说法错误的是(  )。A、“若，则”的逆否命题是“若，则”B、“”是“”的充分不必要条件C、“，”的否定是“，”D、命题“在锐角中，＂为真命题【答案】D【解析】依题意，根据逆否命题的定义可知，A正确，由解得或，“”是“”的充分不必要条件，B正确，∵全称命题的否定是特称命题，C正确，锐角中，，∴，D错误，故选D。4．若、、，且，则下列不等式中一定成立的是(  )。A、B、C、D、【答案】D【解析】∵，∴，对于A，若，则不等式不成立，对于B，若，则不等式不成立，对于A，若、，则不等式不成立，对于D，若，∴，故选D。5．如图，我国古代珠算算盘每个档(挂球的杆)上有颗算珠，用梁隔开，梁上面颗叫上球，下面颗叫下珠。若从某一档的颗算珠中任取颗，至少含有一颗上珠的概率为(  )。A、B、C、D、【答案】D【解析】从某一档的算珠中任取颗的所有基本事件有种，一颗上珠都没有的基本事件有种，则至少含有一颗上珠的概率为，故选D。6．下列图像中，不可能是函数(，且)大致图像的是(  )。A、    B、   C、   D、【答案】B【解析】考虑函数图像过原点的情况，必有，，令，可得，，可知当时，，函数图像单调递增，当时，，函数图像单调递减，且函数定义域为，∴函数图像大致为A，同理，令、可得，图像大致为D，对于图像B，由于图像过原点，必有，，而、，图像为A，、，图像为 D，∴图像B不可能成为函数的图像，对于图像 C，根据图像特征，，，可选择、的，且满足单调性，不唯一，例如，可得，图像大致为C，故选B。7．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(  )。A、B、C、D、【答案】C【解析】还原空间几何体如图，可知该几何体为底面是正三角形的直三棱柱中的一个五面体，其中为的中点，直三棱柱的高为，底面正三角形的边长为，高为，故该几何体的体积为，故选C。8．在，，，点是的重心，则的最小值是(  ) 。A、B、C、D、【答案】C【解析】设的中点为，∵点是的重心，∴，再令，，则，解得，∴，∴，当且当时取等号，故选C。9．已知函数为定义在上的奇函数，当时，，则关于的函数()的所有零点之和为(  )。A、B、C、D、【答案】D【解析】∵为定义在上的奇函数，先画当时的图像如图，再围绕原点将的图像旋转得到时的图像，的零点可以看做与()的图像的交点，由图像可知交点一共有个，设交点的横坐标从左到右依次为、、、、，则，，且满足，解得，∴，故选D。10．已知圆：，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线、，、为切点，则直线经过定点(  )。A、B、C、D、【答案】B【解析】设直线：的参数方程为(为参数)，∵圆：的两条切线分别为、，切点分别为、，∴，，则点、在以为直径的圆上，设这个圆为圆，即是圆与圆的公共弦，则圆心的坐标是，且半径的平方是，∴圆的方程是，则公共弦所在的直线方程为：，即，则，得，，∴直线经过定点，故选B。11．已知函数与函数()的图像上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围为(  )。A、B、C、D、【答案】B【解析】由题意得，在上有解，即在上有解，即函数与函数的图像在上有交点，函数的图像是由函数的图像左右平移得到的，且当的图像经过点时，函数与函数的图像有界交点，此时代入点，有，得，∴，故选B。12．现有一批大小不同的球体原材料，某工厂要加工出一个四棱锥零件，要求零件底面为正方形，，侧面为等边三角形，线段的中点为，若，则所需球体原材料的最小体积为(  )。A、B、C、D、【答案】A【解析】如图，设为中点，为正方形中心，连、，，设四棱锥的外接球的球心为，半径为，则球心一定在过点且垂直于底面的垂线上，∴，，∵是边长为的等边三角形，∴，又、，∴，∴,又，∴为外心，则球心一定在过点且垂直于侧面的垂线上，∴，∴，∴，又∵，∴，此时球心在四棱锥外，不是最小球，浪费材料，可把底面的外心看做最小球的球心，此时的球不是四棱锥的外接球，但这时候原材料最省，最小球的半径，，故选A。二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若实数、满足，且的最小值为，则实数的值为        。【答案】【解析】画出可行域如图所示，当目标函数过点时取得最小值由得，则，解得。14．已知，则二项式的展开式中的系数为        。【答案】【解析】，则的展开式中的系数为：。15．自习近平到湖南湘西考察时首次作出了“实事求是、因地制宜、分类指导、精准扶通贫”的重要指示后，各地根据“因地制宜、整合资源、精准施策、统筹推进”的工作思路，使得脱贫攻坚取得了历史性成效。如今脱贫攻坚工作已进人“啃硬骨头、攻坚拔寨”的冲刺期，大学生村官这一支年轻的队伍，在精准扶贫过程中，充分发挥自己的聪明才智，带领村民走出一条致富之路。大学生王某带领团队研发一款绿色饮料，包装容器如图所示，容量为，容器由瓶盖及瓶身下部个圆柱体，和瓶身上部一个圆台组成，但瓶盖部分不计入容积。则该容器的表面积为       。注：圆台体积公式，圆台侧面积公式，，，。【答案】【解析】由题知该容器由个圆柱体和一个圆台组成，但瓶盖部分不计入容积，∵，容器总容量，∴，又，可得，∴容器的表面积为：。16．已知点为双曲线：(，)在第一象限上一点，点为双曲线的右焦点，为坐标原点，，则双曲线的离心率为        ；若、分别交双曲线于、两点，记直线与的斜率分别为、，则        。(本题第一空2分，第二空3分)【答案】    【解析】设，则，则，，即，将其代入双曲线方程得：，即，又，∴，即，两边同除以得，即，解得或，又，∴；设，又，则，将点、的坐标分别代入双曲线方程得，两式做差得：，故。三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）已知等比数列的前项和为，且()。(1)求数列的通项公式；(2)若数列满足，求数列的前项和。【解析】(1)当时，，                                                     1分当时，，即，                        2分∴等比数列的公比是，∴，即，故，             3分故数列是首项为，公比为的等比数列，；                        4分(2)由(1)知，，又，∴，故，∴，        6分则，                                  7分    ，                                8分两式相减得：，        11分∴。                                                       12分18．（12分）幼儿园组织“选妈妈”游戏：有四位妈妈分别躲在四个外观一模一样的花轿里让小朋友们去猜哪一个花轿里是自已的妈妈。假设各位小朋友都是随机选择，选到每一位妈妈都是等可能的。(1)已知妮妮的妈妈在某个花轿里，如果给妮妮两次机会单独去玩“选妈妈”游戏，求他选到自己妈妈的概率；(2)如果四位妈妈所对应的四位小朋友一起选择，一人只选一个花轿，而且每个人选的花轿都不相同，记恰好选到自己妈妈的人数为，求的分布列与数学期望。【解析】(1)记“妮妮选到自己妈妈”为事件，则；                       3分(2)由题意知的所有可能值为、、、，                                    4分则，                                                     5分，                                                     6分，                                                   7分，                                                      8分∴随机变量的分布列：                                                   10分则。                                    12分19．（12分）如图，斜平行六面体中，，，，。(1)求证：平面平面；(2)求二面角的余弦值。        【解析】(1)由题意可知，∵，∴，                           1分平行四边形中，，∴四边形为菱形，                    2分∴，∵，∴平面，                         3分∵平面，∴平面平面；                           4分(2)∵，∴平面，∵平面，∴平面平面，平行四边形中，，∴四边形为菱形，连接，交于，取中点，连接、，可得平面， 6分故可以以、、所在直线分别为、、轴建系如图，则、、、，则，，，                         7分设平面的法向量为，则，令，则，，∴平面的法向量为，                                      9分设平面的法向量为，则，令，则，，∴平面的法向量为，                                        11分∴，设二面角的平面角为，经观察为锐角，则。  12分20．（12分）已知椭圆：()的右焦点与抛物线的焦点重合，以椭圆的短轴为直径的圆过椭圆的焦点。(1)求椭圆的标准方程；(2)过点的直线交椭圆于、两点，直线：与椭圆在第一象限的交点为点，，求直线的方程。【解析】(1)∵抛物线的焦点为，∴，                               1分由椭圆的短轴为直径的圆过圆的焦点，则，                         2分又，得，，                                          3分∴椭圆的标准方程为；                                          4分(2)由(、)，得，                                     5分由得，即，可得，                               6分①当垂直轴时，，此时满足题意，∴此时直线的方程为：，                                            7分②当不垂直轴时，设、，直线的方程为，联立消去得：，则，，                                       9分代入可得：，代入和得：，化简得，解得，经检验满足题意，则直线的方程为，                          11分综上所述，直线的方程为或。                           12分21．（12分）已知函数。(1)当时，求证：；(2)求证：当时，方程有且仅有个实数根。【解析】(1)令，的定义域为，，                1分当时，恒成立，∴在上单调递减，∴当时，恒成立，                                    3分故当时，；                                             4分(2)设，的定义域为，，5分设，的定义域为，，       6分当时，恒成立，∴在上单调递减，又，，∴存在唯一的使据，         7分当时，则，∴在上单调递增，当时，则，∴在上单调递减，      8分∴在处取得极大值也是最大值，又，，，                          10分∴在与上各有一个零点，即当时，方程有且仅有个实数根。                      12分请考生在第22、23两题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分。22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系中，曲线 ：(为参数)，在以为极点，轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线：。(1)写出曲线和的普通方程；(2)若曲线上有一动点，曲线上有一动点，求使最小时点的坐标。【解析】(1)由题意可知曲线为椭圆，的普通方程为：，                      2分曲线为直线，的普通方程为：；                              4分(2)结合图形可知：最小值即为点到直线的距离的最小值，设，则到直线的距离，其中， 6分∴当时，最小，即的最小值为，        7分此时，，即，即最小时点的坐标为。                10分23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数，。 (1)当时，求不等式的解集；(2)若存在()，使不等式成立，求实数的取值范围。【解析】(1)当时，不等式即，                             1分可化为或或，        2分解得或或，则不等式的解集为，    4分由得，∴不等式的解集为；      5分(2)当()时，，，∴，              6分于是原问题可化为存在()，使，即成立，设，，则，                              7分∵函数的图像为开口向上的抛物线，图像的对称轴为直线，  8分∴在()上单调递减，，        9分解得或，又，∴实数的取值范围是。          10分