高中数学高考第九章 9 6双曲线-教师版

这是一份高中数学高考第九章 9 6双曲线-教师版，共22页。试卷主要包含了双曲线定义，双曲线的标准方程和几何性质，已知直线l与双曲线C，已知M是双曲线C，已知点A，B分别是双曲线C等内容，欢迎下载使用。

双曲线



知识梳理




1．双曲线定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.
(1)当2a|F1F2|时，P点不存在．
2．双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
－＝1(a>0，b>0)
－＝1 (a>0，b>0)
图形


性
质
范围
x≥a或x≤－a，y∈R
x∈R，y≤－a或y≥a
对称性
对称轴：坐标轴 对称中心：原点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线
y＝±x
y＝±x
离心率
e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
a、b、c的关系
c2＝a2＋b2 (c>a>0，c>b>0)

【知识拓展】
巧设双曲线方程
(1)与双曲线－＝1(a>0，b>0)有共同渐近线的方程可表示为－＝t(t≠0)．
(2)过已知两个点的双曲线方程可设为＋＝1(mn0)表示焦点在x轴上的双曲线．(　×　)
(3)双曲线方程－＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是－＝0，即±＝0.(　√　)
(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.(　√　)

【例2】1、若双曲线－＝1 (a>0，b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为(　　)
A. B．5
C. D．2
答案　A
解析　由题意得b＝2a，又a2＋b2＝c2，∴5a2＝c2.
∴e2＝＝5，∴e＝.
2．等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2＝16x的准线交于A，B两点，|AB|＝4，则C的实轴长为(　　)
A. B．2 C．4 D．8
答案　C
解析　设C：－＝1.
∵抛物线y2＝16x的准线为x＝－4，联立－＝1和x＝－4，得A(－4，)，B(－4，－)，
∴|AB|＝2＝4，
∴a＝2，∴2a＝4.
∴C的实轴长为4.

3．下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y＝±2x的是(　　)
A．x2－＝1 B.－y2＝1
C.－x2＝1 D．y2－＝1
答案　C
解析　由双曲线性质知A、B项双曲线焦点在x轴上，不合题意；C、D项双曲线焦点均在y轴上，但D项渐近线为y＝±x，只有C符合，故选C.

4．设双曲线x2－＝1的左，右焦点分别为F1，F2.若点P在双曲线上，且△F1PF2为锐角三角形，则|PF1|＋|PF2|的取值范围是________．
答案　(2，8)
解析　由已知a＝1，b＝，c＝2，则e＝＝2，
设P(x，y)是双曲线上任一点，
由对称性不妨设P在右支上，
则142，解得x>，
所以0)．
由题意知，2b＝12，e＝＝.∴b＝6，c＝10，a＝8.
∴双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.
(2)∵双曲线经过点M(0,12)，∴M(0,12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y轴上，且a＝12.
又2c＝26，∴c＝13，∴b2＝c2－a2＝25.
∴双曲线的标准方程为－＝1.
(3)设双曲线方程为mx2－ny2＝1(mn>0)．
∴解得
∴双曲线的标准方程为－＝1.

命题点3　利用定义解决焦点三角形问题
【例5】已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左，右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos ∠F1PF2＝________.
答案　
解析　∵由双曲线的定义有|PF1|－|PF2|
＝|PF2|＝2a＝2，
∴|PF1|＝2|PF2|＝4，
则cos∠F1PF2＝
＝＝.

【变式练习】
1、本例中若将条件“|PF1|＝2|PF2|”改为“∠F1PF2＝60°”，则△F1PF2的面积是多少？
解　不妨设点P在双曲线的右支上，
则|PF1|－|PF2|＝2a＝2，
在△F1PF2中，由余弦定理，得
cos∠F1PF2＝
＝，所以|PF1|·|PF2|＝8，
所以＝|PF1|·|PF2|sin 60°＝2.
2．本例中若将条件“|PF1|＝2|PF2|”改为“·＝0”，则△F1PF2的面积是多少？
解　不妨设点P在双曲线的右支上，则|PF1|－|PF2|＝2a＝2，
由于·＝0，所以⊥，
所以在△F1PF2中，有|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，
即|PF1|2＋|PF2|2＝16，
所以|PF1|·|PF2|＝4，
所以＝|PF1|·|PF2|＝2.
思维升华　(1)利用双曲线的定义判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出双曲线方程；
(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系．
(3)待定系数法求双曲线方程具体过程中先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a，b，c，e及渐近线之间的关系，求出a，b的值，如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可设有公共渐近线的双曲线方程为－＝λ(λ≠0)，再由条件求出λ的值即可．
【同步练习】(1)已知F1，F2为双曲线－＝1的左，右焦点，P(3,1)为双曲线内一点，点A在双曲线上，则|AP|＋|AF2|的最小值为(　　)
A.＋4 B.－4
C.－2 D.＋2
(2)设F1，F2分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左，右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|＋|PF2|＝3b，|PF1|·|PF2|＝ab，则该双曲线的离心率为(　　)
A. B.
C. D．3
答案　(1)C　(2)B
解析　(1)由题意知，|AP|＋|AF2|＝|AP|＋|AF1|－2a，
要求|AP|＋|AF2|的最小值，只需求|AP|＋|AF1|的最小值，
当A，P，F1三点共线时，取得最小值，
则|AP|＋|AF1|＝|PF1|＝，
∴|AP|＋|AF2|的最小值为|AP|＋|AF1|－2a＝－2.
故选C.
(2)不妨设P为双曲线右支上一点，|PF1|＝r1，|PF2|＝r2.根据双曲线的定义，得r1－r2＝2a，
又r1＋r2＝3b，故r1＝，r2＝.
又r1·r2＝ab，所以·＝ab，
解得＝(负值舍去)，
故e＝＝＝＝，
故选B.

题型三　双曲线的几何性质
【例6】(1)已知椭圆C1：＋y2＝1(m＞1)与双曲线C2：－y2＝1(n＞0)的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则(　　)
A．m＞n且e1e2＞1 B．m＞n且e1e2＜1
C．m＜n且e1e2＞1 D．m＜n且e1e2＜1
(2)在平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的渐近线与抛物线C2：x2＝2py(p＞0)交于点O，A，B.若△OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为________．
答案　(1)A　(2)
解析　(1)由题意可得m2－1＝n2＋1，即m2＝n2＋2，
又∵m＞0，n＞0，故m＞n.
又∵e·e＝·＝·＝＝1＋＞1，∴e1·e2＞1.
(2)由题意，不妨设直线OA的方程为y＝x，直线OB的方程为y＝－x.
由得x2＝2p ·x，
∴x＝，y＝，∴A.
设抛物线C2的焦点为F，则F，
∴kAF＝.
∵△OAB的垂心为F，∴AF⊥OB，∴kAF·kOB＝－1，
∴·＝－1，∴＝.
设C1的离心率为e，则e2＝＝＝1＋＝.
∴e＝.
思维升华　双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率，在双曲线－＝1(a>0，b>0)中，离心率e与双曲线的渐近线的斜率k＝±满足关系式e2＝1＋k2.
【同步练习】1、已知F1，F2是双曲线E：－＝1的左，右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1＝，则E的离心率为(　　)
A. B. C. D．2
答案　A
解析　离心率e＝，由正弦定理得e＝＝＝＝.故选A.







题型四　直线与双曲线的综合问题
【例7】已知椭圆C1的方程为＋y2＝1，双曲线C2的左，右焦点分别是C1的左，右顶点，而C2的左，右顶点分别是C1的左，右焦点．
(1)求双曲线C2的方程；
(2)若直线l：y＝kx＋与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B，且·>2(其中O为原点)，求k的取值范围．
解　(1)设双曲线C2的方程为－＝1(a>0，b>0)，
则a2＝4－1＝3，c2＝4，
再由a2＋b2＝c2，得b2＝1.
故C2的方程为－y2＝1.
(2)将y＝kx＋代入－y2＝1，
得(1－3k2)x2－6kx－9＝0.
由直线l与双曲线C2交于不同的两点，得

∴k2≠且k22，得x1x2＋y1y2>2，
∴>2，即>0，
解得0，解得－m2b1>0)的长轴长、短轴长、焦距成等比数列，离心率为e1；双曲线－＝1(a2>0，b2>0)的实轴长、虚轴长、焦距也成等比数列，离心率为e2，则e1e2等于(　　)
A. B．1 C. D．2
答案　B
解析　由b＝a1c1，得a－c＝a1c1，∴e1＝＝.
由b＝a2c2，得c－a＝a2c2，∴e2＝＝.
∴e1e2＝×＝1.
7．已知M(x0，y0)是双曲线C：－y2＝1上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若·0，b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，则此双曲线的离心率e的最大值为________．
答案　
解析　由定义，知|PF1|－|PF2|＝2a.
又|PF1|＝4|PF2|，∴|PF1|＝a，|PF2|＝a.
在△PF1F2中，由余弦定理，
得cos∠F1PF2＝＝－e2.
要求e的最大值，即求cos∠F1PF2的最小值，
∴当cos∠F1PF2＝－1时，得e＝，
即e的最大值为.
12．已知F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，P是C的左支上一点，A(0,6)．当△APF的周长最小时，该三角形的面积为________．
答案　12
解析　设左焦点为F1，|PF|－|PF1|＝2a＝2，
∴|PF|＝2＋|PF1|，△APF的周长为|AF|＋|AP|＋|PF|＝|AF|＋|AP|＋2＋|PF1|，△APF周长最小即为|AP|＋|PF1|最小，当A、P、F1在一条直线时最小，过AF1的直线方程为＋＝1，与x2－＝1联立，解得P点坐标为(－2,2)，此时S△APF＝－＝12.








13．中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1，F2，且|F1F2|＝2，椭圆的长半轴与双曲线实半轴之差为4，离心率之比为3∶7.
(1)求这两曲线方程；
(2)若P为这两曲线的一个交点，求cos∠F1PF2的值．
解　(1)由已知c＝，设椭圆长半轴长，短半轴长分别为a，b，
双曲线实半轴长，虚半轴长分别为m，n，
则
解得a＝7，m＝3.∴b＝6，n＝2.
∴椭圆方程为＋＝1，
双曲线方程为－＝1.
(2)不妨设F1，F2分别为左，右焦点，P是第一象限的一个交点，
则|PF1|＋|PF2|＝14，|PF1|－|PF2|＝6，
∴|PF1|＝10，|PF2|＝4.又|F1F2|＝2，
∴cos∠F1PF2＝
＝＝.