高中数学高考第20讲 导数与三角函数的综合问题(解析版)
展开1.设.
(Ⅰ)求证:当时,;
(Ⅱ)若不等式对任意的恒成立,求实数的取值范围.
【解析】(Ⅰ)证明:,则,
设,则,(2分)
当时,,即为增函数,
所以,
即在时为增函数,所以.(4分)
(Ⅱ)解法一:由(Ⅰ)知时,,,
所以,(6分)
设,则,
设,则,
当时,所以为增函数,
所以,所以为增函数,所以,
所以对任意的恒成立.(8分)
又,时,,
所以时对任意的恒成立.(9分)
当时,设,则,,
所以存在实数,使得任意,均有,所以在为减函数,
所以在时,所以时不符合题意.
综上,实数的取值范围为,.(12分)
(Ⅱ)解法二:因为等价于(6分)
设,则
可求,(8分)
所以当时,恒成立,在,是增函数,
所以,即,即
所以时,对任意恒成立.(9分)
当时,一定存在,满足在时,,
所以在是减函数,此时一定有,
即,即,不符合题意,故不能满足题意,
综上所述,时,对任意恒成立.(12分)
2.已知函数的定义域为,且对任意实数、,都有(a)(b),当时,恒成立.
(1)求证:函数是上的减函数;
(2)若不等式对任意实数恒成立,求实数的取值范围.
【解析】(1)证明:设,则,
当时,恒成立,则,
,
函数是上的减函数;
(2)解:,则.
不等式
.
①当时,,显然成立;
②,则且△,解得.
综上,实数的取值范围是,.
3.已知函数,其中,为自然对数的底数.
(Ⅰ)求函数的单调区间;
(Ⅱ)当时,,求实数的取值范围.
【解析】解:(Ⅰ),
令,
当,,,单调递增,(2分)
,,,单调递减 (4分)
(Ⅱ) 令,即恒成立,
而,
令,
,,在,上单调递增,,(6分)
当时,,在,上单调递增,,符合题意;
当时,在,上单调递减,,与题意不合; (8分)
当时,为一个单调递增的函数,而,,
由零点存在性定理,必存在一个零点,使得,
当,时,,从而在,上单调递减,
从而,与题意不合,
综上所述:的取值范围为,(12分)
4.已知函数,,当,时,
(Ⅰ)若函数在处的切线与轴平行,求实数的值;
(Ⅱ)求证:;
(Ⅲ)若恒成立,求实数的取值范围.
【解析】解:,
函数在处的切线与轴平行,则,
得.
证明:①当,时,,
令,则.
当,时,,
在,上是增函数,
,即.
②当,时,,令,则.
当,时,,
在,单调递增,,
,
综上可知:;
(Ⅲ)解:设
.
令,则,
令,则.
当,时,,
可得是,上的减函数,
,故在,单调递减,
..
当时,在,上恒成立.
下面证明当时,在,上不恒成立.
.
令,则.
当,时,,故在,上是减函数,
,.
当时,.
存在,使得,此时,.
即在,不恒成立.
综上实数的取值范围是,.
高考预测二:含三角的不等式证明
5.已知函数.
(Ⅰ)求的单调区间;
(Ⅱ)记为的从小到大的第个零点,证明:对一切,有.
【解析】解:(Ⅰ),
,
由,解得,
当,,,此时,函数单调递减,
当,,,此时,函数单调递增,
故的单调增区间为,,,单调递减区间为,,.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,在区间上单调递减,
又,故,
当,
,
且函数的图象是连续不间断的,
在区间,内至少存在一个零点,
又在区间,是单调的,
故,
因此当时,有成立.
当时,有.
当时,
.
综上证明:对一切,有.
6.已知函数,.
若不存在极值点,求的取值范围;
(Ⅱ)若,证明:.
【解析】解:(Ⅰ),
设
,
(1)时:
,
在上单增,其值域是,
存在,使,且在处左右两边值异号,
是的极值点,
得不可取;
(2)时:
时,,在其上单减
时,,在其上单增
,在处取极小值也是最小值
若 即,
,在上单增,无极值点
得可取,
若 即
在上的值域是,
存在,使,且在处左右两边值异号,
是的极值点
得不可取;
所以的取值范围是,.
(Ⅱ),,故,,
要证明,只需证明,
(1)当时,,,
故成立;
(2)当时,设,
则,
设,则,
,,
故在,递增,
故(1),即,
故在,递增,
故(1),即,
综上,若,.
7.(1)证明:,时,
(2)若不等式对,恒成立,求实数的取值范围.
【解析】(1)证明:记,则,
当时,,在,上是增函数,
当,时,,在,上是减函数,
又,(1),当,时,,即,
记,则当时,,在,上是减函数.
则,即.
综上,;
(2)当,时,不等式恒成立,
即恒成立,
也就是恒成立,
即恒成立,
则在,上恒成立.
恒成立,解得.
实数的取值范围是,.
8.(1)证明:当,时,;
(2)证明:当时,对,恒成立.
【解析】证明:(1),则,,
,,,恒成立
,在,上递减,
,,
,在,上递减,
;(4分)
记,则,,
恒成立,
,在,上递增,
,
,在,上递增,
;
;(7分)
(2),时,,
当时,对,恒成立.(14分)
9.已知函数,.若对于任意的实数恒有,求实数的取值范围.
【解析】解:对于任意的实数恒有,即有,
即,显然,
时,显然成立;
由偶函数的性质,只要考虑的情况.
当时,,即为,
由,则,考虑的导数为,
即递减,即有,即,
则有,故,
即有,解得.
则实数的取值范围为,.
10.已知函数.
(1)讨论函数在区间,上的最小值;
(2)当时,求证:对任意,恒有成立.
【解析】(1)解:函数的定义域是,,
①当时,,则,
则函数在上单调递减,即函数在区间,上单调递减,
故函数在区间,上的最小值为;
②当时,令,得;令,得,
故函数在上单调递减,在上单调递增,
当,即时,函数在区间,上单调递增,
故函数在区间,上的最小值为(1),
当,即时,函数在区间,上单调递减,
故函数在区间,上的最小值为,
当,即时,函数在上单调递减,在上单调递增,
此时函数在区间,上的最小值为,
综上,当时,函数在区间,上的最小值为;
当时,函数在区间,上的最小值为;
当时,函数在区间,上的最小值为(1).
(2)证明:当时,,
要证,即证,
因为,所以两边同时乘,得,
即证,
当时,,而,
所以成立,即成立,
当时,令,
则,
设,则因为,
因为,所以,
所以当时,单调递增,
所以,即,
所以在上单调递增,
所以,即成立,
综上,对任意,恒有成立.
11.已知函数.
(Ⅰ)求证:有唯一零点,且;
(Ⅱ)对于(Ⅰ)中的,当,时,,求实数的取值范围.
【解析】证明:函数,则,
又,故在上单调递增,
所以,故在上单调递增,
又,(1),
所以在上存在唯一零点;
解:由知,,时,,
所以,即问题等价于在,恒成立,
令,
令,
当,时,,,
所以,即,
故在,上单调递减,
所以当,时,,
所以,
故实数的取值范围是.
12.已知函数.
(1)当时,设,求的最小值;
(2)求证:当,时,.
【解析】(1)解:函数,所以,
则,故在,上恒成立,
所以在,上单调递增,则有,
所以在,上单调递增,则有,
故的最小值为0;
(2)证明:令,则在,上恒成立,
所以在,上单调递减,则有,
所以,即,
由(1)可知,对,恒成立,即,即,
当时,
,
因为,所以,所以,
故,
令,则对恒成立,
所以在,上单调递增,则有,即,
所以,
故.
13.已知函数.
(1)求函数在内的单调递增区间;
(2)当,时,求证:.
【解析】解:(1)由题意知,,,
所以当时,解得,
即在的单调递增区间是,;
(2)证明:令,,只需证即可,
,,
故在单调递减,即,,
所以,从而在上单调递减,即恒成立,
当时,恒成立,即,
由(1)知,当时,恒成立,
综上,得证.
14.已知函数,为常数).
(1)求函数在处的切线方程;
(2)设.
(ⅰ)若为偶数,当时,函数在区间上有极值点,求实数的取值范围;
(ⅱ)若为奇数,不等式在,上恒成立,求实数的最小值.
【解析】解:(1)函数,所以,
则,当时,,故切点为,
由点斜式可得函数在处的切线方程为,即;
(2)当为偶数时,,则,
令,则,
因为且,所以在上恒成立,
则在上单调递减,其中,,
因为在有极值点,所以且,即,
当时,存在,使得,
令,即,在上单调递增;
令,即,在,上单调递减,
所以在有极值点,
故实数的取值范围为.
当为奇数时,在,上恒成立,
当时,;
当时,恒成立,
又,令,则,,所以,因为,
①当时,,所以恒成立,所以在,上单调递减,所以,故符合题意;
②当时,则在上恒成立,所以当时,单调递增,,与题意不符合;
③当时,,,则,所以在上存在零点,
设为在上的最小零点,则时,,因此在上单调递增,所以,不符合题意.
综上所述,的最小值为.
第20讲 导数解答题之导数解决含三角函数式的证明(原卷及解析版): 这是一份第20讲 导数解答题之导数解决含三角函数式的证明(原卷及解析版),文件包含第20讲导数解答题之导数解决含三角函数式的证明原卷版docx、第20讲导数解答题之导数解决含三角函数式的证明解析版docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共15页, 欢迎下载使用。
高中数学高考专题20 利用导数解决函数的极值点问题(解析版): 这是一份高中数学高考专题20 利用导数解决函数的极值点问题(解析版),共47页。试卷主要包含了单选题,多选题,解答题等内容,欢迎下载使用。
高中数学高考第20讲 导数与三角函数的综合问题(原卷版): 这是一份高中数学高考第20讲 导数与三角函数的综合问题(原卷版),共4页。试卷主要包含了已知函数,,当,时,,已知函数,已知函数,,证明等内容,欢迎下载使用。