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    高中数学高考第20讲 导数与三角函数的综合问题(解析版)
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    高中数学高考第20讲 导数与三角函数的综合问题(解析版)

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    这是一份高中数学高考第20讲 导数与三角函数的综合问题(解析版),共15页。试卷主要包含了已知函数,,当,时,,已知函数,已知函数,,证明等内容,欢迎下载使用。

    1.设.
    (Ⅰ)求证:当时,;
    (Ⅱ)若不等式对任意的恒成立,求实数的取值范围.
    【解析】(Ⅰ)证明:,则,
    设,则,(2分)
    当时,,即为增函数,
    所以,
    即在时为增函数,所以.(4分)
    (Ⅱ)解法一:由(Ⅰ)知时,,,
    所以,(6分)
    设,则,
    设,则,
    当时,所以为增函数,
    所以,所以为增函数,所以,
    所以对任意的恒成立.(8分)
    又,时,,
    所以时对任意的恒成立.(9分)
    当时,设,则,,
    所以存在实数,使得任意,均有,所以在为减函数,
    所以在时,所以时不符合题意.
    综上,实数的取值范围为,.(12分)
    (Ⅱ)解法二:因为等价于(6分)
    设,则
    可求,(8分)
    所以当时,恒成立,在,是增函数,
    所以,即,即
    所以时,对任意恒成立.(9分)
    当时,一定存在,满足在时,,
    所以在是减函数,此时一定有,
    即,即,不符合题意,故不能满足题意,
    综上所述,时,对任意恒成立.(12分)
    2.已知函数的定义域为,且对任意实数、,都有(a)(b),当时,恒成立.
    (1)求证:函数是上的减函数;
    (2)若不等式对任意实数恒成立,求实数的取值范围.
    【解析】(1)证明:设,则,
    当时,恒成立,则,

    函数是上的减函数;
    (2)解:,则.
    不等式

    ①当时,,显然成立;
    ②,则且△,解得.
    综上,实数的取值范围是,.
    3.已知函数,其中,为自然对数的底数.
    (Ⅰ)求函数的单调区间;
    (Ⅱ)当时,,求实数的取值范围.
    【解析】解:(Ⅰ),
    令,
    当,,,单调递增,(2分)
    ,,,单调递减 (4分)
    (Ⅱ) 令,即恒成立,
    而,
    令,
    ,,在,上单调递增,,(6分)
    当时,,在,上单调递增,,符合题意;
    当时,在,上单调递减,,与题意不合; (8分)
    当时,为一个单调递增的函数,而,,
    由零点存在性定理,必存在一个零点,使得,
    当,时,,从而在,上单调递减,
    从而,与题意不合,
    综上所述:的取值范围为,(12分)
    4.已知函数,,当,时,
    (Ⅰ)若函数在处的切线与轴平行,求实数的值;
    (Ⅱ)求证:;
    (Ⅲ)若恒成立,求实数的取值范围.
    【解析】解:,
    函数在处的切线与轴平行,则,
    得.
    证明:①当,时,,
    令,则.
    当,时,,
    在,上是增函数,
    ,即.
    ②当,时,,令,则.
    当,时,,
    在,单调递增,,

    综上可知:;
    (Ⅲ)解:设

    令,则,
    令,则.
    当,时,,
    可得是,上的减函数,
    ,故在,单调递减,
    ..
    当时,在,上恒成立.
    下面证明当时,在,上不恒成立.

    令,则.
    当,时,,故在,上是减函数,
    ,.
    当时,.
    存在,使得,此时,.
    即在,不恒成立.
    综上实数的取值范围是,.
    高考预测二:含三角的不等式证明
    5.已知函数.
    (Ⅰ)求的单调区间;
    (Ⅱ)记为的从小到大的第个零点,证明:对一切,有.
    【解析】解:(Ⅰ),

    由,解得,
    当,,,此时,函数单调递减,
    当,,,此时,函数单调递增,
    故的单调增区间为,,,单调递减区间为,,.
    (Ⅱ)由(Ⅰ)知,在区间上单调递减,
    又,故,
    当,

    且函数的图象是连续不间断的,
    在区间,内至少存在一个零点,
    又在区间,是单调的,
    故,
    因此当时,有成立.
    当时,有.
    当时,

    综上证明:对一切,有.
    6.已知函数,.
    若不存在极值点,求的取值范围;
    (Ⅱ)若,证明:.
    【解析】解:(Ⅰ),


    (1)时:

    在上单增,其值域是,
    存在,使,且在处左右两边值异号,
    是的极值点,
    得不可取;
    (2)时:
    时,,在其上单减
    时,,在其上单增
    ,在处取极小值也是最小值
    若 即,
    ,在上单增,无极值点
    得可取,
    若 即
    在上的值域是,
    存在,使,且在处左右两边值异号,
    是的极值点
    得不可取;
    所以的取值范围是,.
    (Ⅱ),,故,,
    要证明,只需证明,
    (1)当时,,,
    故成立;
    (2)当时,设,
    则,
    设,则,
    ,,
    故在,递增,
    故(1),即,
    故在,递增,
    故(1),即,
    综上,若,.
    7.(1)证明:,时,
    (2)若不等式对,恒成立,求实数的取值范围.
    【解析】(1)证明:记,则,
    当时,,在,上是增函数,
    当,时,,在,上是减函数,
    又,(1),当,时,,即,
    记,则当时,,在,上是减函数.
    则,即.
    综上,;
    (2)当,时,不等式恒成立,
    即恒成立,
    也就是恒成立,
    即恒成立,
    则在,上恒成立.
    恒成立,解得.
    实数的取值范围是,.
    8.(1)证明:当,时,;
    (2)证明:当时,对,恒成立.
    【解析】证明:(1),则,,
    ,,,恒成立
    ,在,上递减,
    ,,
    ,在,上递减,
    ;(4分)
    记,则,,
    恒成立,
    ,在,上递增,

    ,在,上递增,

    ;(7分)
    (2),时,,
    当时,对,恒成立.(14分)
    9.已知函数,.若对于任意的实数恒有,求实数的取值范围.
    【解析】解:对于任意的实数恒有,即有,
    即,显然,
    时,显然成立;
    由偶函数的性质,只要考虑的情况.
    当时,,即为,
    由,则,考虑的导数为,
    即递减,即有,即,
    则有,故,
    即有,解得.
    则实数的取值范围为,.
    10.已知函数.
    (1)讨论函数在区间,上的最小值;
    (2)当时,求证:对任意,恒有成立.
    【解析】(1)解:函数的定义域是,,
    ①当时,,则,
    则函数在上单调递减,即函数在区间,上单调递减,
    故函数在区间,上的最小值为;
    ②当时,令,得;令,得,
    故函数在上单调递减,在上单调递增,
    当,即时,函数在区间,上单调递增,
    故函数在区间,上的最小值为(1),
    当,即时,函数在区间,上单调递减,
    故函数在区间,上的最小值为,
    当,即时,函数在上单调递减,在上单调递增,
    此时函数在区间,上的最小值为,
    综上,当时,函数在区间,上的最小值为;
    当时,函数在区间,上的最小值为;
    当时,函数在区间,上的最小值为(1).
    (2)证明:当时,,
    要证,即证,
    因为,所以两边同时乘,得,
    即证,
    当时,,而,
    所以成立,即成立,
    当时,令,
    则,
    设,则因为,
    因为,所以,
    所以当时,单调递增,
    所以,即,
    所以在上单调递增,
    所以,即成立,
    综上,对任意,恒有成立.
    11.已知函数.
    (Ⅰ)求证:有唯一零点,且;
    (Ⅱ)对于(Ⅰ)中的,当,时,,求实数的取值范围.
    【解析】证明:函数,则,
    又,故在上单调递增,
    所以,故在上单调递增,
    又,(1),
    所以在上存在唯一零点;
    解:由知,,时,,
    所以,即问题等价于在,恒成立,
    令,
    令,
    当,时,,,
    所以,即,
    故在,上单调递减,
    所以当,时,,
    所以,
    故实数的取值范围是.
    12.已知函数.
    (1)当时,设,求的最小值;
    (2)求证:当,时,.
    【解析】(1)解:函数,所以,
    则,故在,上恒成立,
    所以在,上单调递增,则有,
    所以在,上单调递增,则有,
    故的最小值为0;
    (2)证明:令,则在,上恒成立,
    所以在,上单调递减,则有,
    所以,即,
    由(1)可知,对,恒成立,即,即,
    当时,
    ,
    因为,所以,所以,
    故,
    令,则对恒成立,
    所以在,上单调递增,则有,即,
    所以,
    故.
    13.已知函数.
    (1)求函数在内的单调递增区间;
    (2)当,时,求证:.
    【解析】解:(1)由题意知,,,
    所以当时,解得,
    即在的单调递增区间是,;
    (2)证明:令,,只需证即可,
    ,,
    故在单调递减,即,,
    所以,从而在上单调递减,即恒成立,
    当时,恒成立,即,
    由(1)知,当时,恒成立,
    综上,得证.
    14.已知函数,为常数).
    (1)求函数在处的切线方程;
    (2)设.
    (ⅰ)若为偶数,当时,函数在区间上有极值点,求实数的取值范围;
    (ⅱ)若为奇数,不等式在,上恒成立,求实数的最小值.
    【解析】解:(1)函数,所以,
    则,当时,,故切点为,
    由点斜式可得函数在处的切线方程为,即;
    (2)当为偶数时,,则,
    令,则,
    因为且,所以在上恒成立,
    则在上单调递减,其中,,
    因为在有极值点,所以且,即,
    当时,存在,使得,
    令,即,在上单调递增;
    令,即,在,上单调递减,
    所以在有极值点,
    故实数的取值范围为.
    当为奇数时,在,上恒成立,
    当时,;
    当时,恒成立,
    又,令,则,,所以,因为,
    ①当时,,所以恒成立,所以在,上单调递减,所以,故符合题意;
    ②当时,则在上恒成立,所以当时,单调递增,,与题意不符合;
    ③当时,,,则,所以在上存在零点,
    设为在上的最小零点,则时,,因此在上单调递增,所以,不符合题意.
    综上所述,的最小值为.
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