2023届宁夏银川一中高三下学期第五次月考试题数学（理）含答案

    银川一中2023届高三年级第五次月考

数学理

一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.

1.集合的真子集个数为（    ）

A.3    B.4    C.7    D.8

2.复数满足（为虚数单位），则的虚部为（    ）

A.-1    B.1    C.    D.

3.如图，是边长为2的等边三角形，点由点沿线段向点移动，过点作的垂线，设，记位于直线左侧的图形的面积为，那么与的函数关系的图象大致是（    ）

A.    B.

C.    D.

4.高中生们常常互送祝福“天黑有灯，下雨有丛，考试遇难题秒出答案”，我国油纸央的制作工艺巧妙.如图（1），伞不管是张开还是收拢，全柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的角，且，从而保证伞圈能够沿着伞柄滑动如图（2），伞完全收拢时，全圈已滑到的位置，且三点共线，为的中点，当伞从完全张开到完全收拢，仝圈沿着伞柄向下滑动的距离为，则当伞完全张开时，的余弦值是（    ）

A.    B.    C.    D.

5.若，且则“”是“方程表示焦点在轴上的椭圆”的（    ）

A.充分而不必要条件    B.必要而不充分条件

C.充分必要条件    D.既不充分也不必要条件

6.已知是两条不重合的直线，是两个不重合的平面，则下列结论正确的是（    ）

A.若，则

B.若，则

C.若，则

D.若，则

7.已知直线与圆相交于两点，且的长度始终为6，则的最大值为（    ）

A.1    B.    C.    D.

8.有一组样本数据，该样本的平均数和方差均为2，在该组数据中加入1个数2得到新的样本数据，则两组样本数据相同的为（    ）

A.平均数和中位数    B.中位数和方差

C.方差和极差    D.平均数和极差

9.2022年4月8日（当地时间），马斯克的太空探索公司"SpaceX"首次用"龙”飞船将4人送上太空站，一中著名物理老师汪老师依此事实为基础，在班里举行了太空知识讲座，汪老师抽取了班里的10名同学（其中男生6名，女生4名）进行了相关问题的提问，然后，又从这10名同学中随机抽取4人在班里轮流发言，则抽取的女生人数不低于男生人数，且第一个发言的为男生的不同情况有（    ）

A.540种    B.1080种    C.1208种    D.1224种

10.已知的外接圆的圆心为，半径为在上的投影向量为，则（    ）

A.    B.    C.1    D.

11.已知是双曲线的左､右焦点，过的直线与双曲线的左支交于点，与右支交于点，若，且双曲线的离心率为，则（    ）

A.    B.

C.    D.

12.已知函数，若且满足，则的取值范围是（    ）

A.    B.    C.    D.

二､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.

13.抛物线C：的准线方程为__________.

14.函数与函数的图像围成一个封闭图形，这个封闭图形的面积是__________.

15.观察下面数阵：

则该数阵中第8行，从左往右数的第16个数是__________.

16.如图，已知正方体的棱长为分别为，的中点，则下列说法正确的是__________.（填写所有正确说法的序号）全科试题免费下载公众号《高中僧课堂》

①平面截正方体所得截面图形的周长为；

②点到平面的距离为；

③平面将正方体分割成两部分，较小一部分的体积为；

④三棱锥的外接球的表面积为.

三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.

（一）必考题：共60分.

17.（本小题12分）

在等比数列中，.

（1）求的通项公式；

（2）求数列的前项和.

18..（本小题12分）

人类命运共同体的提法将中国梦融入世界梦，充分展现了中国的大国担当.在第75届联合国大会上中国承诺，将采取更加有力的政策和措施，力争于2030年之前使二氧化碳的排放达到峰值，努力争取2060年之前实现碳中和（简称“双碳目标"），此举展现了我国应对气候变化的坚定决心，预示着中国经济结构和经济社会运转方式将产生深刻变革，极大促进我国产业链的清洁化和绿色化.新能源汽车､电动汽车是重要的战略新兴产业，对于实现“双碳目标”具有重要的作用.为了解某一地区电动汽车销售情况，一机构根据统计数据，用最小二乘法得到电动汽车销量（单位：万台）关于（年份）的线性回归方程为，且销量的方差为，年份的方差为.

（1）求与的相关系数，并据此判断电动汽车销量与年份的相关性强弱；

（2）该机构还调查了该地区90位购车车主的性别与购车种类情况，得到的数据如下表：

依据小概率值的独立性检验，能否认为购买电动汽车与车主性别有关；

①参考数据：；

②参考公式：（i）线性回归方程：，其中；

（ii）相关系数：，若，则可判断与线性相关较强.

③参考临界值表：

19..（本小题12分）

已知矩形中，，现将沿对角线向上翻折得到四面体，且.

（1）求点到平面的距离；

（2）求二面角的大小.

20.（本小题12分）

已知椭圆的左焦点为，离心率为.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设为坐标原点，为直线上一点，过作的垂线交椭圆于.当四边形是平行四边形时，求四边形的面积.

21.已知函数，.

（1）若的最值和的最值相等，求m的值；

（2）证明：若函数有两个零点，，则.

（二）选考题：共10分.请考生在第22､23题中任选一题作答.

22.（本小题满分10分）（选修4-4：坐标系与参数方程）

在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆经过极点，且其圆心的极坐标为.

（1）求直线的普通方程与圆的极坐标方程；

（2）若射线分別与圆和直线交于点（点异于坐标原点），求线段长.

23.（本小题满分10分）（选修4-5：不等式选讲）

设均为正数，且，证明：

（1）；

（2）

银川一中2023届高三第五次月考数学（理科）

（参考答案）

13.    14.    15.285    16.③④

17.（1）；    （2）.

【详解】（1）由题设，则的公比，所以.

（2）由（1）知：，

所以.

18.【详解】（1）相关系数为

故与线性相关较强.

（2）零假设为：购头电动汽车与车主性别相互独立，

即购买电动汽车与车主性别无关.

所以依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，

即认为购买电动汽车与车主性别有关，此推断犯错误的概率不大于.

19.【详解】

（1）由题意可得，

又，面，故面.

设点到平面的距离为，

利用等体积法：，

所以解得；

（2）

以点为原点，为轴，为轴，过平行与的射线为轴建立空间直角坐标系，，，，.

设平面法向量为，平面法向量为，

，取则，

故为平面的一个法向量；

，取则，

故为平面的一个法向量；，

结合图形可知，二面角的大小是锐角，故二面角的余弦值为，该角大小为.

20.（1）依条件，且，所以椭圆的标准方程为.

（2）设点的坐标为，则直线的斜率.

当时，直线的斜率，直线的方程是.

当时，直线的方程是，也符合的形式.

设，将直线的方程与椭圆的方程联立，得.

消去，得.其判别式.

所以.

因为四边形是平行四边形，

所以，即.

所以解得.此时四边形的面积

21.【详解】

（1）对函数求导可得：，令，可得：，

所以函数在上递增，在上递减，

则，又，所以，，

令，可得：，所以函数在单调递减，在单调递增，

则，由题意可知：，，所以m的值为.

（2）若有两个零点，，不妨设，，设，，

由，得，

因为函数是增函数，所以，

则，设，则，，

欲证，

即证，即证，

只需证（*）设，，

，在上，，单调递减，

所以，

所以，

令即得（*）成立，

从而，命题得证.

（二）选考题：共10分.请考生在第22､23题中任选一题作答.

22.解：（1）消得直线，圆C经过极点，且其圆心的极坐标为，所以圆是以为圆心，半径为2的圆.其方程是，可

得其极坐标方程为；

（2）将代入得，

直线1的极坐标方程是，

将代入得，故.

23.（1）由得

.由题设得，即

所以，即.当且仅当“”时等号成立；

（2），当且仅当“”时等号成立.

故，即.