2023届宁夏银川一中高三下学期第五次月考试题数学(理)含答案
展开这是一份2023届宁夏银川一中高三下学期第五次月考试题数学(理)含答案,共14页。试卷主要包含了集合的真子集个数为,复数满足,2022年4月8日等内容,欢迎下载使用。
银川一中2023届高三年级第五次月考
数学理
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.
1.集合的真子集个数为( )
A.3 B.4 C.7 D.8
2.复数满足(为虚数单位),则的虚部为( )
A.-1 B.1 C. D.
3.如图,是边长为2的等边三角形,点由点沿线段向点移动,过点作的垂线,设,记位于直线左侧的图形的面积为,那么与的函数关系的图象大致是( )
A. B.
C. D.
4.高中生们常常互送祝福“天黑有灯,下雨有丛,考试遇难题秒出答案”,我国油纸央的制作工艺巧妙.如图(1),伞不管是张开还是收拢,全柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的角,且,从而保证伞圈能够沿着伞柄滑动如图(2),伞完全收拢时,全圈已滑到的位置,且三点共线,为的中点,当伞从完全张开到完全收拢,仝圈沿着伞柄向下滑动的距离为,则当伞完全张开时,的余弦值是( )
A. B. C. D.
5.若,且则“”是“方程表示焦点在轴上的椭圆”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
6.已知是两条不重合的直线,是两个不重合的平面,则下列结论正确的是( )
A.若,则
B.若,则
C.若,则
D.若,则
7.已知直线与圆相交于两点,且的长度始终为6,则的最大值为( )
A.1 B. C. D.
8.有一组样本数据,该样本的平均数和方差均为2,在该组数据中加入1个数2得到新的样本数据,则两组样本数据相同的为( )
A.平均数和中位数 B.中位数和方差
C.方差和极差 D.平均数和极差
9.2022年4月8日(当地时间),马斯克的太空探索公司"SpaceX"首次用"龙”飞船将4人送上太空站,一中著名物理老师汪老师依此事实为基础,在班里举行了太空知识讲座,汪老师抽取了班里的10名同学(其中男生6名,女生4名)进行了相关问题的提问,然后,又从这10名同学中随机抽取4人在班里轮流发言,则抽取的女生人数不低于男生人数,且第一个发言的为男生的不同情况有( )
A.540种 B.1080种 C.1208种 D.1224种
10.已知的外接圆的圆心为,半径为在上的投影向量为,则( )
A. B. C.1 D.
11.已知是双曲线的左、右焦点,过的直线与双曲线的左支交于点,与右支交于点,若,且双曲线的离心率为,则( )
A. B.
C. D.
12.已知函数,若且满足,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡的相应位置.
13.抛物线C:的准线方程为__________.
14.函数与函数的图像围成一个封闭图形,这个封闭图形的面积是__________.
15.观察下面数阵:
则该数阵中第8行,从左往右数的第16个数是__________.
16.如图,已知正方体的棱长为分别为,的中点,则下列说法正确的是__________.(填写所有正确说法的序号)全科试题免费下载公众号《高中僧课堂》
①平面截正方体所得截面图形的周长为;
②点到平面的距离为;
③平面将正方体分割成两部分,较小一部分的体积为;
④三棱锥的外接球的表面积为.
三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.
(一)必考题:共60分.
17.(本小题12分)
在等比数列中,.
(1)求的通项公式;
(2)求数列的前项和.
18..(本小题12分)
人类命运共同体的提法将中国梦融入世界梦,充分展现了中国的大国担当.在第75届联合国大会上中国承诺,将采取更加有力的政策和措施,力争于2030年之前使二氧化碳的排放达到峰值,努力争取2060年之前实现碳中和(简称“双碳目标"),此举展现了我国应对气候变化的坚定决心,预示着中国经济结构和经济社会运转方式将产生深刻变革,极大促进我国产业链的清洁化和绿色化.新能源汽车、电动汽车是重要的战略新兴产业,对于实现“双碳目标”具有重要的作用.为了解某一地区电动汽车销售情况,一机构根据统计数据,用最小二乘法得到电动汽车销量(单位:万台)关于(年份)的线性回归方程为,且销量的方差为,年份的方差为.
(1)求与的相关系数,并据此判断电动汽车销量与年份的相关性强弱;
(2)该机构还调查了该地区90位购车车主的性别与购车种类情况,得到的数据如下表:
性别 | 购买非电动汽车 | 购买电动汽车 | 总计 |
男性 | 39 | 6 | 45 |
女性 | 30 | 15 | 45 |
总计 | 69 | 21 | 90 |
依据小概率值的独立性检验,能否认为购买电动汽车与车主性别有关;
①参考数据:;
②参考公式:(i)线性回归方程:,其中;
(ii)相关系数:,若,则可判断与线性相关较强.
③参考临界值表:
19..(本小题12分)
已知矩形中,,现将沿对角线向上翻折得到四面体,且.
(1)求点到平面的距离;
(2)求二面角的大小.
20.(本小题12分)
已知椭圆的左焦点为,离心率为.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设为坐标原点,为直线上一点,过作的垂线交椭圆于.当四边形是平行四边形时,求四边形的面积.
21.已知函数,.
(1)若的最值和的最值相等,求m的值;
(2)证明:若函数有两个零点,,则.
(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.
22.(本小题满分10分)(选修4-4:坐标系与参数方程)
在平面直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知圆经过极点,且其圆心的极坐标为.
(1)求直线的普通方程与圆的极坐标方程;
(2)若射线分別与圆和直线交于点(点异于坐标原点),求线段长.
23.(本小题满分10分)(选修4-5:不等式选讲)
设均为正数,且,证明:
(1);
(2)
银川一中2023届高三第五次月考数学(理科)
(参考答案)
题号 | ||||||||||||
答案 | C | B | D | A | B | C | C | D | D | B | B | A |
13. 14. 15.285 16.③④
17.(1); (2).
【详解】(1)由题设,则的公比,所以.
(2)由(1)知:,
所以.
18.【详解】(1)相关系数为
故与线性相关较强.
(2)零假设为:购头电动汽车与车主性别相互独立,
即购买电动汽车与车主性别无关.
所以依据小概率值的独立性检验,我们推断不成立,
即认为购买电动汽车与车主性别有关,此推断犯错误的概率不大于.
19.【详解】
(1)由题意可得,
又,面,故面.
设点到平面的距离为,
利用等体积法:,
所以解得;
(2)
以点为原点,为轴,为轴,过平行与的射线为轴建立空间直角坐标系,,,,.
设平面法向量为,平面法向量为,
,取则,
故为平面的一个法向量;
,取则,
故为平面的一个法向量;,
结合图形可知,二面角的大小是锐角,故二面角的余弦值为,该角大小为.
20.(1)依条件,且,所以椭圆的标准方程为.
(2)设点的坐标为,则直线的斜率.
当时,直线的斜率,直线的方程是.
当时,直线的方程是,也符合的形式.
设,将直线的方程与椭圆的方程联立,得.
消去,得.其判别式.
所以.
因为四边形是平行四边形,
所以,即.
所以解得.此时四边形的面积
21.【详解】
(1)对函数求导可得:,令,可得:,
所以函数在上递增,在上递减,
则,又,所以,,
令,可得:,所以函数在单调递减,在单调递增,
则,由题意可知:,,所以m的值为.
(2)若有两个零点,,不妨设,,设,,
由,得,
因为函数是增函数,所以,
则,设,则,,
欲证,
即证,即证,
只需证(*)设,,
,在上,,单调递减,
所以,
所以,
令即得(*)成立,
从而,命题得证.
(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.
22.解:(1)消得直线,圆C经过极点,且其圆心的极坐标为,所以圆是以为圆心,半径为2的圆.其方程是,可
得其极坐标方程为;
(2)将代入得,
直线1的极坐标方程是,
将代入得,故.
23.(1)由得
.由题设得,即
所以,即.当且仅当“”时等号成立;
(2),当且仅当“”时等号成立.
故,即.
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