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高中数学高考第3节 空间点、直线、平面之间的位置关系 教案
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这是一份高中数学高考第3节 空间点、直线、平面之间的位置关系 教案，共12页。
1．平面的基本性质
(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．
(2)公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．
(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
(4)公理2的三个推论
推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面．
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．
2．空间直线的位置关系
(1)位置关系的分类
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(共面直线\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(平行直线,相交直线)),异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点))
(2)异面直线所成的角
①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．
②范围：eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))).
(3)平行公理(公理4)和等角定理
平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行．
等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
3．空间中直线与平面、平面与平面的位置关系
(1)空间中直线与平面的位置关系
(2)空间中两个平面的位置关系
eq \O([常用结论])
1．异面直线的判定定理
经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线．
2．等角定理的引申
(1)在等角定理中，若两角的两边平行且方向相同或相反，则这两个角相等．
(2)在等角定理中，若两角的两边平行且方向一个边相同，一个边相反，则这两个角互补．
3．唯一性定理
(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．
(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直．
(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．
(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直．
一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线．( )
(2)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面．( )
(3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．( )
(4)没有公共点的两条直线是异面直线．( )
[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)×
二、教材改编
1．下列命题正确的是( )
A．经过三点确定一个平面
B．经过一条直线和一个点确定一个平面
C．四边形确定一个平面
D．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面
D [根据确定平面的公理和推论知选项D正确．]
2．若直线a不平行于平面α，且a⊄α，则下列结论成立的是( )
A．平面α内的所有直线与a异面
B．平面α内不存在与a平行的直线
C．平面α内存在唯一的直线与a平行
D．平面α内的直线与a都相交
B [由题意知直线a与平面α相交，则平面α内不存在与a平行的直线，故选B.]
3.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成的角的大小为( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
C [连接B1D1，D1C(图略)，则B1D1∥EF，故∠D1B1C为所求的角，又B1D1＝B1C＝D1C，
∴∠D1B1C＝60°.]
4．如图，在三棱锥ABCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则
(1)当AC，BD满足条件 时，四边形EFGH为菱形；
(2)当AC，BD满足条件 时，四边形EFGH为正方形．
(1)AC＝BD (2)AC＝BD且AC⊥BD [(1)若四边形EFGH为菱形，
则EF＝EH，∵EFeq \f(1,2)AC，EHeq \f(1,2)BD，
∴AC＝BD.
(2)若四边形EFGH为正方形，
则EF＝EH且EF⊥EH，
∵EFeq \f(1,2)AC，EHeq \f(1,2)BD，
∴AC＝BD且AC⊥BD.]
考点1 平面基本性质的应用
共点、共线、共面问题的证明方法
(1)证明点共线问题：①公理法：先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，再根据基本公理3证明这些点都在交线上；②同一法：选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上．
(2)证明线共点问题：先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过该点．
(3)证明点、直线共面问题：①纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内；②辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合．
(1)以下命题中，正确命题的个数是( )
①不共面的四点中，其中任意三点不共线；
②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则A，B，C，D，E共面；
③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；
④依次首尾相接的四条线段必共面．
A．0 B．1 C．2 D．3
(2)如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点．求证：
①E，C，D1，F四点共面；
②CE，D1F，DA三线共点．
(1)B [①正确，可以用反证法证明，假设任意三点共线，则四个点必共面，与不共面的四点矛盾；②中若点A，B，C在同一条直线上，则A，B，C，D，E不一定共面，故②错误；③中，直线b，c可能是异面直线，故③错误；④中，当四条线段构成空间四边形时，四条线段不共面，故④错误．]
(2)[证明] ①如图，连接EF，CD1，A1B.
∵E，F分别是AB，AA1的中点，
∴EF∥BA1.
又∵A1B∥D1C，∴EF∥CD1，
∴E，C，D1，F四点共面．
②∵EF∥CD1，EF∴CE与D1F必相交，设交点为P，
则由P∈直线CE，CE⊂平面ABCD，
得P∈平面ABCD.
同理P∈平面ADD1A1.
又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，
∴P∈直线DA，∴CE，D1F，DA三线共点．
证明两条直线平行比证明两条直线相交容易，因此证明四点共面问题时，一般是证明四点所在的两条直线平行．
1.如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一个图是 ( )
A B C D
D [根据异面直线的判定定理，选项D中PS与QR是异面直线，则四点P，Q，R，S不共面．故选D.]
2．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O为正方形ABCD的中心，H为直线B1D与平面ACD1的交点．求证：D1，H，O三点共线．
[证明] 如图，连接BD，B1D1，
则BD∩AC＝O，
因为BB1DD1，
所以四边形BB1D1D为平行四边形，
又H∈B1D，
B1D⊂平面BB1D1D，
则H∈平面BB1D1D，
因为平面ACD1∩平面BB1D1D＝OD1，
所以H∈OD1.
即D1，H，O三点共线．
考点2 空间两条直线的位置关系
(1)已知a，b，c为三条不同的直线，且a⊂平面α，b⊂平面β，α∩β＝c，给出下列命题：
①若a与b是异面直线，则c至少与a，b中的一条相交；
②若a不垂直于c，则a与b一定不垂直；
③若a∥b，则必有a∥c.
其中真命题有 ．(填序号)
(2)如图，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有 (填上所有正确答案的序号)．
① ② ③ ④
(1)①③ (2)②④ [(1)对于①，若c与a，b都不相交，则c∥a，c∥b，从而a∥b，这与a与b是异面直线矛盾，故①正确．
对于②，a与b可能异面垂直，故②错误．
对于③，由a∥b可知a∥β，又α∩β＝c，从而a∥c，故③正确．
(2)图①中，直线GH∥MN；图②中，G，H，N三点共面，但M∉平面GHN，因此直线GH与MN异面；图③中，连接MG(图略)，GM∥HN，因此GH与MN共面；图④中，G，M，N共面，但H∉平面GMN，因此GH与MN异面，所以在图②④中，GH与MN异面．]
一些否定性命题不易判断，可从其反面入手．反面成立，则此命题是假命题．如本例T(1)，T(2)．
[教师备选例题]
如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F分别在A1D，AC上，且A1E＝2ED，CF＝2FA，则EF与BD1的位置关系是( )
A．相交但不垂直
B．相交且垂直
C．异面
D．平行
D [连接D1E并延长，与AD交于点M，由A1E＝2ED，可得M为AD的中点，
连接BF并延长，交AD于点N，因为CF＝2FA，可得N为AD的中点，所以M，N重合，所以EF和BD1共面，且eq \f(ME,ED1)＝eq \f(1,2)，eq \f(MF,BF)＝eq \f(1,2)，所以eq \f(ME,ED1)＝eq \f(MF,BF)，所以EF∥BD1，故选D.]
1.下列结论中正确的是 ( )
①在空间中，若两条直线不相交，则它们一定平行；②与同一直线都相交的三条平行线在同一平面内；③一条直线与两条平行直线中的一条相交，那么它也与另一条相交；④空间四条直线a，b，c，d，如果a∥b，c∥d，且a∥d，那么b∥c.
A．①②③ B．②④
C．③④ D．②③
B [①错，两条直线不相交，则它们可能平行，也可能异面；②显然正确；③错，若一条直线和两条平行直线中的一条相交，则它和另一条直线可能相交，也可能异面；④由平行直线的传递性可知正确．故选B.]
2．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：
①直线AM与CC1是相交直线；
②直线AM与BN是平行直线；
③直线BN与MB1是异面直线；
④直线AM与DD1是异面直线．
其中正确结论的序号为 ．
③④ [直线AM与CC1是异面直线，直线AM与BN也是异面直线，所以①②错误．点B，B1，N在平面BB1C1C中，点M在此平面外，所以BN，MB1是异面直线．同理AM，DD1也是异面直线．]
考点3 两条异面直线所成的角
平移法求异面直线所成角的步骤
(1)(2018·全国卷Ⅱ)在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为( )
A.eq \f(\r(2),2) B.eq \f(\r(3),2) C.eq \f(\r(5),2) D.eq \f(\r(7),2)
(2)(2019·成都模拟)在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在鳖臑ABCD中，AB⊥平面BCD，且AB＝BC＝CD，则异面直线AC与BD所成角的余弦值为( )
A.eq \f(1,2) B．－eq \f(1,2)
C.eq \f(\r(3),2) D．－eq \f(\r(3),2)
(1)C (2)A [(1)如图，连接BE，
因为AB∥CD，所以异面直线AE与CD所成的角等于相交直线AE与AB所成的角，即∠EAB.不妨设正方体的棱长为2，则CE＝1，BC＝2，由勾股定理得BE＝eq \r(5).又由AB⊥平面BCC1B1可得AB⊥BE，所以tan∠EAB＝eq \f(BE,AB)＝eq \f(\r(5),2).故选C.
(2)如图，分别取AB，AD，BC，BD的中点E，F，G，O，连接EF，EG，OG，FO，FG，则EF∥BD，EG∥AC，所以∠FEG为异面直线AC与BD所成的角．易知FO∥AB，因为AB⊥平面BCD，所以FO⊥平面BCD，所以FO⊥OG，设AB＝2a，则EG＝EF＝eq \r(2)a，FG＝eq \r(a2＋a2)＝eq \r(2)a，所以∠FEG＝60°，所以异面直线AC与BD所成角的余弦值为eq \f(1,2)，故选A.]
平移法作异面直线所成的角时，利用平行四边形或三角形的中位线是常用的方法．
1.如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝2，BC＝1，BB1＝1，P是AB的中点，则异面直线BC1与PD所成的角等于( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
C [取CD的中点Q，连接BQ，C1Q，
∵P是AB的中点，
∴BQ∥PD，
∴∠C1BQ是异面直线BC1与PD所成的角．
在△C1BQ中，C1B＝BQ＝C1Q＝eq \r(2)，∴∠C1BQ＝60°，
即异面直线BC1与PD所成的角等于60°，故选C.]
2．(2017·全国卷Ⅱ)已知直三棱柱ABCA1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为( )
A.eq \f(\r(3),2) B.eq \f(\r(15),5)
C.eq \f(\r(10),5) D.eq \f(\r(3),3)
C [将直三棱柱ABCA1B1C1补形为直四棱柱ABCDA1B1C1D1，如图所示，连接AD1，B1D1，BD.
由题意知∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，
所以AD1＝BC1＝eq \r(2)，AB1＝eq \r(5)，∠DAB＝60°.
在△ABD中，由余弦定理知BD2＝22＋12－2×2×1×cs 60°＝3，所以BD＝eq \r(3)，所以B1D1＝eq \r(3).
又AB1与AD1所成的角即为AB1与BC1所成的角θ，
所以cs θ＝eq \f(AB\\al(2,1)＋AD\\al(2,1)－B1D\\al(2,1),2×AB1×AD1)＝eq \f(5＋2－3,2×\r(5)×\r(2))＝eq \f(\r(10),5).
故选C.]
位置关系
图形表示
符号表示
公共点
直线a在平面α内
a⊂α
有无数个公共点
直线在平面外
直线a与平面α平行
a∥α
没有公共点
直线a与平面α斜交
a∩α＝A
有且只有一个公共点
直线a与平面α垂直
a⊥α
位置关系
图形表示
符号表示
公共点
两平面平行
α∥β
没有公共点
两平面相交
斜交
α∩β＝l
有一条公共直线
垂直
α⊥β且
α∩β＝a
平移
平移的方法一般有三种类型：(1)利用图中已有的平行线平移；(2)利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；(3)补形平移(一作)
证明
证明所作的角是异面直线所成的角或其补角(二证)
计算
在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之(三计算)
取舍
因为异面直线所成角θ的取值范围是0°＜θ≤90°，所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角(四取舍)
1．平面的基本性质
(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．
(2)公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．
(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
(4)公理2的三个推论
推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面．
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．
2．空间直线的位置关系
(1)位置关系的分类
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(共面直线\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(平行直线,相交直线)),异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点))
(2)异面直线所成的角
①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．
②范围：eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))).
(3)平行公理(公理4)和等角定理
平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行．
等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
3．空间中直线与平面、平面与平面的位置关系
(1)空间中直线与平面的位置关系
(2)空间中两个平面的位置关系
eq \O([常用结论])
1．异面直线的判定定理
经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线．
2．等角定理的引申
(1)在等角定理中，若两角的两边平行且方向相同或相反，则这两个角相等．
(2)在等角定理中，若两角的两边平行且方向一个边相同，一个边相反，则这两个角互补．
3．唯一性定理
(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．
(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直．
(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．
(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直．
一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线．( )
(2)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面．( )
(3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．( )
(4)没有公共点的两条直线是异面直线．( )
[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)×
二、教材改编
1．下列命题正确的是( )
A．经过三点确定一个平面
B．经过一条直线和一个点确定一个平面
C．四边形确定一个平面
D．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面
D [根据确定平面的公理和推论知选项D正确．]
2．若直线a不平行于平面α，且a⊄α，则下列结论成立的是( )
A．平面α内的所有直线与a异面
B．平面α内不存在与a平行的直线
C．平面α内存在唯一的直线与a平行
D．平面α内的直线与a都相交
B [由题意知直线a与平面α相交，则平面α内不存在与a平行的直线，故选B.]
3.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成的角的大小为( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
C [连接B1D1，D1C(图略)，则B1D1∥EF，故∠D1B1C为所求的角，又B1D1＝B1C＝D1C，
∴∠D1B1C＝60°.]
4．如图，在三棱锥ABCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则
(1)当AC，BD满足条件 时，四边形EFGH为菱形；
(2)当AC，BD满足条件 时，四边形EFGH为正方形．
(1)AC＝BD (2)AC＝BD且AC⊥BD [(1)若四边形EFGH为菱形，
则EF＝EH，∵EFeq \f(1,2)AC，EHeq \f(1,2)BD，
∴AC＝BD.
(2)若四边形EFGH为正方形，
则EF＝EH且EF⊥EH，
∵EFeq \f(1,2)AC，EHeq \f(1,2)BD，
∴AC＝BD且AC⊥BD.]
考点1 平面基本性质的应用
共点、共线、共面问题的证明方法
(1)证明点共线问题：①公理法：先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，再根据基本公理3证明这些点都在交线上；②同一法：选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上．
(2)证明线共点问题：先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过该点．
(3)证明点、直线共面问题：①纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内；②辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合．
(1)以下命题中，正确命题的个数是( )
①不共面的四点中，其中任意三点不共线；
②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则A，B，C，D，E共面；
③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；
④依次首尾相接的四条线段必共面．
A．0 B．1 C．2 D．3
(2)如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点．求证：
①E，C，D1，F四点共面；
②CE，D1F，DA三线共点．
(1)B [①正确，可以用反证法证明，假设任意三点共线，则四个点必共面，与不共面的四点矛盾；②中若点A，B，C在同一条直线上，则A，B，C，D，E不一定共面，故②错误；③中，直线b，c可能是异面直线，故③错误；④中，当四条线段构成空间四边形时，四条线段不共面，故④错误．]
(2)[证明] ①如图，连接EF，CD1，A1B.
∵E，F分别是AB，AA1的中点，
∴EF∥BA1.
又∵A1B∥D1C，∴EF∥CD1，
∴E，C，D1，F四点共面．
②∵EF∥CD1，EF
则由P∈直线CE，CE⊂平面ABCD，
得P∈平面ABCD.
同理P∈平面ADD1A1.
又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，
∴P∈直线DA，∴CE，D1F，DA三线共点．
证明两条直线平行比证明两条直线相交容易，因此证明四点共面问题时，一般是证明四点所在的两条直线平行．
1.如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一个图是 ( )
A B C D
D [根据异面直线的判定定理，选项D中PS与QR是异面直线，则四点P，Q，R，S不共面．故选D.]
2．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O为正方形ABCD的中心，H为直线B1D与平面ACD1的交点．求证：D1，H，O三点共线．
[证明] 如图，连接BD，B1D1，
则BD∩AC＝O，
因为BB1DD1，
所以四边形BB1D1D为平行四边形，
又H∈B1D，
B1D⊂平面BB1D1D，
则H∈平面BB1D1D，
因为平面ACD1∩平面BB1D1D＝OD1，
所以H∈OD1.
即D1，H，O三点共线．
考点2 空间两条直线的位置关系
(1)已知a，b，c为三条不同的直线，且a⊂平面α，b⊂平面β，α∩β＝c，给出下列命题：
①若a与b是异面直线，则c至少与a，b中的一条相交；
②若a不垂直于c，则a与b一定不垂直；
③若a∥b，则必有a∥c.
其中真命题有 ．(填序号)
(2)如图，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有 (填上所有正确答案的序号)．
① ② ③ ④
(1)①③ (2)②④ [(1)对于①，若c与a，b都不相交，则c∥a，c∥b，从而a∥b，这与a与b是异面直线矛盾，故①正确．
对于②，a与b可能异面垂直，故②错误．
对于③，由a∥b可知a∥β，又α∩β＝c，从而a∥c，故③正确．
(2)图①中，直线GH∥MN；图②中，G，H，N三点共面，但M∉平面GHN，因此直线GH与MN异面；图③中，连接MG(图略)，GM∥HN，因此GH与MN共面；图④中，G，M，N共面，但H∉平面GMN，因此GH与MN异面，所以在图②④中，GH与MN异面．]
一些否定性命题不易判断，可从其反面入手．反面成立，则此命题是假命题．如本例T(1)，T(2)．
[教师备选例题]
如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F分别在A1D，AC上，且A1E＝2ED，CF＝2FA，则EF与BD1的位置关系是( )
A．相交但不垂直
B．相交且垂直
C．异面
D．平行
D [连接D1E并延长，与AD交于点M，由A1E＝2ED，可得M为AD的中点，
连接BF并延长，交AD于点N，因为CF＝2FA，可得N为AD的中点，所以M，N重合，所以EF和BD1共面，且eq \f(ME,ED1)＝eq \f(1,2)，eq \f(MF,BF)＝eq \f(1,2)，所以eq \f(ME,ED1)＝eq \f(MF,BF)，所以EF∥BD1，故选D.]
1.下列结论中正确的是 ( )
①在空间中，若两条直线不相交，则它们一定平行；②与同一直线都相交的三条平行线在同一平面内；③一条直线与两条平行直线中的一条相交，那么它也与另一条相交；④空间四条直线a，b，c，d，如果a∥b，c∥d，且a∥d，那么b∥c.
A．①②③ B．②④
C．③④ D．②③
B [①错，两条直线不相交，则它们可能平行，也可能异面；②显然正确；③错，若一条直线和两条平行直线中的一条相交，则它和另一条直线可能相交，也可能异面；④由平行直线的传递性可知正确．故选B.]
2．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：
①直线AM与CC1是相交直线；
②直线AM与BN是平行直线；
③直线BN与MB1是异面直线；
④直线AM与DD1是异面直线．
其中正确结论的序号为 ．
③④ [直线AM与CC1是异面直线，直线AM与BN也是异面直线，所以①②错误．点B，B1，N在平面BB1C1C中，点M在此平面外，所以BN，MB1是异面直线．同理AM，DD1也是异面直线．]
考点3 两条异面直线所成的角
平移法求异面直线所成角的步骤
(1)(2018·全国卷Ⅱ)在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为( )
A.eq \f(\r(2),2) B.eq \f(\r(3),2) C.eq \f(\r(5),2) D.eq \f(\r(7),2)
(2)(2019·成都模拟)在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在鳖臑ABCD中，AB⊥平面BCD，且AB＝BC＝CD，则异面直线AC与BD所成角的余弦值为( )
A.eq \f(1,2) B．－eq \f(1,2)
C.eq \f(\r(3),2) D．－eq \f(\r(3),2)
(1)C (2)A [(1)如图，连接BE，
因为AB∥CD，所以异面直线AE与CD所成的角等于相交直线AE与AB所成的角，即∠EAB.不妨设正方体的棱长为2，则CE＝1，BC＝2，由勾股定理得BE＝eq \r(5).又由AB⊥平面BCC1B1可得AB⊥BE，所以tan∠EAB＝eq \f(BE,AB)＝eq \f(\r(5),2).故选C.
(2)如图，分别取AB，AD，BC，BD的中点E，F，G，O，连接EF，EG，OG，FO，FG，则EF∥BD，EG∥AC，所以∠FEG为异面直线AC与BD所成的角．易知FO∥AB，因为AB⊥平面BCD，所以FO⊥平面BCD，所以FO⊥OG，设AB＝2a，则EG＝EF＝eq \r(2)a，FG＝eq \r(a2＋a2)＝eq \r(2)a，所以∠FEG＝60°，所以异面直线AC与BD所成角的余弦值为eq \f(1,2)，故选A.]
平移法作异面直线所成的角时，利用平行四边形或三角形的中位线是常用的方法．
1.如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝2，BC＝1，BB1＝1，P是AB的中点，则异面直线BC1与PD所成的角等于( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
C [取CD的中点Q，连接BQ，C1Q，
∵P是AB的中点，
∴BQ∥PD，
∴∠C1BQ是异面直线BC1与PD所成的角．
在△C1BQ中，C1B＝BQ＝C1Q＝eq \r(2)，∴∠C1BQ＝60°，
即异面直线BC1与PD所成的角等于60°，故选C.]
2．(2017·全国卷Ⅱ)已知直三棱柱ABCA1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为( )
A.eq \f(\r(3),2) B.eq \f(\r(15),5)
C.eq \f(\r(10),5) D.eq \f(\r(3),3)
C [将直三棱柱ABCA1B1C1补形为直四棱柱ABCDA1B1C1D1，如图所示，连接AD1，B1D1，BD.
由题意知∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，
所以AD1＝BC1＝eq \r(2)，AB1＝eq \r(5)，∠DAB＝60°.
在△ABD中，由余弦定理知BD2＝22＋12－2×2×1×cs 60°＝3，所以BD＝eq \r(3)，所以B1D1＝eq \r(3).
又AB1与AD1所成的角即为AB1与BC1所成的角θ，
所以cs θ＝eq \f(AB\\al(2,1)＋AD\\al(2,1)－B1D\\al(2,1),2×AB1×AD1)＝eq \f(5＋2－3,2×\r(5)×\r(2))＝eq \f(\r(10),5).
故选C.]
位置关系
图形表示
符号表示
公共点
直线a在平面α内
a⊂α
有无数个公共点
直线在平面外
直线a与平面α平行
a∥α
没有公共点
直线a与平面α斜交
a∩α＝A
有且只有一个公共点
直线a与平面α垂直
a⊥α
位置关系
图形表示
符号表示
公共点
两平面平行
α∥β
没有公共点
两平面相交
斜交
α∩β＝l
有一条公共直线
垂直
α⊥β且
α∩β＝a
平移
平移的方法一般有三种类型：(1)利用图中已有的平行线平移；(2)利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；(3)补形平移(一作)
证明
证明所作的角是异面直线所成的角或其补角(二证)
计算
在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之(三计算)
取舍
因为异面直线所成角θ的取值范围是0°＜θ≤90°，所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角(四取舍)
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