多维层次练60-离散型随机变量的均值与方差、正态分布学案

这是一份多维层次练60-离散型随机变量的均值与方差、正态分布学案，共11页。

1．如果生男孩和生女孩的概率相等，则有3个小孩的家庭中女孩多于男孩的概率为( )
A.eq \f(2,3) B.eq \f(1,2)
C.eq \f(3,4) D.eq \f(1,4)
解析：设女孩个数为X，女孩多于男孩的概率为P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝Ceq \\al(2,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(2)×eq \f(1,2)＋Ceq \\al(3,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(3)＝3×eq \f(1,8)＋eq \f(1,8)＝eq \f(1,2).
答案：B
2．甲、乙两人参加“社会主义价值观”知识竞赛，甲、乙两人能荣获一等奖的概率分别为eq \f(2,3)和eq \f(3,4)，甲、乙两人是否获得一等奖相互独立，则这两个人中恰有一人获得一等奖的概率为( )
A.eq \f(3,4) B.eq \f(2,3)
C.eq \f(5,7) D.eq \f(5,12)
解析：根据题意，恰有一人获得一等奖就是甲获奖乙没获奖或甲没获奖乙获奖，则所求概率是eq \f(2,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(3,4)))＋eq \f(3,4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(2,3)))＝eq \f(5,12)，故选D.
答案：D
3．甲、乙两个小组各10名学生的英语口语测试成绩如下(单位：分)．
甲组：76，90，84，86，81，87，86，82，85，83
乙组：82，84，85，89，79，80，91，89，79，74
现从这20名学生中随机抽取一人，将“抽出的学生为甲组学生”记为事件A；“抽出的学生的英语口语测试成绩不低于85分”记为事件B，则P(AB)，P(A|B)的值分别是( )
A.eq \f(1,4)，eq \f(5,9) B.eq \f(1,4)，eq \f(4,9)
C.eq \f(1,5)，eq \f(5,9) D.eq \f(1,5)，eq \f(4,9)
解析：从这20名学生中随机抽取一人，基本事件总数为20个．事件A包含的基本事件有10个，故P(A)＝eq \f(10,20)＝eq \f(1,2).事件B包含的基本事件有9个，故P(B)＝eq \f(9,20)，故事件AB包含的基本事件有5个，故P(AB)＝eq \f(5,20)＝eq \f(1,4)，故P(A|B)＝eq \f(P（A|B）,P（B）)＝eq \f(1,4)×eq \f(20,9)＝eq \f(5,9).
答案：A
4．设每天从甲地去乙地的旅客人数为随机变量X，且X～N(800，502)．则一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为( )
(参考数据：若X～N(μ，σ2)，有P(μ－σA．0.977 2 B．0.682 6
C．0.997 4 D．0.954 4
解析：因为X～N(800，502)，所以P(700900)＝eq \f(1－0.954 4,2)＝0.022 8，所以P(X≤900)＝1－0.022 8＝0.977 2.故选A.
答案：A
5．若同时抛掷两枚骰子，当至少有5点或6点出现时，就说这次试验成功，则在3次试验中至少有1次成功的概率是( )
A.eq \f(125,729) B.eq \f(80,243)
C.eq \f(665,729) D.eq \f(100,243)
解析：在一次试验中，抛掷两枚骰子可能出现的点数情况共有6×6＝36(种)，而不出现5点和6点的情况共有4×4＝16(种)，所以至少出现5点或6点的情况共有36－16＝20(种)．所以在一次试验中至少出现5点或6点的概率为eq \f(20,36)＝eq \f(5,9).设X为3次试验中成功的次数，则X～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，\f(5,9)))，故所求概率P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－Ceq \\al(0,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,9)))eq \s\up12(0)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,9)))eq \s\up12(3)＝eq \f(665,729)，故选C.
答案：C
6．(多选题)甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是( )
A．P(B)＝eq \f(2,5)
B．P(B|A1)＝eq \f(5,11)
C．事件B与事件A1相互独立
D．A1，A2，A3是两两互斥的事件
解析：易见A1，A2，A3是两两互斥的事件，D正确；P(B)＝P(BA1)＋P(BA2)＋P(BA3)＝eq \f(5,10)×eq \f(5,11)＋eq \f(2,10)×eq \f(4,11)＋eq \f(3,10)×eq \f(4,11)＝eq \f(9,22).A错误；P(B|A1)＝eq \f(P（BA1）,P（A1）)＝eq \f(5,11).B正确；又因P(A1·B)＝eq \f(5,22)，P(A1)P(B)＝eq \f(5,10)×eq \f(9,22)＝eq \f(9,44)，故P(A1B)≠P(A1)P(B)．C错误．故选BD.
答案：BD
7．甲、乙两个狙击手对同一个目标各射击一次，其命中率分别为0.9，0.95.现已知目标被击中，则它被乙击中的概率是_______(精确到小数点后三位)．
解析：设“目标被甲击中”为事件A，“目标被乙击中”为事件B，
则P(A)＝0.9×(1－0.95)＋(1－0.9)×0.95＋0.9×0.95＝0.995，P(AB)＝P(B)＝0.95，
所以P(B|A)＝eq \f(P（AB）,P（A）)＝eq \f(0.95,0.995)≈0.955.
答案：0.955
8．某射手射击1次，击中目标的概率是0.9.他连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响．有下列结论：
①他第3次击中目标的概率是0.9；
②他恰好击中目标3次的概率是0.93×0.1；
③他至少击中目标1次的概率是1－0.14.
其中正确结论的序号是________．
解析：因为射击一次击中目标的概率是0.9，所以第3次击中目标的概率是0.9，所以结论①正确；
因为连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响，
所以本题是一个独立重复试验，
根据独立重复试验的公式得到恰好击中目标3次的概率是Ceq \\al(3,4)×0.93×0.1，
所以结论②不正确；
至少击中目标1次的概率用对立事件表示是1－0.14，所以结论③正确．
答案：①③
9．(2020·全国卷Ⅰ)甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：
累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．
经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都为eq \f(1,2).
(1)求甲连胜四场的概率；
(2)求需要进行第五场比赛的概率；
(3)求丙最终获胜的概率．
解：(1)甲连胜四场的概率为eq \f(1,16).
(2)根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛．
比赛四场结束，共有三种情况：
甲连胜四场的概率为eq \f(1,16)；
乙连胜四场的概率为eq \f(1,16)；
丙上场后连胜三场的概率为eq \f(1,8).
所以需要进行第五场比赛的概率为1－eq \f(1,16)－eq \f(1,16)－eq \f(1,8)＝eq \f(3,4).
(3)丙最终获胜，有两种情况：
比赛四场结束且丙最终获胜的概率为eq \f(1,8)；比赛五场结束且丙最终获胜，则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空结果有三种情况：胜胜负胜，胜负空胜，负空胜胜，概率分别为eq \f(1,16)，eq \f(1,8)，eq \f(1,8).
因此丙最终获胜的概率为eq \f(1,8)＋eq \f(1,16)＋eq \f(1,8)＋eq \f(1,8)＝eq \f(7,16).
10．某气象站天气预报的准确率为80%，计算(结果保留到小数点后两位)：
(1)5次预报中恰有2次准确的概率；
(2)5次预报中至少有2次准确的概率；
(3)5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率．
解：令X表示5次预报中预报准确的次数，则X～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5，\f(4,5))).
(1)“5次预报中恰有2次准确”的概率为P(X＝2)＝Ceq \\al(2,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)))eq \s\up12(2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(4,5)))eq \s\up12(3)＝10×eq \f(16,25)×eq \f(1,125)≈0.05.
(2)“5次预报中至少有2次准确”的概率为P(X≥2)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)＝1－Ceq \\al(0,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)))eq \s\up12(0)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(4,5)))eq \s\up12(5)－Ceq \\al(1,5)×eq \f(4,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(4,5)))eq \s\up12(4)＝1－0.000 32－0.006 4≈0.99.
(3)“5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确”的概率为Ceq \\al(1,4)×eq \f(4,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(4,5)))eq \s\up12(3)×eq \f(4,5)≈0.02.
[综合应用练]
11．如图，在网格状小地图中，一机器人从A(0，0)点出发，每秒向上或向右行走1格到相应顶点，已知向上的概率是eq \f(2,3)，向右的概率是eq \f(1,3)，则6秒后到达B(4，2)点的概率为( )
A.eq \f(16,729) B.eq \f(80,243)
C.eq \f(4,729) D.eq \f(20,243)
解析：根据题意可知，机器人每秒运动一次，则6秒共运动6次，若其从A(0，0)点出发，6秒后到达B(4，2)，则需要向右走4步，向上走2步，故其6秒后到达B的概率为Ceq \\al(2,6)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))eq \s\up12(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(4)＝eq \f(60,729)＝eq \f(20,243).
答案：D
12．已知盒中装有3只螺口灯泡与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则在他第1次抽到的是螺口灯泡的条件下，第2次抽到的是卡口灯泡的概率为( )
A.eq \f(3,10) B.eq \f(2,9)
C.eq \f(7,8) D.eq \f(7,9)
解析：设事件A为“第1次抽到的是螺口灯泡”，事件B为“第2次抽到的是卡口灯泡”，则P(A)＝eq \f(3,10)，P(AB)＝eq \f(3,10)×eq \f(7,9)＝eq \f(7,30).则所求概率为P(B|A)＝eq \f(P（AB）,P（A）)＝eq \f(\f(7,30),\f(3,10))＝eq \f(7,9).
答案：D
13．(2021·广东省适应性考试)对一个物理量做n次测量，并以测量结果的平均值作为该物理量的最后结果．已知最后结果的误差εn～Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(2,n)))，为使误差εn在(－0.5，0.5)的概率不小于0.9 545，至少要测量________次．(若X～N(μ，σ2)，则P(|X－μ|<2σ)＝0.9 545)
解析：根据正态曲线的对称性知：要使误差εn在(－0.5，0.5)的概率不小于0.9 545的，则(μ－2σ，μ＋2σ) ⊂ (－0.5，0.5)且μ＝0，σ＝eq \r(\f(2,n))，所以0.5≥2eq \r(\f(2,n))⇒n≥32.
答案：32
14．如图，由M到N的电路中有4个元件，分别标为T1，T2，T3，T4，电流能通过T1，T2，T3的概率都是p，电流能通过T4的概率是0.9，电流能否通过各元件相互独立．已知T1，T2，T3中至少有一个能通过电流的概率为0.999.
则：(1)p＝________；(2)电流能在M与N之间通过的概率为________．
解析：记Ai表示事件“电流能通过Ti”，i＝1，2，3，4，
A表示事件“T1，T2，T3中至少有一个能通过电流”，
B表示事件“电流能在M与N之间通过”．
(1) eq \(\s\up8(—),\s\d4(A))＝eq \(\s\up8(—),\s\d4(A))1 eq \(\s\up8(—),\s\d4(A))2 eq \(\s\up8(—),\s\d4(A))3，A1，A2，A3相互独立，
P(eq \(\s\up8(—),\s\d4(A)))＝P(eq \(\s\up8(—),\s\d4(A))1 eq \(\s\up8(—),\s\d4(A))2 eq \(\s\up8(—),\s\d4(A))3)＝P(eq \(\s\up8(—),\s\d4(A))1)P(eq \(\s\up8(—),\s\d4(A))2)P(eq \(\s\up8(—),\s\d4(A))3)＝(1－p)3，
又P(eq \(\s\up8(—),\s\d4(A)))＝1－P(A)＝1－0.999＝0.001，
故(1－p)3＝0.001，解得p＝0.9.
(2)B＝A4∪(eq \(\s\up8(—),\s\d4(A))4A1A3)∪(eq \(\s\up8(—),\s\d4(A))4 eq \(\s\up8(—),\s\d4(A))1A2A3)，
P(B)＝P(A4)＋P(eq \(\s\up8(—),\s\d4(A))4A1A3)＋P(eq \(\s\up8(—),\s\d4(A))4 eq \(\s\up8(—),\s\d4(A))1A2A3)＝P(A4)＋P(eq \(\s\up8(—),\s\d4(A))4)·P(A1)
P(A3)＋P(eq \(\s\up8(—),\s\d4(A))4)P(eq \(\s\up8(—),\s\d4(A))1)P(A2)·P(A3)＝0.9＋0.1×0.9×0.9＋0.1×0.1×0.9×0.9＝0.989 1.
答案：(1)0.9 (2)0.989 1
15．“过大年，吃水饺”是我国很多地方过春节的一大习俗.2019年春节前夕，A市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标值，所得频率分布直方图如下：
(1)求所抽取的100包速冻水饺的该项质量指标值的平均数x(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
①由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值Z服从正态分布N(μ，σ2)，利用该正态分布，求Z落在(14.55，38.45]内的概率；
②将频率视为概率，若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺，记这4包速冻水饺中该项质量指标值位于(10，30)内的包数为X，求X的分布列和数学期望．
附：计算得所抽查的这100包速冻水饺的该项质量指标值的标准差为σ＝eq \r(142.75)≈11.95；若ξ～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<ξ≤μ＋σ)＝0.682 7，P(μ－2σ<ξ≤μ＋2σ)＝0.954 5
解析：(1)所抽取的100包速冻水饺的该项质量指标值的平均数eq \(\s\up8(—),\s\d4(x))＝5×0.1＋15×0.2＋25×0.3＋35×0.25＋45×0.15＝26.5.
(2)①因为Z服从正态分布N(μ，σ2)，且μ＝26.5，σ≈11.95，
所以P(14.55所以Z落在(14.55，38.45]内的概率是0.682 7.
②根据题意得X～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4，\f(1,2)))，
P(X＝0)＝Ceq \\al(0,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(4)＝eq \f(1,16)；
P(X＝1)＝Ceq \\al(1,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(4)＝eq \f(1,4)；
P(X＝2)＝Ceq \\al(2,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(4)＝eq \f(3,8)；
P(X＝3)＝Ceq \\al(3,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(4)＝eq \f(1,4)；
P(X＝4)＝Ceq \\al(4,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(4)＝eq \f(1,16).
所以X的分布列为
所以E(X)＝2.
[拔高创新练]
16．将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由落下，小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A袋或B袋中，已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率分别为eq \f(2,3)，eq \f(1,3)，则小球落入A袋中的概率为( )
A.eq \f(3,4) B.eq \f(1,4)
C.eq \f(1,3) D.eq \f(2,3)
解析：由题意知，小球落入A袋中的概率
P(A)＝1－P(B)＝1－(eq \f(1,3)×eq \f(1,3)×eq \f(1,3)＋eq \f(2,3)×eq \f(2,3)×eq \f(2,3))＝eq \f(2,3).
答案：D
X
0
1
2
3
4
P
eq \f(1,16)
eq \f(1,4)
eq \f(3,8)
eq \f(1,4)
eq \f(1,16)