考点28 解直角三角形及其应用（精练）

这是一份考点28 解直角三角形及其应用（精练），共42页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1．（2022秋•石景山区期末）如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°．若sinA=23，BC＝4，则AB的长为（ ）
A．2B．25C．213D．6
2．（2022秋•南关区校级期末）已知直线l1∥l2∥l3，且相邻的两条平行直线间的距离均等，将一个含45°的直角三角板按图示放置，使其三个顶点分别在三条平行线上，则sinα的值是（ ）
A．55B．52C．255D．12
3．（2022春•碑林区校级期中）如图，△ABC中，CD⊥AB，E为BC边的中点，AB＝4，AC＝2，DE=3，则∠ACD与∠ABC的大小关系是（ ）
A．∠ACD＞∠ABCB．∠ACD＝∠ABCC．∠ACD＜∠ABCD．无法判断
4．（2021秋•惠安县期末）如图中的每个小正方形的边长均相等，则sin∠BAC的值为（ ）
A．1B．22C．32D．23
5．（2021秋•拱墅区期末）如图，在平面直角坐标系内有一点P（3，4），连接OP，设OP与x轴正半轴所夹的锐角为α，则锐角α的正弦值为（ ）
A．35B．45C．34D．43
6．（2022•东莞市一模）如图，点A，B，C在正方形网格的格点上，则sin∠BAC等于（ ）
A．23B．105C．510D．55
7．（2022秋•南关区校级期末）如图，一块矩形薄木板ABCD斜靠在墙角MON处（OM⊥ON，点A，B，C，D，O，M，N在同一平面内），已知AB＝m，AD＝n，∠ADO＝α．则点B到ON的距离等于（ ）
A．m•csα+n•csαB．m•sinα+n•csα
C．m•csα+n•sinαD．m•sinα+n•sinα
8．（2022•鹿城区校级三模）铁路道口的栏杆如图．已知栏杆长为3米，当栏杆末端从水平位置上升到点C处时，栏杆前端从水平位置下降到点A处，下降的垂直距离AD为0.5米（栏杆的粗细忽略不计），上升前后栏杆的夹角为α，则栏杆末端上升的垂直距离CE的长为（ ）
A．(3tanα−0.5)米B．(3sinα−0.5)米
C．（3tanα﹣0.5）米D．（3sinα﹣0.5）米
9．（2022•呼兰区一模）如图，AC是电杆AB的一根拉线，测得BC＝6米，∠ACB＝52°，则拉线AC的长为（ ）
A．6sin52°米B．6cs52°米C．6•cs52°米D．6tan52°米
10．（2022•金华）一配电房示意图如图所示，它是一个轴对称图形．已知BC＝6m，∠ABC＝α，则房顶A离地面EF的高度为（ ）
A．（4+3sinα）mB．（4+3tanα）mC．（4+3sinα）mD．（4+3tanα）m
11．（2022春•玉林期末）如图，菱形花坛ABCD的周长为80m，∠BAD＝60°，沿着菱形的对角线修建两条小路AC和BD，则小路BD的长是（ ）
A．20mB．203mC．40mD．403m
12．（2022•天河区校级二模）将一根橡皮筋两端固定在点A，B处，拉展成线段AB，拉动橡皮筋上的一点P，当△APB是顶角为120°的等腰三角形时，已知AB＝6cm，则橡皮筋被拉长了（ ）
A．2cmB．4cmC．(43−6)cmD．(4−23)cm
13．（2022秋•冠县期中）如图，某商场准备将自动扶梯改造成斜坡式．已知商场的层高AB为6m，∠ACB为45°，改造后扶梯AD的坡比是1：2，则改造后扶梯AD相比改造前AC增加的长度是（ ）
A．6mB．(12−62)mC．(62−43)mD．(65−62)m
14．（2022•观山湖区模拟）如图，AB是斜靠在墙上的长梯，AB与地面夹角为α，当梯顶A下滑1m到A′时，梯脚B滑到B′，A'B'与地面的夹角为β，若tanα=43，BB'＝1m，则csβ＝（ ）
A．45B．35C．34D．25
15．（2021秋•靖江市期末）如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比为1：3，坝高BC为2m，则AB的长度为（ ）m．
A．3B．23C．33D．4
16．（2022•道外区二模）如图，一把梯子AB长4米，靠在垂直水平地面的墙上，若梯子与地面的夹角为α，则梯子底端A到墙面的距离为（ ）
A．4csaB．4sinaC．4csaD．4sina
17．（2022秋•潞城区月考）如图，这是某拦河坝改造前后河床的横断面示意图，AD∥BC，坝高DC＝8m，将原坡度i＝1：0.25的迎水坡面AB改为坡角为60°的斜坡EB，此时，河坝面宽减少的长度AE等于（结果精确到0.1m，参考数据：3≈1.73）（ ）
A．2.2mB．2.6mC．3.2mD．3.6m
18．（2021秋•东平县校级月考）如图，学校环保社成员想测得斜坡CD旁一棵树AB的高度，他们先在点C处测得树顶B的仰角为60°，然后在坡顶D测得树顶B的仰角为30°，已知斜坡CD的长度为20m，且坡度为1：3，则树AB的高度是（ ）
A．203mB．30mC．303mD．40 m
19．（2022秋•南关区校级期末）如图所示，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为30°，看这栋楼底部C处的俯角为60°，热气球A处与楼的水平距离为150m，则这栋楼的高度为（ ）
A．503mB．1503mC．2003mD．300m
20．（2022•昆明模拟）如图，某中学初三数学兴趣小组的学生测量教学楼AB的高度，已知测量人员与教学楼的水平距离BC为18m，在C处观测楼顶A的仰角为a，测量人员的眼睛与地面的距离CD为1.5m．则教学楼的高度是（ ）
A．18•tanαmB．（18•tanα+1.5）m
C．18•sinαmD．（18•csα+1.5）m
21．（2022秋•顺义区期末）如图，为测楼房BC的高，在距楼房50米的A处，测得楼顶的仰角为a，则楼房BC的高为（ ）
A．50tana米B．50tana米C．50sina米D．50sina米
22．（2022•五华区校级模拟）近日，有很多人收到防疫部门的电话或短信提示是“时空伴随者”，那什么是时空伴随者呢？时空交集与时空伴随是相同概念，是公安和电信部门的专业术语．如图（1）是指本人的电话号码和确诊患者号码在同一时空网格内（范围是800×800）共同停留超过10分钟，且最近14天任一方号码累计停留时长超过30小时以上，查出的号码为“时空伴随号码”，本人的绿色健康码就会变为带有警告性质的黄色码并被系统标记为“时空伴随者”．如图（2），某工人在点B处，用测倾仪测得移动电话基站顶端（点D）的仰角为α，测得移动电话基站的高度CD为50米，测倾仪高BE为1米，若此时在A处一位确诊患者出现在某移动电话基站800×800的范围内，患者、移动电话基站、工人正好共线，患者与工人分别位于该移动电话基站两侧，且与这个工人共同停留超过10分钟，则这个工人（ ）收到“时空伴随者”电话或短信提示．
（参考数据：sinα=725，csα=2425，tanα=724）
A．会B．不会C．可能会D．无法确定
23．（2022•海港区一模）如图，电线杆AB的中点C处有一标志物，在地面D点处测得标志物的仰角为32°，若点D到电线杆底部点B的距离为a米，则电线杆AB的长可表示为（ ）
A．2a•cs32°米B．2a•tan32°米
C．2asin32°米D．2atan32°米
24．（2022秋•莱州市期末）已知，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向北偏东63°方向航行，另一轮船以8海里/时的速度同时从港口A出发向南偏东27°方向航行．则离开港口1小时后，两船相距（ ）
A．83海里B．85海里C．16海里D．24海里
25．（2022•石家庄二模）如图，某渔船正在海上P处捕鱼，先向北偏东30°的方向航行10km到A处，然后右转40°再航行53km到B处．在点A的正南方向，点P的正东方向的C处有一条船，也计划驶往B处，那么它的航向是（ ）
A．北偏东10°B．北偏东30°C．北偏东35°D．北偏东40°
26．（2021秋•东明县期末）如图，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东60°方向，距离灯塔40nmile的小岛A出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东45°方向上的B处，这时轮船B与小岛A的距离是（ ）
A．203nmileB．20nmile
C．(20+203)nmileD．80nmile
27．（2022•邯郸三模）如图，甲、乙两船同时从港口O出发，其中甲船沿北偏西30°方向航行，乙船沿南偏西70°方向航行，已知两船的航行速度相同，如果1小时后甲、乙两船分别到达点A、B处，那么点B位于点A的（ ）
A．南偏西40°B．南偏西30°C．南偏西20°D．南偏西10°
28．（2022秋•永善县期中）一辆汽车沿A地北偏东50°方向行驶6千米到达B地，再沿B地南偏东10°方向行驶6千米到达C地，则此时A、C两地相距（ ）千米
A．12B．63C．6D．3
29．（2022•澄城县一模）如图为东西流向且河岸平行的一段河道，点A，B分别为两岸上一点，且点B在点A正北方向，由点A向正东方向走a米到达点C，此时测得点B在点C的北偏西55°方向上，则河宽AB的长为（ ）
A．atan55°米B．acs55°米C．atan35°米D．atan55°米
二、填空题
30．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，已知a＝7，∠B＝37°，则c的值为 .（结果精确到0.1．参考数据：sin37°≈0.6，cs37°≈0.8，tan37°≈0.75）
31．（2022秋•南关区校级期末）如图，△ABC中，∠C＝90°，若BC＝4，sinA=23，则AC的长是 ．
32．如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点E，且E是BD的中点，∠ABC＝∠DCA＝90°，tan∠CAB=12，则 S△BCDS△ABD= ．
33．（2022•袁州区校级模拟）如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值为 ．
34．（2022•洞头区模拟）小明利用折射定律sinα•n1＝sinβ•n2，（n1，n2为折射率，∠α为入射角，∠β为折射角）制作了一个测算液体折射率的装置．光线从点A按固定角度从空气射入液面，通过调节液面高度，使光线折射后恰好落到点C．已知sin∠1=45，空气折射率n1为1，正方形ABCD的边长为36cm．如图1装入某款家用食用油时，恰好CF＝15cm，该食用油的折射率为 ；如图2，装入纯净水时，水的折射率为43，通过度量CF＝20cm（存在误差），问此次度量的误差为 cm．
35．（2022•衢州一模）三折伞是我们生活中常用的一种伞，它的骨架是一个“移动副”和多个“转动副”组成的连杆机构，如图1是三折伞一条骨架的结构图，当“移动副”（标号1）沿着伞柄移动时，折伞的每条骨架都可以绕“转动副”（标号2﹣9）转动；图2是三折伞一条骨架的示意图，其中四边形CDEF和四边形DGMN都是平行四边形，AC＝BC＝13cm，DE＝2cm，DN＝1cm．
（1）若关闭折伞后，点A、E、H三点重合，点B与点M重合，则BN＝ cm．
（2）在（1）的条件下，折伞完全撑开时，∠BAC＝75°，则点H到伞柄AB距离是 cm．
（参考数据：sin75°≈0.97，cs75°≈0.26，tan75°≈3.73，结果精确到0.1cm）
36．（2022秋•南关区校级期末）某人沿着坡度i＝1：3的山坡走到离地面50米高的地方，则他走的路程为 ．
37．（2022春•鹿城区校级期中）某河堤横断面如图所示，堤高AC＝3米，迎水坡AB的坡比是1：3，则AB的长为 ．
38．（2022秋•石景山区期末）如图，线段AB，CD分别表示甲、乙建筑物的高，AB⊥MN于点B，CD⊥MN于点D，两座建筑物间的距离BD为35m．若甲建筑物的高AB为20m，在点A处测得点C的仰角α为45°，则乙建筑物的高CD为 m．
39．（2022•南山区校级一模）校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度，他们在这棵树的正前方一座楼亭前的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30°，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，测得树顶端D的仰角为60°．已知A点的高度AB为4米，台阶AC的坡度为1：3（即AB：BC＝1：3），且B、C、E三点在同一条直线上．根据以上条件求出树DE的高度为 米．（测倾器的高度忽略不计）．
40．（2022•泰安模拟）如图，在一次数学实践活动中，小明同学要测量一座与地面垂直的古塔AB的高度，他从古塔底部点B处前行30m到达斜坡CE的底部点C处，然后沿斜坡CE前行20m到达最佳测量点D处，在点D处测得塔顶A的仰角为30°，已知斜坡的斜面坡度i＝1：3，且点A，B，C，D，E在同一平面内，小明同学测得古塔AB的高度是 ．
41．（2022•洪山区模拟）如图，建筑物BC上有一旗杆AB，从与BC相距40m的D处观测旗杆顶部A的仰角为50°，观测旗杆底部B的仰角为45°，旗杆的高度为 m．结果保留小数点后一位，sin50°≈0.766，cs50°≈0.643，tan50°≈1.192）
42．（2022秋•清江浦区月考）小红和爸爸绕着小区广场锻炼，在矩形广场ABCD边AB的中点M处有一座雕塑，在某一时刻，小红到达点P处，爸爸到达点Q处，此时雕塑在小红的南偏东45°方向，爸爸在小红的北偏东60°方向，若小红到雕塑的距离PM＝30m，则小红与爸爸的距离PQ＝ ．（结果保留根号）
43．（2021秋•新乐市期末）如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东60°方向，距离灯塔50海里的A处，它沿正北方向航行，则灯塔P到航线AB的距离是 海里（结果保留根号）；航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东45°方向上的B处，此时B处与灯塔P的距离为 海里（结果保留根号）．
44．（2022春•新华区期末）如图，两艘轮船在A港口补给完毕后分别沿着北偏东45°和北偏西45°的方向同时行驶，行驶速度分别为每小时30海里和每小时40海里，行驶两小时后分别到达M和N处，此时两艘轮船之间的距离是 海里．
45．（2022•大冶市模拟）如图，渔船上的渔民在A处看见灯塔M在北偏东60°方向，这艘渔船以28海里/时的速度向正东方向航行，半小时后到达B处在B处看见灯塔M在北偏东15°方向，此时灯塔M与渔船的距离是 海里．
三、解答题
46．（2022秋•莱州市期末）如图1是小明在健身器材上进行仰卧起坐锻炼时的情景，图2是小明锻炼时上半身由ON位置运动到底面CD垂直的OM位置时的示意图，已知AC＝0.66米，BD＝0.26米，α＝30°．（参考数据：3=1.732，2=1.414）
（1）求AB的长；
（2）若ON＝0.6米，求M，N两点的距离（精确到0.01）．
47．（2022秋•皇姑区校级期末）数学兴趣小组想利用所学的知识了解某广告牌的高度，已知CD＝2m．经测量，得到其它数据如图所示．其中∠CAH＝30°，∠DBH＝45°，AB＝10m，请你根据以上数据计算GH的长．（结果保留根号）
48．（2022秋•平桂区 期末）如图，四边形BCDG是某速滑场馆建造的滑台，已知CD∥EG，滑台的高DG为4米，且坡面BC的坡度为1：1，为了提高安全性，负责人决定降低坡度，改造后的新坡面AC的坡度为1：3．
（1）求新坡面AC的坡角及AC的长；
（2）原坡面底部BG的正前方10米外（EB＝10米）是护墙EF，为保证安全，体育管理部门规定，坡面底部至少距护墙7米，请问新的设计方案能否通过？请说明理由．（参考数据：3≈1.73）
49．如图，小明想测量电线杆AB的高度，发现影子落在坡面CD和地面BC上，量得CD等于4m，BC等于10m，CD与地面成30°的角，且此时测得一根长1m的杆在地面上的影长为2m，求电线杆的高度．（3≈1.732，结果精确到0.1m）
50．（2022秋•市北区期末）某镇为创建特色小镇，助力乡村振兴，决定在辖区的一条河上修建一座步行观光桥．如图，该河旁有一座小山，山高BC＝80m，坡面AB的坡度i＝1：0.7（注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比），点C、A与河岸E、F在同一水平线上，从山顶B处测得河岸E和对岸F的俯角分别为∠DBE＝45°，∠DBF＝26.7°．
（1）求山脚A到河岸E的距离；
（2）若在此处建桥，试求河宽EF的长度．
（参考数据：sin26.7°≈0.45，cs26.7°≈0.89，tan26.7°≈0.50）
51．（2022秋•南关区校级期末）为测量图中的铁塔EF的高度，小明利用自制的测角仪在C点测得塔顶E的仰角为45°，从点A向正前方行进20米到B处，再用测角仪在D点测得塔顶E的仰角为60°．已知测角仪AC的高度为1.5米，求铁塔EF的高度（结果精确到1米，3≈1.73）．
52．（2022秋•密山市校级期末）如图，一艘游轮在A处测得北偏东45°的方向上有一灯塔B．游轮以202海里/时的速度向正东方向航行2小时到达C处，此时测得灯塔B在C处北偏东15°的方向上．
（1）求点C到线段AB的距离；
（2）求A处与灯塔B相距多少海里？（结果精确到1海里，参考数据：2≈1.41，3≈1.73）
53．（2022春•沙坪坝区校级月考）一路文明一路情，魅力轻轨轻松行，重庆轨道交通第三轮规划线路正在如火如荼地建设中．如图工程队在由南向北的方向上将轨道线路铺设到A处时，测得文史陈列馆C在A北偏西26°方向的600米处，再铺设276米到达B处．
（1）请通过计算确定C在B的什么方向上；
（2）文史陈列馆C周围若干米内需要建设文化广场，不能铺设轨道，工程队通过计算后发现，轨道线路铺设到B处时，只需沿北偏东15°的BE方向继续铺设，就能使轨道线路恰好避开文化广场，请计算文史陈列馆C周围至少多少米内不能铺设轨道．（参考数据：sin26°≈0.44，cs26°≈0.90，tan26°≈0.49，6≈2.45，结果四舍五入精确到1米）．
一、选择题
1．【解答】解：∵sinA=23，BC＝4，
∴sinA=BCAB，
∴23=4AB，
解得：AB＝6．
故选：D．
2．【解答】解：过点A作AD⊥l3于D，过点B作BE⊥l3于E，如图：
设l1，l2，l3间的距离为d＝1，
∵AD⊥l3，BE⊥l3，
∴∠ADC＝∠BEC＝90°，
∵∠CAD+∠ACD＝90°，
∠BCE+∠ACD＝90°，
∴∠CAD＝∠BCE，
在等腰直角△ABC中，AC＝BC，
在△ACD和△CBE中，
∠ADC=∠BEC∠CAD=∠BCEAC=BC，
∴△ACD≌△CBE（AAS），
∴CE＝AD＝2，
在Rt△BCE中，BC=BE2+CE2=12+22=5，
∴sinα=BEBC=15=55．
故选：A．
3．【解答】解：∵CD⊥AB，E为BC边的中点，DE=3，
∴BC＝2DE＝23，
∵AB＝4，AC＝2，
∴AC2+BC2＝4+12＝16＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCD＝90°，
∵∠ABC+∠BCD＝90°，
∴∠ACD＝∠ABC．
故选：B．
4．【解答】解：连接BC，
由题意得：
BC2＝12+22＝5，
AC2＝12+22＝5，
AB2＝12+32＝10，
∴BC2+AC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠ACB＝90°，
∵AC＝BC，
∴∠BAC＝∠ABC＝45°，
∴sin∠BAC＝sin45°=22，
故选：B．
5．【解答】解：过点P作PA⊥x轴，垂足为A，
∵P（3，4），
∴OA＝3，AP＝4，
∴OP=OA2+AP2=32+42=5，
在Rt△OAP中，sinα=APOP=45，
故选：B．
6．【解答】解：连接CD，点D在格点上，如右图所示：
设每个小正方形的边长为a，
则CD=a2+a2=2a，
AC=a2+(3a)2=10a，
AD=(2a)2+(2a)2=22a，
∴CD2+AD2＝（2a）2+（22a）2＝（10a）2＝AC2，
∴△ACD是直角三角形，
∴sin∠BAC＝sin∠CAD=CDAC=2a10a=55，
故选：D．
7．【解答】解：如图，作BE⊥OA交OA的延长线于点E，
∵OD⊥OA，
∴∠AEB＝∠AOD＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC＝AD＝n，∠BAD＝90°，
∴∠BAE＝90°﹣∠OAD＝∠ADO＝α，
∵AEAB=cs∠BAE＝csα，
∴AE＝AB•csα＝m•csα，
∵OAAD=sin∠ADO＝sinα，
∴OA＝AD•sinα＝n•sinα，
∴OE＝AE+OA＝m•csα+n•sinα，
∵BE∥ON，
∴点B、点E到ON的距离相等，
∴点B到ON的距离等于m•csα+n•sinα，
故选：C．
8．【解答】解：如图：
过点A作AF∥DE，交CE的延长线于点F，
∵CE⊥DE，
∴∠CED＝90°，
∵AF∥DE，
∴∠CFA＝∠CED＝90°，∠CAF＝∠CBE＝α，
由题意可知：EF＝AD＝0.5米，AC＝3米，
∵sin∠CAF=CFAC，
∴CF＝3sinα（米），
∴CE＝CF﹣EF＝（3sinα﹣0.5）（米），
即栏杆末端上升的垂直距离CE的长为（3sinα﹣0.5）米．
故选：D．
9．【解答】解：∵BC＝6米，∠ACB＝52°，∠ABC＝90°，
∴AC=6cs52°米；
故选：B．
10．【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D，如图，
∵它是一个轴对称图形，
∴AB＝AC，
∵AD⊥BC，
∴BD=12BC＝3m，
在Rt△ADB中，
∵tan∠ABC=ADBD，
∴AD＝BD•tanα＝3tanαm．
∴房顶A离地面EF的高度＝AD+BE＝（4+3tanα）m，
故选：B．
11．【解答】解：∵菱形花坛ABCD周长是80m，∠BAD＝60°，
∴AB＝BC＝DC＝AD＝20m，△ABD是等边三角形，
∴BD＝AB＝20m．
故选：A．
12．【解答】解：如图，过点P作PC⊥AB于点C，
∵△APB是等腰三角形，且∠APB＝120°，
∴∠APC＝120°÷2＝60°，AC＝6÷2＝3cm，AP＝BP，
∴在Rt△APC中，AP=ACsin60°=332=23cm，
∴橡皮筋被拉长了：23×2﹣6＝（43−6）cm．
故选：C．
13．【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，AB＝6m，
sin45°=ABAC=6AC=22，
解得AC=62，
∵改造后扶梯AD的坡比是1：2，
∴ABBD=6BD=12，
解得BD＝12，
∴AD=AB2+BD2=65m，
∴AD﹣AC＝（65−62）m．
故选：D．
14．【解答】解：如图．∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，tanα=43，
∴可设AC＝4xm，那么BC＝3xm，
∴AB=AC2+BC2=5xm，
∴A′B′＝AB＝5x（m）．
∵在Rt△A′B′C中，∠A′CB′＝90°，A′C＝（4x﹣1）m，B′C＝（3x+1）m，
∴（4x﹣1）2+（3x+1）2＝（5x）2，
解得x＝1，
∴A′C＝3m，B′C＝4m，A′B′＝5m，
∴csβ=B'CA'B'=45．
故选：A．
15．【解答】解：∵迎水坡AB的坡比为1：3，
∴BCAC=13，
∵BC＝2m，
∴AC＝23m，
由勾股定理得：AB=AC2+BC2=22+(23)2=4（m），
故选：D．
16．【解答】解：由题意可得：csα=ACAB=AC4，
则AC＝4csa．
故选：A．
17．【解答】解：过点A作AF⊥BC于点F，过点E作EM⊥BC于点M，
∵AF⊥BC，EM⊥BC，AD∥BC，
∴AF＝EM＝DC＝8m，
∵坡度i＝1：0.25，
∴AF：BF＝8：BF＝1：0.25，
解得：BF＝2，
tan60°=EMBM=8BM=3，
∴BM=833（m），
∴AE＝FM＝BM﹣BF=833−2≈2.6（m）．
故选：B．
18．【解答】解：∵斜坡CD的坡度为1：3，
∴DECE=13=33，
在Rt△DEC中，tan∠DCE=DEEC=33，
∴∠DCE＝30°，
∵∠BCA＝60°，
∴∠DCB＝180°﹣∠DCE﹣∠BCA＝90°，
由题意得：DF∥AE，
∴∠FDC＝∠DCE＝30°，
∵∠BDF＝30°，
∴∠BDC＝∠BDF+∠FDC＝60°，
在Rt△BDC中，BC＝CD•tan60°＝203（m），
在Rt△ABC中，AB＝BC•sin60°＝203×32=30（m），
故选：B．
19．【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D，则∠BAD＝30°，∠CAD＝60°，AD＝150m，
在Rt△ABD中，BD＝AD•tan30°＝150×33=503（m），
在Rt△ACD中，CD＝AD•tan60°＝150×3=1503（m），
∴BC＝BD+CD＝2003（m）．
故选：C．
20．【解答】解：如图，过D作DE⊥AB，
∵在D处测得教学楼的顶部A的仰角为α，
∴∠ADE＝α，
∵BC＝DE＝18m，
∴AE＝DE•tanα＝18•tanαm，
∴AB＝AE+BE＝AE+CD＝（18•tanα+1.5）m，
则教学楼的高度是（18•tanα+1.5）m，
故选：B．
21．【解答】解：在直角△ABC中，sinα=BCAB，csα=ACAB，
∴BCAC=tanα，
∴BC＝AC•tanα＝50tanα．
故选：A．
22．【解答】解：过点E作EF⊥CD于点F，
由题意得，BE＝CF＝1米，EF＝BC，
∴DF＝CD﹣CF＝50﹣1＝49（米），
在Rt△DEF中，tanα=DFEF=49EF=724，
解得EF＝168，
∴BC＝168米，
∵168＜400，
∴这个工人会收到“时空伴随者”电话或短信提示．
故选：A．
23．【解答】解：由题意可知：AB＝2BC，BD＝α米，∠CDB＝32°，AB⊥BD．
在Rt△BDC中，
∵tan∠CDB=CBBD，
∴BC＝BD•tan∠CDB
＝α•tan32°（米）．
∴AB＝2BC＝2α•tan32°米．
故选：B．
24．【解答】解：如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向北偏东63°方向航行，1小时后到达B处，另一轮船以8海里/时的速度同时从港口A出发向南偏东27°方向航行，1小时后到达C处，
由题意得：AB＝16×1＝16（海里），AC＝8×1＝8（海里），∠BAC＝180°﹣63°﹣27°＝90°，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC=AB2+AC2=162+82=85（海里），
即离开港口1小时后，两船相距85海里，
故选：B．
25．【解答】解：如图，连接BC，
由题意得：∠ACP＝∠ACD＝90°，∠PAC＝30°，PA＝10km，∠BAE＝40°，AB=53km，
∴∠BAC＝180°﹣∠PAC﹣∠BAE＝180°﹣30°﹣40°＝110°，
∵cs∠PAC=ACPA=cs30°=32，
∴AC=32PA=32×10＝53（km），
∴AC＝AB，
∴∠ACB＝∠ABC=12×（180°﹣∠BAC）=12×（180°﹣110°）＝35°，
即B处在C处的北偏东35°方向，
故选：C．
26．【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，
∴∠ACD＝30°，∠BCD＝45°，AC＝40nmile，
在Rt△ACD中，cs∠ACD=CDAC，
∴CD＝AC•cs∠ACD＝40×32=203（nmile），
AD=12AC=20nmile，
在Rt△BCD中，
∵∠BCD＝∠B＝45°，
∴CD＝BD=203nmile，
∴AB=AD+BD=(20+203)nmile．
故选：C．
27．【解答】解：∵甲船沿北偏西30°方向航行，乙船沿南偏西70°方向航行，两船的航行速度相同，
∴AO＝BO，∠BOA＝80°，∠OAD＝30°，
∴∠BAO＝∠ABO＝50°，
∴∠BAD＝∠BAO﹣∠OAD＝50°﹣30°＝20°，
∴点B位于点A的南偏西20°的方向上，
故选：C．
28．【解答】解：如图，
∵∠FAB＝50°，AF∥BE，
∴∠ABE＝∠FAB＝50°，
∵∠CBE＝10°，
∴∠ABC＝60°，
∵AB＝BC＝6千米，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB＝6千米，
故选：C．
29．【解答】解：连接AB，BC，
由题意得，∠BAC＝90°，∠ABC＝55°，AC＝a米，
∴tan∠ABC＝tan55°=ACAB，
∴AB=ACtan55°=atan55°，
故选：D．
二、填空题
30．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝7，∠B＝37°，
∴c=acs37°≈70.8≈8.8，
故答案为：8.8．
31．【解答】解：△ABC中，∠C＝90°，
所以sinA=BCAB=23，
而BC＝4，
所以AB＝6，
所以AC=AB2−BC2=62−42=25．
故答案为：25．
32．【解答】解：如图，过点B作BF⊥AC于点F，
∵∠ABC＝90°，BE⊥AC，
∴∠ABF+∠CAB＝90°，∠ABF+∠CBF＝90°，
∴∠CAB＝∠CBF，
∵∠ACD＝90°，
∴CD∥BF，
∴∠EBF＝∠EDC，
∵点E是BD的中点，
∴DE＝BE，
在△EBF和△EDC中，
∠EBF=∠EDCDE=BE∠BEF=∠DEC，
∴△EBF≌△EDC（ASA），
∴EF＝EC，BF＝CD，
设EC＝x，则EF＝x，EC＝2x，
∵tan∠CAB=12，
∴tan∠CBF=12，
∴ECBF=BFAE=12，
∴BF＝CD＝4x，AE＝8x，
∴S△BCD=12EC⋅CD+12EC⋅BF=4x2，
S△ABD=12AC⋅CD+12AF⋅BF=36x2，
∴S△BCDS△ABD=4x236x2=19．
故答案为：19．
33．【解答】解：如图，过C作CD⊥BA交BA的延长线于D，
∴CD=12+12=2，BD=22+22=22，BC=32+12=10，
∴CD2+BD2＝BC2，
∴△BCD是直角三角形，且∠BDC＝90°，
∴∠ABC的正切值=CDBD=222=12．
故答案为：12．
34．【解答】解：∵∠1＝∠EAP，sin∠1=45，
∴sin∠EAP=EPAP=45，
设EP＝4x，则AP＝5x，AE＝3x，
图1中PF＝36﹣4x，CF＝36﹣3x，
∴36﹣3x＝15，
解得x＝7，
∴PF＝36﹣4x＝8，
∴CP＝17，
∴sin∠2＝sin∠PCF=PFCP=817，
∵sin∠1•n1＝sin∠2•n2，
∴45×1=817n2，
∴n2＝1.7；
图2，∵水的折射率为43，即n2=43，
∴45×1=43•sin∠3，
∴sin∠3＝sin∠PCF=PFCP=35，
∴PFCF=34，
∴36−4x36−3x=34，
解得x=367，
∴CF＝36﹣3x=1447，
∴误差为1447−20=47，
故答案为：1.7；47．
35．【解答】解：（1）∵关闭折伞后，点A、E、H三点重合，
∴AC＝CD+DE，
∴CD＝13﹣2＝11，
∴CN＝CD﹣DN＝11﹣1＝10，
∴BN＝BC+CN＝13+10＝23（cm），
故答案为：23；
（2）如图2，A、E、H三点共线并且AH⊥AB，过点F作FK⊥AE于点K，过点G作GJ⊥EH于点J，
∵∠BAC＝75°，AC＝BC＝13cm，
∴∠ACB＝30°，
∵AC∥DE，DG∥MN，
∴∠AFE＝∠EGH＝150°，
∵AF＝EF，FK⊥AE，
∴∠AFK＝∠EFK＝75°，AK＝EK，
∵DE＝2cm，
∴FC＝DE＝2cm，
∴AF＝EF＝AC﹣FC＝13﹣2＝11cm，
∴AK＝AF•sin75°＝11×0.97≈10.67，
∴AE＝21.34，
∵关闭折伞后，点A、E、H三点重合，点B与点M重合，
∴BN＝MN＝23cm，EG＝GH，
∴EG＝MN+DE＝23+2＝25cm，
同理，EJ＝EG•sin75°＝25×0.97＝24.25，
∴EH＝2EJ＝2×24.25＝48.5，
∵∠BAC＝75°，∠FAE＝15°，
∴AH＝AE+EH＝21.34+48.5≈69.8．
∴AE⊥AB，
∴点H到伞柄AB距离为69.8cm．
故答案为：69.8．
36．【解答】解：设他走的路程为x米，
由勾股定理得：502+（3×50）2＝x2，
解得：x＝100或x＝﹣100（不合题意舍去），
即他走的路程为100米，
故答案为：100米．
37．【解答】解：∵迎水坡AB的坡比是1：3，AC＝3米，
∴BC＝3AC＝9米，
由勾股定理得：AB=32+92=310（米），
故答案为：310米．
38．【解答】解：由题意得：
AB＝DE＝20m，AE＝BD＝35m，∠CAE＝45°，∠AEC＝90°，
在Rt△AEC中，CE＝AE•tan45°＝35（m），
∴CD＝DE+CE＝20+35＝55（m），
∴乙建筑物的高CD为55m，
故答案为：55．
39．【解答】解：∵台阶AC的坡度为1：3（即AB：BC＝1：3），
∴∠ACB＝30°，
在Rt△ABC中，AB＝4米，∠ACB＝30°，
∴AC＝2AB＝8（米），
∴∠ACD＝180°﹣60°﹣30°＝90°，
在Rt△ACD中，AC＝8米，∠CAD＝30°+30°＝60°，
∴AD＝2AC＝16（米），
在Rt△ADF中，DF=12AD＝8（米），
∴DE＝8+4＝12（米），
即树高为12米，
故答案为：12．
40．【解答】解：过D作DF⊥BC于F，DH⊥AB于H，
∴DH＝BF，BH＝DF，
∵斜坡的斜面坡度i＝1：3，
∴DFCF=1：3，
设DF＝xm，CF=3xm，
∴CD=DF2+CF2=2x＝20（m），
∴x＝10，
∴BH＝DF＝10m，CF＝103m，
∴DH＝BF＝（103+30）m，
∵∠ADH＝30°，
∴AH=33DH=33×（103+30）＝（10+103）m，
∴AB＝AH+BH＝（20+103）m，
答：古塔AB的高度是（20+103）m，
故答案为：（20+103）m．
41．【解答】解：在Rt△BCD中，∠BDC＝45°，CD＝40m，
∴BC＝CD＝40m，
在Rt△ACD中，∠ADC＝50°，CD＝40m，
tan50°=ACCD=AC40≈1.192，
解得AC＝47.68，
∴AB＝AC﹣BC≈7.7（m）．
故答案为：7.7．
42．【解答】解：过点Q作QE⊥AD于点E，
由题意可得EQ＝AB，
在Rt△APM中，sin45°=AMPM=AM30=22，
解得AM=152，
∵M为AB的中点，
∴AB＝EQ＝2AM=302m，
在Rt△EPQ中，sin60°=EQPQ=302PQ=32，
解得PQ=206，
经检验，PQ=206是原方程的解且符合题意，
∴小红与爸爸的距离PQ=206m．
故答案为：206m．
43．【解答】解：由题意得：PC⊥AB，∠APC＝30°，∠BPC＝45°，PA＝50海里，
在Rt△APC中，∵∠ACP＝90°，∠APC＝30°，
∴AC=12PA＝25海里，
∴PC=3AC＝253海里，
在Rt△PCB中，∵∠BCP＝90°，∠BPC＝45°，
∴BC＝PC＝253海里，
∴BP=2PC＝256海里，
故答案为：253，256．
44．【解答】解：由题意可得∠MAN＝45°+45°＝90°，AN＝2×40＝80（海里），AM＝2×30＝60（海里），
∴MN=AM2+AN2=602+802=100（海里）．
∴此时两艘轮船之间的距离是100海里．
故答案为：100．
45．【解答】解：由已知得，AB=12×28＝14海里，∠MAB＝30°，∠ABM＝105°．
过点B作BN⊥AM于点N．
∵在直角△ABN中，∠BAN＝30°
∴BN=12AB＝7海里．
在直角△BNM中，∠MBN＝45°，则直角△BNM是等腰直角三角形．即BN＝MN＝7海里，
∴BM=BN2+MN2=72+72=72（海里）．
故答案为：72．
三、解答题
46．【解答】解：（1）如图，过B作BE⊥AC于E，
则四边形CDBE为矩形，
∴CE＝BD＝0.26米，AC＝0.66米，
∴AE＝AC﹣EC＝0.66﹣0.26＝0.40（米）
在Rt△AEB中，
∵α＝30°
∴AB＝2AE＝2×0.40＝0.80（米）；
（2）如图，过N作NF⊥MO交射线MO于F点，则FN∥EB，
∴∠ONF＝α＝30°，
∵ON＝0.6，
∴OF=12ON＝0.3，
∵OM＝ON＝0.6，
∴MF＝0.9，
∴∠FON＝90°﹣30°＝60°，
∴∠M=∠MNO=12∠FON=30°，
在Rt△MFN中，MN=MFcs30°=0.932=1.039≈1.04（米），
∴M，N两点的距离约为1.04米．
47．【解答】解：延长CD交AH于点E，则CE⊥AH，如图所示，
设DE＝xm，则CE＝（x+2）m，
在Rt△AEC和Rt△BED中，tan30°=CEAE，tan45°=DEBE，
∴AE=CEtan30°，BE=DEtan45°，
∵AE﹣BE＝AB，
∴CEtan30°−DEtan45°=10，
x+233−x1=10，
解得：x＝43+2，
∴DE＝（43+2）m，
∴GH＝CE＝CD+DE＝2m+（43+2）m＝（43+4）m．
答：GH的长为（43+4）m．
48．【解答】解：（1）如图，过点C作CH⊥BG，垂足为H，
∵新坡面AC的坡度为1：3，
∴tan∠CAH=13=33，
∴∠CAH＝30°，即新坡面AC的坡角为30°，
∴AC＝2CH＝8米；
（2）新的设计方案能通过．
理由如下：∵坡面BC的坡度为1：1，
∴BH＝CH＝4，
∵tan∠CAH=33，
∴AH=3CH＝43，
∴AB＝43−4，
∴AE＝EB﹣AB＝10﹣（43−4）＝14﹣43≈7.08＞7，
∴新的设计方案能通过．
49．【解答】解：分别延长AD、BC交于点F，过D作DE⊥CF于E，如图．
∵1米杆的影长为2m，
∴ABBF=DEEF=12．
∵DE⊥CF，CD＝4m，∠ECD＝30°，
∴CE＝23，DE＝2m．
∵DEEF=12，DE＝2m，
∴EF＝4m．
∵EF＝4，CE＝23m，BC＝10m，
∴BF＝14+2×3．
∵ABBF=12，BF＝14+23，
∴AB＝7+3≈8.7（m）．
即电线杆的高度约为8.7m．
50．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，BC＝80，
∵AB的坡度i＝1：0.7，
∴BCAC=10.7，
∴80AC=10.7，
∴AC＝56，
在Rt△BCE中，BC＝80，∠BEC＝∠DBE＝45°，
∴∠CBE＝90°﹣∠BEC＝90°﹣45°＝45°，
∴∠BEC＝∠CBE，
∴CE＝BC＝80，
∴AE＝CE﹣AC＝80﹣56＝24（m），
答：山脚A到河岸E的距离为24m；
（2）在Rt△BCF中，BC＝80，∠BFC＝∠DBF＝26.7°，tan∠BFC=BCCF，
∴80CF≈0.5，
∴CF≈160，
∴EF＝CF﹣CE＝160﹣80＝80（m），
答：河宽EF的长度约80m．
51．【解答】解：如图，作CG⊥EF于点G，则D在CG上，四边形ACGF为矩形，GF＝AC＝1.5米．
设EG＝x米，则CG＝x米，DG＝（x﹣20）米，
在Rt△EDG中，EGDG=tan60°，
∴xx−20=3，
解得x＝30+103，
∴EF＝EG+GF＝30+103+1.5≈49（米）．
答：铁塔EF的高度约为49米．
52．【解答】解：（1）如图，过点C作CM⊥AB，垂足为M，
由题意可得，∠DAB＝45°，∠ECB＝15°，
在△ABC中，∠BAC＝45°，
∴△ACM是等腰直角三角形，
由题意得：AC＝2×202=402，
∴CM=22AC＝40，
即点C到线段AB的距离为40海里；
（2）∵∠ACB＝90°+15°＝105°，
∵∠ACM＝45°，
∴∠BCM＝105°﹣45°＝60°，
∵∠BMC＝90°，
∴∠CBM＝30°，
∵AM＝CM＝40，
∴BM=3CM＝403，
∵AB＝AM+BM＝40+403≈40+40×1.73≈109（海里），
答：A处与灯塔B相距109海里．
53．【解答】解：（1）过点C作CF⊥BD于点F，连接BC，
由题意得∠A＝26°，AC＝600米，AB＝276米，
在Rt△ACF中，sin26°=CFAC=CF600≈0.44，cs26°=AFAC=AF600≈0.90，
解得CF≈264，AF≈540，
∴BF＝AF﹣AB＝264（米），
∴CF＝BF，
∴∠CBF＝45°，
∴C在B的北偏西45°方向上．
（2）过点C作CG⊥BE于点G，
由（1）可知∠CBF＝45°，
在Rt△BCF中，BF＝264米，
则BC=2BF=2642米，
∵∠DBE＝15°，
∴∠CBG＝60°，
在Rt△BCG中，sin60°=CGBC=CG2642=32，
解得CG=1326≈323．
∴文史陈列馆C周围至少323米内不能铺设轨道．