2022自贡富顺县城关中学高二下学期期中考试文数试题含解析

这是一份2022自贡富顺县城关中学高二下学期期中考试文数试题含解析，文件包含四川省自贡市富顺县城关中学2021-2022学年高二下学期期中考试文数试题含解析docx、高二数学文科答题卡docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共25页， 欢迎下载使用。


学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________
一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ， ）

1. 椭圆x225+y216=1的离心率为（ ）
A.35B.45C.34D.1625

2. 命题p:x2−x−2<0是命题q:0A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件

3. 双曲线x2−y2b2=1(b>0)的渐近线方程是：y=±22x，则双曲线的焦距为( )
A.3B.6C.27D.322

4. 已知函数fx=xlnx2−x+1，则曲线y=fx在点e,fe处的切线方程为（ ）
A.3x−y−2e+1=0B.e−1x+ey−2e2−e=0
C.e+1x−ey=0D.3x−y−3e+1=0

5. 函数fx在x=4处的切线方程为y=3x+5，则f4+f′4=( )
A.10B.20C.30D.40

6. 已知P为抛物线y2=4x上一个动点，Q为圆x2+(y−4)2=1上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是（ ）
A.25−1B.25−2C.17−1D.17−2

7. 过椭圆内定点M且长度为整数的弦，称作该椭圆过点M的“好弦”．在椭圆 ＝1中，过点M(4，0)的所有“好弦”的长度之和为（ ）
A.120B.130C.240D.260


8. 已知三次函数y=fx的图像如右图所示，若f′x是函数fx的导函数，则关于x的不等式x−2f′x>f7的解集为（ ）

A.{x|14}B.x|x<7
C.x|1 9. 已知F是椭圆E：的左焦点，椭圆E上一点P(2, 1)关于原点的对称点为Q，若△PQF的周长为，则a−b＝（ ）
A.B.C.D.
10. 已知定义在R上的可导函数fx的导函数为fx，满足f′xA.−3,+∞B.1,+∞C.0,+∞D.6,+∞

11. 已知函数f(x)＝aex+x(lna+x−lnx)，若不等式f(x)≥x在x∈(0, +∞)上恒成立，则实数a的取值范围（ ）
A.[1, +∞)B.[，+∞)C.[，+∞)D.[，+∞)

12. 我国自主研发的“嫦娥四号”探测器成功着陆月球，并通过“鹊桥”中继星传回了月球背面影像图．假设“嫦娥四号”在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行，其轨道的离心率为e，设月球的半径为R，“嫦娥四号”到月球表面最近的距离为r，则“嫦娥四号”到月球表面最远的距离为（ ）
A.1+er1−e+eR1−eB.1+er1−e+2eR1−e
C.1−er1+e+eR1+eD.1−er1+e+2eR1+e
二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ， ）

13. 抛物线y=ax2(a>0)的焦点与椭圆y210+x2=1的一个焦点相同，则抛物线的准线方程是________.

14. 曲线y=xex+1在0,1处的切线方程是________.

15. 已知命题“∃x∈R，mx2−x+1<0”是假命题，则实数m的取值范围是________

16. 如图所示，平面直角坐标系中，已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)，A、B是其左、右顶点，动点M满足MB⊥AB，连接AM交椭圆于点P，若MO⊥PB，则椭圆的离心率为________．
三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，共计70分 ， ）

17.(10分) 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)焦点在x轴上，中心为坐标原点，经过点1,32，0,−3.

(2)以点F1−1,0，F21,0为焦点，经过点P2,255.

18.(12分) 已知命题p：“∀−1≤x≤1，不等式x2−x−m<0成立”是真命题．
(1)求实数m的取值范围；

(2)若q:−4
19.(12分) 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0中，a=2，离心率e=22.
(1)求椭圆C的方程；

(2)设直线y=x+12与椭圆C交于A、B两点，求|AB|.

20.(12分) 已知函数fx=ax3−12x2−2x，其导函数为f′x，且f′−1=2
(1)求曲线y=fx在点2,f2处的切线方程；

(2)求函数fx在−1,2上的最大值和最小值．

21.(12分) 已知F1，F2是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左，右焦点，离心率为12，M、N是平面内两点，满足F1M→=−2MF2→，线段NF1的中点P在椭圆上，△F1MN周长为12
（1）求椭圆C的方程；

（2）若与圆x2+y2＝1相切的直线l与椭圆C交于A、B，求OA→⋅OB→（其中O为坐标原点）的取值范围．

22.(12分) 已知函数fx=csx+a2x2+lnx.
(1)当a=14时，证明fx在定义域上是增函数；

(2)记f′x是fx的导函数，gx=f′x+4lnx−1x，若gx在3π4,2π内没有极值点，求a的取值范围．（参考数据：π2≈10,π3≈31.）
参考答案与试题解析
2022年4月22日高中数学
一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ）
1.
【答案】
A
【考点】
椭圆的定义
【解析】
由椭圆 x225+y216=1的方程可知，a，b，c 的值，由离心率e=ca求出结果．
【解答】
解：由椭圆 x225+y216=1的方程可知，a=5，b=4，c=3，∴ 离心率 e=ca=35，
故选A．
2.
【答案】
B
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】
根据不等式的解法求出p的等价条件，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【解答】
解：由x2−x−2<0得(x+1)(x−2)<0，得−1∵ (0,1)⊊(−1,2)，
∴ p是q的必要不充分条件.
故选B.
3.
【答案】
B
【考点】
双曲线的渐近线
双曲线的定义
【解析】
利用双曲线的渐近线方程，求出b，然后求解c，即可求解双曲线的焦距．
【解答】
解：双曲线x2−y2b2=1(b>0)的渐近线方程是y=±22x，
可得b=22，
所以c=a2+b2=3，
所以双曲线的焦距为6．
故选B.
4.
【答案】
A
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为fx=xlnx2−x+1=2xlnx−x+1，所以fe=e+1．因为f′x=2lnx+1，所以f′e=3，所以曲线y=fx在点e,fe处的切线方程为y−e+1=3x−e，即3x−y−2e+1=0．
故选A．
5.
【答案】
B
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
导数的几何意义
【解析】
根据切点在切线上可求出f(4)的值，然后根据导数的几何意义求出f′4的值，从而可求出所求．
【解答】
解：根据切点在切线上可知当x=4时，y=17，
∴ f4=17，
∵ 函数y=fx的图象在x=4处的切线方程是y=3x+5，
∴ f′4=3，
则f4+f′4=17+3=20．
故选B．
6.
【答案】
C
【考点】
抛物线的性质
【解析】
先根据抛物线方程求得焦点坐标，根据圆的方程求得圆心坐标，根据抛物线的定义可知P到准线的距离等于点P到焦点的距离，进而问题转化为求点P到点Q的距离与点P到抛物线的焦点距离之和的最小值，根据图象可知当P，Q，F三点共线时P到点Q的距离与点P到抛物线的焦点距离之和的最小，为圆心到焦点F的距离减去圆的半径．
【解答】
解：抛物线y2=4x的焦点为F(1, 0)，圆x2+(y−4)2=1的圆心为C(0, 4)，
根据抛物线的定义可知点P到准线的距离等于点P到焦点的距离，
进而推断出当P，Q，F三点共线时P到点Q的距离与点P到抛物线的焦点距离之和最小为：|FC|−r=17−1.
故选C.
7.
【答案】
A
【考点】
椭圆的离心率
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
8.
【答案】
D
【考点】
函数恒成立问题
利用导数研究函数的单调性
函数的图象与图象变化
导数的几何意义
【解析】
由图象做出其导函数的图像，用符号法则即可求解不等式.
【解答】
解：由图象可知， f7=0 ，即原不等式转化为x−2f′x>0
又由于三次函数y=fx的导函数是二次函数，结合fx的图象可知，
x=1和x=4分别是函数fx的极小值点和极大值点，
则x=1和x=4是函数f′x的两个零点，我们可以做出导函数f′x的图象如图，
由图象可知，当x<1时， f′x<0，
当10，
当x>4时， f′x<0
接下来利用符号法则即可求解，
当x<1时，f′x<0，而x−2<0，故(x−2)⋅f′x>0，故x<1满足题意；
当10，但x−2<0，故(x−2)⋅f′x<0，不满足题意；
当20，且x−2>0，故(x−2)⋅f′x>0，满足题意；
当x>4时， f′x<0，但x−2>0，故(x−2)⋅f′x<0，不满足题意；
综上所述，不等式x⋅f′x>0的解为x<1或者2故不等式(x−2)f′x>f7的解集 {x|x<1或2故选D．
9.
【答案】
C
【考点】
椭圆的离心率
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
10.
【答案】
C
【考点】
函数单调性的性质
奇偶性与单调性的综合
利用导数研究函数的单调性
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：设g(x)=f(x)ex，则g′(x)=exf′(x)−exf(x)(ex)2=f′(x)−f(x)ex，
∵ f′(x)∴ 函数g(x)是R上的减函数，
∵ 函数f(x+3)是偶函数，
∴ 函数f(−x+3)=f(x+3)，
∴ 函数关于x=3对称，
∴ f(0)=f(6)=1，
原不等式等价为g(x)<1，
∴ 不等式f(x)∵ g(x)在R上单调递减，
∴ x>0．
∴ 不等式f(x)故选 C
11.
【答案】
C
【考点】
利用导数研究函数的最值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
12.
【答案】
B
【考点】
椭圆的离心率
椭圆的定义
【解析】
此题暂无解析
【解答】
B
二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）
13.
【答案】
y=−3
【考点】
抛物线的性质
椭圆的标准方程
【解析】
求出椭圆的焦点坐标，然后求解a，即可求解抛物线的准线方程．
【解答】
解：椭圆y210+x2=1的焦点坐标(0, ±3)，
由抛物线y=ax2(a>0)的焦点与椭圆y210+x2=1的一个焦点相同，
可得a4=3，解得a=12，
所以抛物线的标准方程为y=12x，
所以抛物线的准线方程为：y=−3．
故答案为：y=−3.
14.
【答案】
y=x+1
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
y=x+1
15.
【答案】
m≥14
【考点】
全称量词与存在量词
全称命题与特称命题
命题的真假判断与应用
【解析】
直接利用特称命题和全称命题的转换和二次函数的性质的应用求出结果．
【解答】
命题“∃x∈R，mx2−x+1<0”是假命题，
则命题∀x∈R，mx2−x+1≥0恒成立为真命题．
所以①当m＝0时，−x+1≥0，解得x≤1，与x∈R矛盾，
②m>0b2−4ac≤0 ，即m>01−4m≤0 ，解得m≥14，
故m的范围为[14,+∞)．
16.
【答案】
22
【考点】
椭圆的定义
【解析】
可设出直线AM的方程，与直线MB的方程联立可求得M点的坐标，从而可得OM的斜率，继而有直线BP的方程，与直线AM的方程联立可求得P点的坐标，代入椭圆方程，整理即可求得椭圆的离心率．
【解答】
解：依题意，A(−a, 0)，设直线AM的方程为：y=k(x+a)，①与直线MB的方程联立得M(a, 2ka)，
∴ OM的斜率kOM=2k，
∵ MO⊥PB，
∴ kBP=−12k，又B(a, 0)，
∴ 直线BP的方程为：y=−12k(x−a)，②
∴ 由①②联立y=k(x+a)y=−12k(x−a)得P点的坐标为：P(a(1−2k2)2k2+1, 2ak2k2+1)，
∵ 点P在椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)，
∴ (a(1−2k2)2k2+1)2a2+(2ak2k2+1)2b2=1，
∴ 4a2k2=8b2k2，k≠0，
∴ a2=2b2=2(a2−c2)，
∴ a2=2c2，
∴ e=ca=22．
故答案为：22．
三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，共计70分 ）
17.
【答案】
解：(1)设椭圆的方程为mx2+ny2=1(m,n>0)，
∵ 椭圆经过点1,32，0,−3，代入可得，
m+94n=1,3n=1,
解得n=13,m=14，
∴ 椭圆的标准方程为x24+y23=1.
(2)由题可得c=1，交点在x轴上，
设椭圆的标准方程为x2a2+y2b2=1，代入P2,255，
得4a2+45b2=1,a2−b2=1,
解得a2=5,b2=4，
∴ 椭圆的标准方程为x25+y24=1.
【考点】
椭圆的标准方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)设椭圆的方程为mx2+ny2=1(m,n>0)，
∵ 椭圆经过点1,32，0,−3，代入可得，
m+94n=1,3n=1,
解得n=13,m=14，
∴ 椭圆的标准方程为x24+y23=1.
(2)由题可得c=1，交点在x轴上，
设椭圆的标准方程为x2a2+y2b2=1，代入P2,255，
得4a2+45b2=1,a2−b2=1,
解得a2=5,b2=4，
∴ 椭圆的标准方程为x25+y24=1.
18.
【答案】
解：(1)由题意命题p：“∀−1≤x≤1，不等式x2−x−m<0成立”是真命题，
∴ m>x2−x在−1≤x≤1恒成立，
即m>(x2−x)max，x∈(−1, 1)，
因为x2−x=(x−12)2−14，所以−14≤x2−x≤2，即m>2，
所以实数m的取值范围是(2, +∞).
(2)由p得，设A={m|m>2}，由q得，
设B={m|a−4因为q:−4所以q⇒p，但p推不出q，所以B⫋A，
所以a−4≥2，即a≥6，
所以实数a的取值范围是[6, +∞)．
【考点】
命题的真假判断与应用
根据充分必要条件求参数取值问题
【解析】
(Ⅰ)分离出m，将不等式恒成立转化为函数的最值，求出(x2−x)max，求出m的范围．
(Ⅱ)设p对应集合A，q对应集合B，“q是p的充分不必要条件”即B⫋A，求出a的范围
【解答】
解：(1)由题意命题p：“∀−1≤x≤1，不等式x2−x−m<0成立”是真命题，
∴ m>x2−x在−1≤x≤1恒成立，
即m>(x2−x)max，x∈(−1, 1)，
因为x2−x=(x−12)2−14，所以−14≤x2−x≤2，即m>2，
所以实数m的取值范围是(2, +∞).
(2)由p得，设A={m|m>2}，由q得，
设B={m|a−4因为q:−4所以q⇒p，但p推不出q，所以B⫋A，
所以a−4≥2，即a≥6，
所以实数a的取值范围是[6, +∞)．
19.
【答案】
解：(1)由题知a=2，e=22，即a=2c，
结合a2=b2+c2
解得b=c=1，
所以椭圆方程为x22+y2=1.
(2)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
联立直线与椭圆方程得x22+y2=1,y=x+12,
整理得3x2+2x−32=0，
则x1+x2=−23，x1x2=−12.
|AB|=(x1−x2)2+(y1−y2)2
=2(x1−x2)2
=2(x1+x2)2−4x1x2
=2113.
【考点】
椭圆的标准方程
椭圆的离心率
圆锥曲线中的定点与定值问题
与椭圆有关的中点弦及弦长问题
【解析】


【解答】
解：(1)由题知a=2，e=22，即a=2c，
结合a2=b2+c2
解得b=c=1，
所以椭圆方程为x22+y2=1.
(2)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
联立直线与椭圆方程得x22+y2=1,y=x+12,
整理得3x2+2x−32=0，
则x1+x2=−23，x1x2=−12.
|AB|=(x1−x2)2+(y1−y2)2
=2(x1−x2)2
=2(x1+x2)2−4x1x2
=2113.
20.
【答案】
（1）切线方程为：8x−y−14=0．
（2）fxmax=f2=2，fxmin=f1=−32
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究函数的最值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：（1）由题意： f′x=3ax2−x−2，
∵ f′−1=3a−1=2⇒a=1，
∴ fx=x3−12x2−2x f′x=3x2−x−2
又f2=2,f′2=8，
则切线方程为： y−2=8x−2⇒8x−y−14=0．
（2）由（1）可知： f′x=3x2−x−2=3x+2x−1
由f′x>0⇒x<−23或x>1；由f′x<0⇒−23∴ fx在−1,−23 1,2上单调递增， fx在−23,1上单调递减
则fx的极大值为f−23=2227 fx的极小值为f1=−32，且f−1=12 f2=2，故fxmax=f2=2，fxmin=f1=−32
21.
【答案】
设|F1P|＝m，|F2P|＝n，
∵ F1M→=−2MF2→，∴ F2是线段F1M的中点，
又线段NF1的中点P在椭圆上，△F1MN周长为12．
∴ m+n＝2a，2m+2n+4c＝12，可得a+c＝3．
由椭圆的离心率e=ca=12，a2＝b2+c2，
解得a＝2，c＝1，b2＝3．
∴ 椭圆C的方程为：x24+y23=1．
如图所示，
①当AB⊥x轴时，把x＝±1代入椭圆方程可得：14+y23=1，
解得：y=±32．
可得：OA→⋅OB→=1−94=−54．
②当AB的斜率存在时，设切线AB的方程为：y＝kx+m．
则|m|1+k2=1，化为：m2＝1+k2．
设A(x1, y1)，B(x2, y2)．
把y＝kx+m代入椭圆方程可得：(3+4k2)x2+8kmx+4m2−12＝0，
△>0．
∴ x1+x2=−8km3+4k2，x1⋅x2=4m2−123+4k2，
∴ y1y2＝(kx1+m)(kx2+m)＝km(x1+x2)+k2x1⋅x2+m2
∴ OA→⋅OB→=x1x2+y1y2＝km(x1+x2)+(k2+1)x1⋅x2+m2
＝km⋅−8km3+4k2+(k2+1)4m2−123+4k2+m2
=7m2−12k2−123+4k2
=−5+5k23+4k2
=−54−512+16k2∈[−53,−54)，
综上可得：OA→⋅OB→∈[−53,−54]．
【考点】
椭圆的应用
直线与椭圆的位置关系
椭圆的标准方程
【解析】
（1）设|F1P|＝m，|F2P|＝n，F1M→=−2MF2→，可得F2是线段F1M的中点，又线段NF1的中点P在椭圆上，△F1MN周长为12．可得m+n＝2a，2m+2n+4c＝12，可得a+c＝3．由椭圆的离心率e=ca=12，a2＝b2+c2，解出即可得出．
（2）如图所示，①当AB⊥x轴时，把x＝±1代入椭圆方程可得：14+y23=1，解出可得：OA→⋅OB→=−54．
②当AB的斜率存在时，设切线AB的方程为：y＝kx+m．利用切线的性质可得|m|1+k2=1，即：m2＝1+k2．设A(x1, y1)，B(x2, y2)．把y＝kx+m代入椭圆方程可得：(3+4k2)x2+8kmx+4m2−12＝0，把根与系数的关系代入OA→⋅OB→=x1x2+y1y2=−5+5k23+4k2，即可得出．
【解答】
设|F1P|＝m，|F2P|＝n，
∵ F1M→=−2MF2→，∴ F2是线段F1M的中点，
又线段NF1的中点P在椭圆上，△F1MN周长为12．
∴ m+n＝2a，2m+2n+4c＝12，可得a+c＝3．
由椭圆的离心率e=ca=12，a2＝b2+c2，
解得a＝2，c＝1，b2＝3．
∴ 椭圆C的方程为：x24+y23=1．
如图所示，
①当AB⊥x轴时，把x＝±1代入椭圆方程可得：14+y23=1，
解得：y=±32．
可得：OA→⋅OB→=1−94=−54．
②当AB的斜率存在时，设切线AB的方程为：y＝kx+m．
则|m|1+k2=1，化为：m2＝1+k2．
设A(x1, y1)，B(x2, y2)．
把y＝kx+m代入椭圆方程可得：(3+4k2)x2+8kmx+4m2−12＝0，
△>0．
∴ x1+x2=−8km3+4k2，x1⋅x2=4m2−123+4k2，
∴ y1y2＝(kx1+m)(kx2+m)＝km(x1+x2)+k2x1⋅x2+m2
∴ OA→⋅OB→=x1x2+y1y2＝km(x1+x2)+(k2+1)x1⋅x2+m2
＝km⋅−8km3+4k2+(k2+1)4m2−123+4k2+m2
=7m2−12k2−123+4k2
=−5+5k23+4k2
=−54−512+16k2∈[−53,−54)，
综上可得：OA→⋅OB→∈[−53,−54]．
22.
【答案】
解：(1)由已知得f′x=−sinx+ax+1x,x>0 ，
当a≥14时，ax+1x≥2a≥1，
所以f′x≥0，
所以fx在定义域上是增函数．
（2）gx=−sinx+ax+4lnx,g′x=−csx+a+4x，
因为gx在3π4,2π内没有极值点，
所以g′x≥0在3π4,2π内恒成立
或g′x≤0在3π4,2π内恒成立．
即a≥csx−4x在3π4,2π内恒成立或a≤csx−4x在3π4,2π内恒成立．
令ℎx=csx−4x,ℎ′x=−sinx+4x2 ，
（i）当x∈[π,2π）时，−sinx≥0,4x2>0，
所以ℎ′x>0,ℎx单调递增．
（ii）当x∈3π4,π时，ℎ′′x=−csx−8x3,ℎ′′′x=sinx+24x4>0，
所以ℎ′′x单调递增，
又ℎ′′3π4=22−51227π3>0，
所以ℎ′′x>0，
所以ℎ′x单调递增．
又因为ℎ′3π4=−22+649π2>0，
所以ℎ′x>0，所以ℎx单调递增．
由（i）（ii）可知，
ℎx在3π4,2π上单调递增，
所以x∈3π4,2π时，
ℎx>ℎ3π4=−22−163π,ℎx<ℎ2π=1−2π，
所以a≤−22−163π或a≥1−2π ．
【考点】
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究函数的极值
利用导数研究不等式恒成立问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)由已知得f′x=−sinx+ax+1x,x>0 ，
当a≥14时，ax+1x≥2a≥1，
所以f′x≥0，
所以fx在定义域上是增函数．
（2）gx=−sinx+ax+4lnx,g′x=−csx+a+4x，
因为gx在3π4,2π内没有极值点，
所以g′x≥0在3π4,2π内恒成立
或g′x≤0在3π4,2π内恒成立．
即a≥csx−4x在3π4,2π内恒成立或a≤csx−4x在3π4,2π内恒成立．
令ℎx=csx−4x,ℎ′x=−sinx+4x2 ，
（i）当x∈[π,2π）时，−sinx≥0,4x2>0，
所以ℎ′x>0,ℎx单调递增．
（ii）当x∈3π4,π时，ℎ′′x=−csx−8x3,ℎ′′′x=sinx+24x4>0，
所以ℎ′′x单调递增，
又ℎ′′3π4=22−51227π3>0，
所以ℎ′′x>0，
所以ℎ′x单调递增．
又因为ℎ′3π4=−22+649π2>0，
所以ℎ′x>0，所以ℎx单调递增．
由（i）（ii）可知，
ℎx在3π4,2π上单调递增，
所以x∈3π4,2π时，
ℎx>ℎ3π4=−22−163π,ℎx<ℎ2π=1−2π，
所以a≤−22−163π或a≥1−2π ．