2023曲靖一中高三下学期2月月考数学试题含解析

这是一份2023曲靖一中高三下学期2月月考数学试题含解析，共18页。

1.答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单选题(共40分)
1．设集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
2．函数在以下哪个区间内一定有零点（ ）
A．B．C．D．
3．已知，则（ ）
A．B．C．D．
4．已知是△的中线，，以为基底表示，则（ ）
A．B．
C．D．
5．已知，，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
6．函数在区间上的最大值是（ ）
A．B．
C．D．
7．已知函数若关于的方程有6个根，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数，若恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题(共20分)
9．若，则下列不等式成立的是（ ）
A．B．C．D．
10．下列命题中，正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则的最大值为
C．，，使得
D．若､，，则最小值为
11．已知函数， 关于函数的结论正确的是（ ）
A．的定义域为B．的值域为
C．D．若， 则的值是
12．若，，，则（ ）
A．B．C．D．
四、填空题(共20分
13．函数的最小值是______，此时的值__________.
14．设f(x)＝aex+blnx，且f′（1）＝e， ，则a+b＝__．
15．一组样本数据为m，0，1，2，3，若该样本的平均数为1，则样本方差为______________.
16．已知是定义在R上的奇函数，满足，有下列说法：
①的图象关于直线对称；
②的图象关于点对称；
③在区间上至少有5个零点；
④若上单调递增，则在区间上单调递增．
其中所有正确说法的序号为_______．
五、解答题(共70分)
17．从至的个整数中随机取个不同的数．
(1)写出所有不同的取法；
(2)求取出的个数互质的概率．
18．春见柑橘的学名是春见，俗称耙耙柑，2001年从中国柑橘研究所引进，广泛种植于四川､重庆､江西等地，四川省某个春见柑橘种植基地随机选取并记录了8棵春见柑橘树未使用新技术时的年产量（单位：千克）和使用了新技术后的年产量的数据的变化，得到如下表格：未使用新技术时的8棵春见柑橘树的年产量
末使用新技术时的8棵春见柑橘树的年产量
使用了新技术后的8棵春见柑橘树的年产量
已知该基地共有40亩地，每亩地有55棵春见柑橘树
(1)根据这8棵春见柑橘树年产量的平均值，估计该基地使用了新技术后，春见柑橘年总产量比未使用新技术时增加的百分比；
(2)已知使用新技术后春见柑橘的成本价为每千克5元，市场销售价格为每千克10元.若该基地所有的春见柑橘有八成按照市场价售出，另外两成只能按照市场价的八折售出，试估计该基地使用新技术后春见柑橘的年总利润是多少万元.
19．某市大力推广纯电动汽车，对购买用户依照车辆出厂续驶里程的行业标准，予以地方财政补贴.其补贴标准如下表:
2017年底随机调查该市1000辆纯电动汽车，统计其出厂续驶里程，得到频率分布直方图如图所示.
用样本估计总体，频率估计概率，解决如下问题：
(1)求该市纯电动汽车2017年地方财政补贴的均值；
(2)某企业统计2017年其充电站100天中各天充电车辆数，得如下的频数分布表：
（同一组数据用该区间的中点值作代表）
2018年2月，国家出台政策，将纯电动汽车财政补贴逐步转移到充电基础设施建设上来.该企业拟将转移补贴资金用于添置新型充电设备.现有直流、交流两种充电桩可供购置.直流充电桩5万元/台，每台每天最多可以充电30辆车，每天维护费用500元/台； 交流充电桩1万元/台，每台每天最多可以充电4辆车，每天维护费用80元/台.
该企业现有两种购置方案：
方案一:购买100台直流充电桩和900台交流充电桩；
方案二:购买200台直流充电桩和400台交流充电桩.
假设车辆充电时优先使用新设备，且充电一辆车产生25元的收入，用2017年的统计数据，分别估计该企业在两种方案下新设备产生的日利润.（日利润日收入日维护费用）
20．已知数列的前项和为，．
从下面①②③中选取两个作为条件，剩下一个作为结论．如果该命题为真，请给出证明；如果该命题为假，请说明理由．
①；②为等差数列；③．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
21．某连锁餐厅新店开业，打算举办一次食品交易会，招待新老顾客试吃.项目经理通过查阅最近次食品交易会参会人数（万人）与餐厅所用原材料数量（袋），得到如下统计表：
（1）根据所给组数据，求出关于的线性回归方程；
（2）已知购买原材料的费用（元）与数量（袋）的关系为，投入使用的每袋原材料相应的销售收入为元，多余的原材料只能无偿返还，据悉本次交易大会大约有万人参加，根据（1）中求出的线性回归方程，预测餐厅应购买多少袋原材料，才能获得最大利润，最大利润是多少？（注：利润销售收入原材料费用）.
参考公式：，.
参考数据：，，.
22．已知函数.
(1)当时，求函数的最大值；
(2)若关于x的方1有两个不同的实根，求实数a的取值范围.
第一棵
第二棵
第二棵
第四棵
第五棵
第六棵
第七棵
第八棵
年产量
30
32
33
30
34
30
34
33
第一棵
第二棵
第三棵
第四棵
第五棵
第六棵
第七棵
第八棵
年产量
40
39
40
37
42
38
42
42
出厂续驶里程R（公里）
补贴（万元/辆）
150≤R＜250
3
250≤R＜350
4
R≥350
4.5
辆数
[5500,6500)
[6500,7500)
[7500,8500)
[8500,9500)
天数
20
30
40
10
第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
参会人数（万人）
原材料（袋）
参考答案：
1．B
【分析】由集合交集的定义，即得解
【详解】由题意，
故答案为：B
2．D
【解析】由函数零点存在的条件对各个区间的端点值进行判断，找出符合条件的选项即可.
【详解】解：当时，函数值，
由零点的判定定理知函数的零点存在于内.
故选：D.
【点睛】本题考查函数零点的判定定理，解题的关键是理解并掌握零点的判定定理，属基础题.
3．C
【解析】应用二倍角公式变形后再转化为关于的二次齐次式，化为的式子，然后代入计算．
【详解】．
故选：C．
4．A
【分析】利用向量的线性运算转化求得.
【详解】.
故选：A.
5．A
【解析】先求出对应的不等式的解，再利用集合包含关系，进而可选出答案.
【详解】由题意，，设
，解得：或，设或
显然A是B的真子集，所以是的充分不必要条件.
故选：A.
【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：
（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；
（2）是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集；
（3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；
（4）是的既不充分又不必要条件， 对的集合与对应集合互不包含．
6．D
【分析】利用导数分析函数在上的单调性，进而可得结果.
【详解】因为，，
则，令得，所以，
当，，单调递增；
当，，单调递减，
所以，当时，有最大值.
故选：D.
7．B
【分析】作出函数的图象,令，则原方程可化为在上有2个不相等的实根，再数形结合得解.
【详解】
作出函数的图象如图所示．令，则可化为，要使关于的方程有6个根，数形结合知需方程在上有2个不相等的实根，，不妨设，，则解得，故的取值范围为，
故选B．
【点睛】形如的函数的零点问题与函数图象结合较为紧密，处理问题的基础和关键是作出，的图象．若已知零点个数求参数的范围，通常的做法是令，先估计关于的方程的解的个数，再根据的图象特点，观察直线与图象的交点个数，进而确定参数的范围．
8．C
【分析】依题意可得，进而可得在上恒成立，构造函数，利用导数研究函数的单调性以及最值，即可求出参数的取值范围.
【详解】等价于．
令函数，则，故是增函数．
等价于，即．
令函数，则．
当时，，单调递增：当时，，单调递减．
.
故实数a的取值范围为．
故选：C.
9．AC
【分析】利用不等式的性质判断ABC，利用作差法判断D.
【详解】对于A：当时，，A成立；
对于B：当时，，B不成立；
对于C：当时，，即，C成立；
对于D：，，，
，即，D不成立.
故选：AC.
10．AB
【分析】利用不等式的性质，基本不等式逐一判断即可.
【详解】对于A：由于，所以，故，故A正确；
对于B：由于，所以，所以，当且仅当时等号成立，故B正确；
对于C：当时，不成立，故C错误；
对于D：若、，，则，整理得，
即，所以，故的最大值为1，故D错误；
故选：AB．
11．BC
【分析】根据分段函数解析式可得到其定义域，判断A选项，分别在各自自变量范围内，求解其函数范围，最后取其并集，为最终值域，即可判断B选项，将代入，可判断C，在各自范围内，令其等于3，得到或，即可判断D选项.
【详解】由分段函数解析式可知其定义域为，故A错误；
当时，此时，在上单调递增，则此时；
当时，此时，对称轴为，则，且，故此时，
故值域为，作出如图所示图象，故B正确；
，故C正确，
当时，，；当时，，（舍去另一个负值），
故若,则的值是或，故D错误；
故选：BC.
12．AD
【分析】首先将化简，然后分别对，和，进行作差，构造函数，利用导数判断出构造函数的单调性，通过单调性对作差结果的正负进行判断，从而比较出大小.
【详解】∵，
∴，
令，
则，易知在区间单调递增，，
∴在区间单调递增，
又∵，
∴，即，
∴，
因为，
令，
则，当时，，
∴在区间单调递增，
又∵，
∴，即，
∴，
综上所述，，，之间的大小关系为.
故选：AD.
13． ##. ##.
【分析】将变形为，利用基本不等式即可求得函数最小值以及此时的值.
【详解】，
故，
当且仅当即时取得等号，
故的最小值为，此时的值为，
故答案为：；
14．1
【分析】可求出导函数,然后根据条件可得出关于a，b的方程组，解出a，b即可．
【详解】解：∵，
∴＝ae+b＝e①，
②，
联合①②解得，
∴a+b＝1．
故答案为：1．
15．2
【分析】根据样本平均数为1，得到，求出，再利用方差计算公式解出方差即可.
【详解】因为m，0，1，2，3的平均数为1，即 ，
解得 ，
故方差为
.
故答案为：2
16．②③④
【分析】求得函数的图象关于点对称判断①②；求得在区间上零点个数判断③；求得在区间上的单调性判断④
【详解】因为，所以，
故函数是周期为3的周期函数，又是定义在R上的奇函数，
则，所以，
故函数的图象关于点对称，故①错误，②正确；
由题意可知，，因为，
令，可得， 即，
所以，从而，
故函数在区间上至少有5个零点，故③正确；
因为，，
且函数在区间上单调递增，则函数在区间上单调递增，
故函数在区间上也单调递增，故④正确．
故答案为：②③④
17．(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）直接列出所以不同的取法.
（2）先列出两数互质的取法，运用古典概型公式求概率.
【详解】（1）从至的个整数中随机取个不同的数，共有以下种不同的取法，
,,,
,.
（2）两数互质的取法有：
，共11种，
故所求概率．
18．(1)；
(2)万元
【分析】（1）分别求得未使用新技术和使用新技术后的年产量平均值，从而求得增加的百分比.
（2）先求得使用新技术后的年总产量，然后计算总利润即可.
(1)
未使用新技术时的8棵春见相橘树的年产量的平均值：
千克，
使用了新技术后的8棵春见相橘树的年产量的平均值：
千克，
故可估计该基地使用了新技术后，春见柑橘年总产量比未使用新技术时增加的百分比约为.
(2)
该基地使用新技术后春见相橘的年总产量约为千克，
故该基地使用新技术后春见相橘的年总利润约为万元.
19．(1)3.95；
(2)方案1，日利润40000元，方案2，日利润45500元．
【分析】（1）由频率分布直方图求出补贴分别是3万元，4万元，4.5万元的概率，即得概率分布列，然后可计算出平均值；
（2）由频数分布表计算出每天需要充电车辆数的分布列，分别计算出两种方案中新设备可主观能动性车辆数，从而得实际充电车辆数的分布列，由分布列可计算出均值，从而计算出日利润．
【详解】（1）依题意可得纯电动汽车地方财政补贴的分布列为：
纯电动汽车2017年地方财政补贴的平均数为(万元)
（2）由充电车辆天数的频数分布表得每天需要充电车辆数的分布列：
若采用方案一，100台直流充电桩和900台交流充电桩每天可充电车辆数为
(辆）
可得实际充电车辆数的分布列如下表：
于是方案一下新设备产生的日利润均值为
(元）
若采用方案二，200台直流充电桩和400台交流充电桩每天可充电车辆数为(辆）
可得实际充电车辆数的分布列如下表：
于是方案二下新设备产生的日利润均值为(元)
20．答案见解析
【分析】选①②作为条件，可得，即可求出和，进而得到③.
选①③作为条件，可得，即可得到，进而得到②
选②③作为条件，可得，，进而得到①
【详解】解：选①②作为条件，③作为结论
由，，，
所以，则有，，
所以可知，
则有，得
故可知，
又符合，
所以，
则有．
选①③作为条件，②作为结论
由
当为奇数，
当为偶数，
故

，
是以公差为，首项为的等差数列
选②③作为条件，①作为结论
为等差数列，，即


21．（1）；（2）餐厅应该购买袋原材料，才能使利润获得最大，最大利润为元.
【解析】（1）计算出、的值，利用题中的数据结合最小二乘法公式求出和的值，即可得出关于的线性回归方程；
（2）由（1）中求出的线性回归方程计算时的值，再根据题意计算对应的利润值，比较大小即可．
【详解】（1）由表格中的数据可得，，
，，
因此，关于的线性回归方程为；
（2）由（1）中求出的线性回归方程知，当时，，即预计需要原材料袋.
，当时，利润.
当时，；
当时，；
当时，.
综上所述，餐厅应该购买袋原材料，才能使利润获得最大，最大利润为元.
【点睛】本题考查了线性回归方程的求法与应用问题，也考查了利润计算问题，是中档题．
22．(1)；
(2)
【分析】（1）求出函数的导数，讨论其单调性后可得函数的最大值.
（2）利用同构可将原方程转化为有两个不同的正数根，利用导数结合零点存在定理可求参数的取值范围.
【详解】（1）当时，，故，
当时，，故在上为增函数，
当时，，故在上为减函数，
故.
（2）方程即为，
整理得到：，令，
故，因为均为上的增函数，故为上的增函数，
而，故的解为，
因为方程有两个不同的实数根，故有两个不同的正数根，
设，则，
若，则，故在上为增函数，
在上至多一个零点，与题设矛盾；
若，则时，；时，，
故在上为增函数，在上为减函数，
由有两个不同的零点可得，
故.
当时，，而，
故在有且只有一个零点，
又，设，
令，，则，
故在上为减函数，故，
故，故在有且只有一个零点，
综上.
【点睛】思路点睛：导数背景下的函数的零点问题，注意根据解析式的同构特征合理构建新函数，后者可利用导数讨论其单调性，并结合零点存在定理检验零点的存在性.
补贴（万元/辆）
3
4
4.5
概率
0.2
0.5
0.3
辆数
6000
7000
8000
9000
概率
0.2
0.3
0.4
0.1
实际充电辆数
6000
6600
概率
0.2
0.8
实际充电辆数
6000
7000
7600
概率
0.2
0.3
0.5