2023西宁北外附属新华联外国语高级中学高三下学期开学考试数学（文）试题含答案

西宁新华联学校2022-2023学年第二学期

高三年级开学考试数学试卷（文）

试卷分值：150分  考试时间：120分钟

一、选择题（本题共计12小题，每题5分，共计60分）

1．设复数z满足，则（    ）

A．i B．－i C．1 D．

2．集合，，则（    ）

A． B． C． D．

3．直线：，：，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

4．基本分裂数m是一个衡量细菌分裂的参数，简单来说，在1小时内1个细菌平均可以分裂成m个细菌．已知在某种细菌培养过程中，原有细菌26个，经过了3小时后细菌增至105个，那么，参考上述数据，预计再经过（    ）小时细菌就会突破10万个．（    ）

A．12 B．15 C．18 D．21

5．若双曲线的离心率，则m的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

6．设变量x，y满足约束条件，则的最小值为（    ）

A．3 B．－3 C．2 D．－2

7．1904年，瑞典数学家科赫构造了一种曲线，取一个正三角形，在每个边以中间的三分之一部分为一边，向外凸出作一个正三角形，再把原来边上中间的三分之一部分擦掉，就成了一个很像雪花的六角星，如图所示．现在向圆中均匀散落1000粒豆子，则落在六角星中的豆子数约为（，）（    ）

A．331 B．481 C．508 D．577

8．将函数图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，然后将所得图象向左平移个单位长度，可得函数的图象，则a＋b＝（    ）

A．2 B．0 C． D．

9．已知，，，则（    ）

A． B． C． D．

10．已知边长为4的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，E为AB边的中点，将△ABC沿对角线AC翻折，在翻折过程中，记直线AC与DE所成的角为，当平面ABC⊥平面ADC中，（    ）

A．3 B． C． D．

11．已知抛物线M的顶点在原点，焦点在y轴负半轴上．经过抛物线M的焦点作直线与抛物线M相交于A，B两点．若，线段AB的中点的纵坐标为－5，则抛物线M的标准方程为（    ）

A． B． C． D．

12．已知函数．若对任意，，且，都有，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

二、填空题（本题共计4小题，每题5分，共计20分）

13．已知平面向量，满足，，则______．

14．已知关于x，y的一组数据如表：

根据表中数据得到的线性回归方程为，则的值为______．

15．若是定义在R上的函数，且的图象关于直线对称，当时，，且，则不等式的解集为______．

16．在△ABC中，已知，∠BAC的平分线AD与边BC相交于点D，AD＝2．则AB＋2AC的最小值为______．

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程）

17．（本小题满分12分）

已知数列的前n项和为，满足．

（1）求数列的通项公式；

（2）记，数列的前n项和为，求证：为定值．

18．（本小题满分12分）

2021年3月5日，全国两会政府工作报告中针对延迟退休给出了最新消息，两会上指出十四五期间要逐步延迟法定退休年龄．现对某市工薪阶层关于延迟退休政策的态度进行调查，随机调查了50人，他们月收入的频数分布及对延迟退休政策赞成的人数如表．

（1）根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有99%的把握认为“月收入以55百元为分界点”对延迟退休政策的态度有差异；

（2）若采用分层抽样从月收入在和的被调查人中选取6人进行跟踪调查，并随机给其中3人发放奖励，求获得奖励的3人中至少有1人月收入在的概率．

（参考公式：，其中）

19．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为3的正方形，，，平面APD⊥平面ABCD，E为AP的中点，F为CD的中点．

（1）求证：平面PBC；

（2）求点C到平面ABP的距离．

20．（本小题满分12分）

已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，且，点在椭圆C上．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）已知点为椭圆C上一点，过点的直线l与椭圆C交于异于点P的A，B两点，若△PAB的面积是，求直线l的方程．

21．（本小题满分12分）

已知函数．

（1）若，求函数的单调区间；

（2）若函数在区间上有两个不同的极值点，求实数a的取值范围．

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．

22．【选修4－4：坐标系与参数方程】（10分）

在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．

（1）求曲线C的普通方程与直线l的直角坐标方程；

（2）若直线l与曲线C交于M，N两点，点，求的值．

23．【选修4－5：不等式选讲】（10分）

已知函数．

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若对任意的，恒成立，求实数a的取值范围．

参考答案

1．C  解法一  因为，所以，即，所以，则，，故选C．

解法二  设（x，），由，得，即，由复数相等的充要条件得，解得，所以，则，，故选C．

2．B  由题意得，，则，所以．故选B．

3．A  若，则，解得或，所以“”是“”的充分不必要条件，故选A．

4．B  由，得．设再经过x小时细菌就会突破10万个，若，则细菌数为，不超过10万个，所以A错误．

若，则细菌数为，所以B正确，故选B．

5．B  因为，所以，又，所以，所以，得，故选B．

6．D  解法一  作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线，平移该直线，当直线经过点时，在y轴上的截距最大，则z最小，此时，故选D．

解法二  由得，此时；由，得，此时；由，得，此时．所以的最小值为－2，故选D．

7．D  设原正三角形的边长为3a，圆的半径为R，则由正弦定理得，即，所以．由题意，凸出来的小正三角形的边长为a，则，则，所以落在六角星中的豆子数约为，故选D．

8．C  先将的图象向右平移个单位长度，得的图象，然后将所得图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得的图象，则，，所以，故选C．

9．A  ，，，所以．故选A．

10．C  如图，平面ABC⊥平面ADC，取BC的中点为G，AC的中点为O，连接EG，OE，OG，OD，GD．

易得，所以∠DEG（或其补角）即异面直线AC与DE所成的角．

因为DO⊥AC，且平面平面ADC＝AC，平面ADC，

所以DO⊥平面ABC，所以DO⊥OE，DO⊥OG．

易得，，．

在Rt△EDO中，．同理可得．

所以在△EDG中，，所以，

所以．故选C．

11．B  如图，设抛物线的焦点为F，准线为l，分别过点A，B向直线l作垂线，垂足分别为，，

依题意，设抛物线M的标准方程为，，，

则，

因为线段AB的中点的纵坐标为－5，即，所以，所以，

抛物线M的标准方程为．故选B．

12．A  根据题意，不妨取，则可转化为，

即．

令，则对任意，，且，都有，

所以在上单调递增，即在上恒成立，即在上恒成立．

令，，则，，

令，得，令，得，

所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，

即实数a的取值范围是，故选A．

13．7  ．

14．0.44  根据题表中的数据可得，，，代入线性回归方程，得，整理可得．

15．  ∵的图象关于直线对称，

∴的图象关于直线对称，即，

又是定义在R上的函数，∴是偶函数．

令，则是奇函数．

∵，∴且．，

当时，，即，

所以在上单调递减，容易画出的变化趋势如图，

∴的解集为．

16．  设a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，

因为，AD是∠BAC的平分线，，，

所以，

即，即，所以，

则，

当且仅当，即时等号成立，所以AB＋2AC的最小值为．

17．解：（1）根据题意可知，当时，，解得，

当时，，所以，化简得，

所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，

则，即．

（2）由题意及（1），得，，

所以，

则，

两式相减，得，

即，

所以，

又，

所以，为定值．

18．解：（1）完成2×2列联表如下：

则，所以没有99%的把握认为“月收入以55百元为分界点”对延迟退休政策的态度有差异．

（2）按照分层抽样的方法可知，月收入在的抽4人，分别记为a，b，c，d，月收入在的抽2人，分别记为A，B，则从这6人中任取3人的所有情况为

{A，B，a}，{A，B，b}，{A，B，c}，{A，B，d}，{A，a，b}，{A，a，c}，{A，a，d}，{A，b，c}，

{A，b，d}，{A，c，d}，{B，a，b}，{B，a，c}，{B，a，d}，{B，b，c}，{B，b，d}，{B，c，d}，

{a，b，c}，{a，b，d}，{a，c，d}，{b，c，d}，共20种，

其中至少有1人月收入在的情况有16种，

所以获得奖励的3人中至少有1人月收入在的概率为．

19．解：（1）如图，取BP的中点为G，连接EG，CG．

又E为AP的中点，∴EG为△ABP的中位线，

∴且2EG＝AB．

∵底面ABCD为正方形，F为CD的中点，

∴，2CF＝CD，

∴且EG＝CF，

∴四边形CFEG为平行四边形，得．

∵平面PBC，平面PBC，

∴平面PBC．

（2）在△APD中，，可得AP⊥PD．

∵四边形ABCD是正方形，∴AB⊥AD．

又平面APD⊥平面ABCD，平面平面APD＝AD，平面ABCD，

∴AB⊥平面APD，

又平面APD，

∴AB⊥PD，

又AB，平面ABP，，

∴PD⊥平面ABP，∴点D到平面ABP的距离为．

∵，平面ABP，平面ABP，

∴平面ABP，

∴点C到平面ABP的距离与点D到平面ABP的距离相等，

∴点C到平面ABP的距离为．

20．解：（1）设椭圆C的半焦距为c，由题意可得，

解得，．

故椭圆C的标准方程为．

（2）因为在椭圆C上，所以，解得．

①当直线l的斜率为0时，，则△PAB的面积为．

因为△PAB的面积是，所以直线l的斜率为0不符合题意．

②当直线l的斜率不为0时（易知直线l的斜率存在），设直线l的方程为，，．

联立得，整理得，

则，．

故．

因为点P到直线l的距离，

所以．

因为△PAB的面积是，所以，

整理得，解得，即．

故直线l的方程为，即．

21．解：（1）若，则，．

令，得，所以当时，单调递增；

令，得，所以当时，单调递减．

综上，的单调递增区间为，单调递减区间为．

（2）由题意可得，，

因为在上有两个不同的极值点，

所以在上有两个不同的根，

所以方程在上有两个不同的根，

解法一  即在上有两个不同的根．

令，则，

当时，，单调递增；当时，，单调递减．

又当时，，，，

所以，即实数a的取值范围为．

解法二  由题意知，，故原问题转化为方程在上有两个不同的根．

令，则原问题转化为的图象在上与x轴有两个不同的交点，则

，解得，

即实数a的取值范围为．

22．解：（1）由曲线C的参数方程（为参数），可得（为参数），将两式同时平方并相加，可得曲线C的普通方程为，

由直线l的极坐标方程，得，由极坐标与直角坐标的互化公式可得，直线l的直角坐标方程为．

（2）易知点P在直线l上，可得直线l的一个参数方程为（t为参数），

将其代入椭圆C的方程，得，，

设M，N对应的参数分别为，，则，，

所以．

23．解：（1）当时，，

等价于或，

解得或，

所以不等式的解集为．

（2）对任意的，等价于对任意的，，

等价于对任意的，，即对任意的，或，

从而或，即实数a的取值范围是．