2023届青海省西宁市海湖中学高三下学期开学考试数学（文）试题含答案

2023届青海省西宁市海湖中学高三下学期开学考试数学（文）试题

一、单选题

1．设全集，集合，B={1，2，3}，则（）∩B=（    ）

A．{1} B．{1，2} C．{2，3} D．{1，2，3}

【答案】C

【分析】先计算出，再计算即可.

【详解】.

故选：C.

2．若复数满足，则的虚部为（    ）

A． B． C． D．1

【答案】B

【分析】先利用复数的除法化简复数再求解.

【详解】解：因为复数满足，

所以，

所以的虚部为-1，

故选：B

3．函数的零点个数为（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】B

【分析】在同一直角坐标系中作出函数与的图象，将函数的零点个数转化为函数的交点问题，数形结合可得.

【详解】解：函数的零点个数，即的解得个数，等价于与的交点个数，在同一平面直角坐标系中作出函数图象，由图可知两函数只有一个交点，故函数有一个零点,

故选：

【点睛】本题考查函数的零点问题，数形结合思想，属于基础题.

4．设是定义在上的增函数，且不等式对恒成立，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用单调性将不等式变为，利用分离变量法得到，根据二次函数最值的求法求得的最小值，由此得到范围.

【详解】是上的增函数，，即，

又的最小值为，，即的取值范围为.

故选：A.

5．函数的图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】判断函数的奇偶性排除两个选项，再结合特殊的函数值排除一个选项后得正确结论．

【详解】由题可得函数定义域为，且，故函数为奇函数，故排除BD，

由，，故C错误，

故选：A.

6．已知，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由平面向量的数量积的模长公式与夹角公式求解即可

【详解】因为，，

所以，

所以，

故选：A

7．已知实数x，y满足，则的最大值为（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】A

【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义即可求解．

【详解】作出可行域如图所示：

把转化为直线，经过点A时，纵截距最小，z最大.

由解得：，此时.

故选：A

8．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为（    ）

A．10 B．6 C．14 D．18

【答案】B

【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的，的值，当时满足条件，退出循环，输出的值为6．

【详解】解：模拟程序的运行，可得：，，

执行循环体，，；

不满足条件，执行循环体，，；

不满足条件，执行循环体，，；

满足条件，退出循环，输出的值为6．

故选：B

9．已知等差数列的前n项和为，若，，则（    ）

A．77 B．88 C．99 D．110

【答案】B

【分析】根据等差数列的性质，计算出等差数列的基本量，即可利用等差数列的求和公式求解.

【详解】，得，解得，

，得，解得，

故，

.

故选：B

10．曲线在点处切线的斜率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先求导函数，然后代入点的横坐标，求得在处的导数，根据导数的几何意义即得切线的斜率.

【详解】，

当时，，

由导数的几何意义可知，

曲线在点处切线的斜率为.

故选:C.

【点睛】本题考查导数的运算和导数的几何意义，关键是熟练使用导数的运算法则求得原函数的导函数.

11．已知定义在R上的函数满足，且，当时，，则（　　）

A．－1 B．－3 C．1 D．3

【答案】D

【分析】由已知条件变形可得函数的周期为4，然后利用函数周期结合已知的解析式可求得答案

【详解】，得，

∴，

∴

∴的周期为4，

∴，

故选：D．

12．已知函数是定义在R上的偶函数，在上单调递减，且，则不等式的解集为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据偶函数的性质及区间单调性可得上单调递增且，进而确定的区间符号，讨论、求解集即可.

【详解】由题设，上单调递增且，

所以、上，上，

对于，

当，即或，可得；

当，即，可得；

综上，解集为.

故选：A

二、填空题

13．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，，，则        ．

【答案】

【分析】由三角形面积公式可得，再结合余弦定理即可得解.

【详解】由题意，，

所以，

所以，解得（负值舍去）.

故答案为：.

14．如图是函数的导函数的图象，则下面说法正确的是         ．

①函数在区间上单调递减；

②；

③函数在处取极大值；

④函数在区间内有两个极小值点．

【答案】③④

【分析】由图象的正负可得的单调性，结合极值的定义依次判断各个选项即可.

【详解】对于①，当时，；当时，；

在上单调递增，在上单调递减，①错误；

对于②，由①知：在上单调递增，，②错误；

对于③，由①知：在上单调递增，在上单调递减，

在处取得极大值，③正确；

对于④，由图象知：当时，；当时，；

在上单调递减，在上单调递增，

在上有和两个极小值点，④正确.

故答案为：③④.

15．向平面区域内随机投入一点，则该点落在曲线下方的概率为      .

【答案】

【分析】由题意画出图形，分别求出正方形及阴影部分的面积，再由几何概型概率面积比得答案．

【详解】作出平面区域，及曲线如图，

，．

向平面区域，内随机投入一点，

则该点落在曲线下方的概率为．

故答案为：．

【点睛】本题主要考查几何概型概率的求法，考查数形结合的解题思想方法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．

16．已知定义在R上的函数的导函数，且，则实数的取值范围为          .

【答案】

【分析】由题意可得在R上单调递增，再由，利用函数的单调性转化为关于的不等式求解．

【详解】定义在R上的函数的导函数，

在R上单调递增，

由，得，即．

实数的取值范围为．

故答案为：．

三、解答题

17．已知的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，.

（1）求B；

（2）设，，求c.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）由题设，根据正弦定理得，结合三角形内角的性质得，即可求B；

（2）由余弦定理，结合已知条件列方程，即可求c.

【详解】（1）由正弦定理得：，而，

∴，又，，

∴，又，即.

（2）由余弦定理，即，

∴，解得.

18．已知函数.

(1)当时，求函数的单调区间和极值；

(2)若函数在区间上单调递增，求实数a的取值范围.

【答案】(1)减区间为，增区间为，极小值为，无极大值

(2)

【分析】（1）先求导，从而得到单调区间，根据单调性可得极值；

（2）由条件可知恒成立，再分离变量求最值即可求解.

【详解】（1）函数的定义域为，

当时，

求导得，整理得：.

由得；由得

从而，函数减区间为，增区间为

所以函数极小值为，无极大值.

（2）由已知时，恒成立，即恒成立，

即恒成立，则.

令函数，由知在单调递增，

从而.

经检验知，当时，函数不是常函数，所以a的取值范围是.

19．记为数列的前n项和．已知．

(1)证明：是等差数列；

(2)若成等比数列，求的最小值．

【答案】(1)证明见解析；

(2)．

【分析】（1）依题意可得，根据，作差即可得到，从而得证；

（2）法一：由（1）及等比中项的性质求出，即可得到的通项公式与前项和，再根据二次函数的性质计算可得．

【详解】（1）因为，即①，

当时，②，

①②得，，

即，

即，所以，且，

所以是以为公差的等差数列．

（2）[方法一]：二次函数的性质

由（1）可得，，，

又，，成等比数列，所以，

即，解得，

所以，所以，

所以，当或时，．

[方法二]：【最优解】邻项变号法

由（1）可得，，，

又，，成等比数列，所以，

即，解得，

所以，即有.

则当或时，．

【整体点评】（2）法一：根据二次函数的性质求出的最小值，适用于可以求出的表达式；

法二：根据邻项变号法求最值，计算量小，是该题的最优解．

20．某科技公司研发了一项新产品，经过市场调研，对公司1月份至6月份销售量及销售单价进行统计，销售单价（千元）和销售量（千件）之间的一组数据如下表所示：

（1）试根据1至5月份的数据，建立关于的回归直线方程；

（2）若由回归直线方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差不超过千件，则认为所得到的回归直线方程是理想的，试问（1）中所得到的回归直线方程是否理想？

参考公式：回归直线方程，其中.

参考数据：，.

【答案】（1）；（2）是.

【分析】（1）先由表中的数据求出，再利用已知的数据和公式求出，从而可求出关于的回归直线方程；

（2）当时，求出的值，再与15比较即可得结论

【详解】（1）因为，，

所以，

得，

于是关于的回归直线方程为；

（2）当时，，

则，

故可以认为所得到的回归直线方程是理想的.

21．某高级中学为了解学生体质情况，随机抽取高二、高三男生各50人进行引体向上体能检测，下图是根据100名学生检测结果绘制的学生一次能做引体向上个数的频率分布直方图．所做引体向上个数的分组区间为，，，，．

(1)求这100名学生中一次能做引体向上5个以下的人数．并完善频率分布直方图（即作出“引体向上个数为0~5”所对应的矩形）；

(2)若男生一次能做引体向上10个或以上为及格，完成下面2×2列联表．并判断能否有99%的把握认为该学校男生“引体向上是否及格”与“所在年级”有关？

附：，其中．

【答案】(1)，补全频率分布直方图见解析；

(2)有99%的把握认为该学校男生“引体向上是否及格”与“所在年级”有关.

【分析】（1）根据频率分布直方图所有面积之和为1及频数等于频率乘以样本容量即可求解；

（2）根据频率分布直方图及已知完成2×2列联表，再计算的观测值即可求解.

【详解】（1）由题意可知，，

所以（人）.即这100名学生中一次能做引体向上5个以下的人数为25.

补全频率分布直方图如图所示：

（2）由题意可知，100名学生中一次能做“引体向上个数”在内有25人，在内有30人，在内有25人，在内有15人，在内有5人；其中及格45人，不及格55人，补全2×2列联表如下：

由表中数据可知

.

所以有99%的把握认为该学校男生“引体向上是否及格”与“所在年级”有关.

22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），在以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为．

(1)求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；

(2)已知点，，点是曲线上任一点，求面积的最小值．

【答案】(1)；

(2)

【分析】（1）利用消参法即可求得曲线的普通方程，化简根据即可求得直线的直角坐标方程；

（2）设点的坐标为，求出及点到直线的距离的最小值，即可得出答案.

【详解】（1）解：曲线的参数方程（为参数）消去参数，

得；          

化简，得，

即，

由得直线的直角坐标方程为；

（2）解：，

设点的坐标为，

∴点到直线的距离，

当时，，

则面积的最小值是．