高中数学高考第7讲　高效演练分层突破

[基础题组练]1．在相距2 km的A，B两点处测量目标点C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A，C两点之间的距离为(　　)A． km　　　　　　　　　 B． kmC． km  D．2 km解析：选A．如图，在△ABC中，由已知可得∠ACB＝45°，所以＝，所以AC＝2×＝(km)．2．如图，测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB等于(　　)A．5  B．15C．5  D．15解析：选D．在△BCD中，∠CBD＝180°－15°－30°＝135°.由正弦定理得＝，所以BC＝15.在Rt△ABC中，AB＝BCtan∠ACB＝15×＝15.3．一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是(　　)A．10海里  B．10海里C．20海里  D．20海里解析：选A．如图所示，易知，在△ABC中，AB＝20，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，根据正弦定理得＝，解得BC＝10(海里)．4．如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60 m，则河流的宽度BC等于(　　)A．240(－1)  m  B．180(－1) mC．120(－1) m  D．30(＋1) m解析：选C．因为tan 15°＝tan(60°－45°)＝＝2－，所以BC＝60tan 60°－60tan 15°＝120(－1)(m)．5.如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD． 已知某人从O沿OD走到D用了2分钟，从D沿着DC走到C用了3分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径的长度为(　　)A．50 米  B．50 米C．50米  D．50米解析：选B．设该扇形的半径为r米，连接CO.由题意，得CD＝150(米)，OD＝100(米)，∠CDO＝60°，在△CDO中，CD2＋OD2－2CD·OD·cos 60°＝OC2，即1502＋1002－2×150×100×＝r2，解得r＝50 .6．海上有A，B两个小岛相距10 n mile，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，那么B岛和C岛间的距离是________ n mile.解析：如图，在△ABC中，AB＝10，A＝60°，B＝75°，C＝45°，由正弦定理，得＝，所以BC＝＝＝5(n mile)．答案：57．一船自西向东匀速航行，上午10时到达灯塔P的南偏西75°，距灯塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则此船航行的速度为________海里/小时．解析：如图，由题意知∠MPN＝75°＋45°＝120°，∠PNM＝45°.在△PMN中，＝，所以MN＝68×＝34(海里)．又由M到N所用的时间为14－10＝4(小时)，所以此船的航行速度v＝＝(海里/小时)．答案：8．如图，在△ABC中，已知M为边BC上一点，＝4，∠AMC＝，AM＝2，△AMC的面积为3，则CM＝________；cos∠BAC＝________．解析：因为在△AMC中，∠AMC＝，AM＝2，△AMC的面积为3，则有3＝AM·CM·sin∠AMC＝×2×CM×，解得CM＝6.因为＝4，所以BM＝2，BC＝8，因为∠AMB＝π－∠AMC＝，所以由余弦定理可得AB＝＝ ＝2，AC＝＝ ＝2，所以cos∠BAC＝＝＝－.答案：6　－9．在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5.(1)求cos∠ADB；(2)若DC＝2，求BC．解：(1)在△ABD中，由正弦定理得＝.由题设知，＝，所以sin∠ADB＝.由题设知，∠ADB<90°，所以cos∠ADB＝＝.(2)由题设及(1)知，cos∠BDC＝sin∠ADB＝.在△BCD中，由余弦定理得BC2＝BD2＋DC2－2·BD·DC·cos∠BDC＝25＋8－2×5×2×＝25.所以BC＝5.10．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，(2a－c)·cos B－bcos C＝0.(1)求角B的大小；(2)设函数f(x)＝2sin xcos xcos B－cos 2x，求函数f(x)的最大值及当f(x)取得最大值时x的值．解：(1)因为(2a－c)cos B－bcos C＝0，所以2acos B－ccos B－bcos C＝0，由正弦定理得2sin Acos B－sin CcosB－cos Csin B＝0，即2sin Acos B－sin(C＋B)＝0，又C＋B＝π－A，所以sin(C＋B)＝sin A．所以sin A(2cos B－1)＝0.在△ABC中，sin A≠0，所以cos B＝，又B∈(0，π)，所以B＝.(2)因为B＝，所以f(x)＝sin 2x－cos 2x＝sin，令2x－＝2kπ＋(k∈Z)，得x＝kπ＋(k∈Z)，即当x＝kπ＋(k∈Z)时，f(x)取得最大值1.[综合题组练]1．(2020·安徽宣城二模)在△ABC中，角A，B，C成等差数列．且对边分别为a，b，c，若·＝20，b＝7，则△ABC的内切圆的半径为(　　)A．   B．C．2  D．3解析：选A．因为角A，B，C成等差数列，所以2B＝A＋C，又A＋B＋C＝π，所以B＝.因为·＝accos B＝20，所以ac＝40.所以S△ABC＝acsin B＝10.由余弦定理得cos B＝＝＝，所以a＋c＝13，设△ABC的内切圆的半径为r，则S△ABC＝(a＋b＋c)r＝10r，所以10＝10r，解得r＝，故选A．2．如图所示，一座建筑物AB的高为(30－10)m，在该建筑物的正东方向有一座通信塔CD．在它们之间的地面上的点M(B，M，D三点共线)处测得楼顶A，塔顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30°，则通信塔CD的高为(　　)A．30 m  B．60 mC．30 m  D．40 m解析：选B．在Rt△ABM中，AM＝＝＝＝20(m)．过点A作AN⊥CD于点N，如图所示．易知∠MAN＝∠AMB＝15°，所以∠MAC＝30°＋15°＝45°.又∠AMC＝180°－15°－60°＝105°，所以∠ACM＝30°.在△AMC中，由正弦定理得＝，解得MC＝40(m)．在Rt△CMD中，CD＝40×sin 60°＝60(m)，故通信塔CD的高为60 m.3．(创新型)(2020·河北衡水三模)在等腰△ABC中，∠BAC＝120°，AD为边BC上的高，点E满足＝3，若AB＝m，则BE的长为________．解析：因为△ABC是等腰三角形，∠BAC＝120°，AD⊥BC，所以∠ABC＝30°，∠BAD＝60°，又因为AB＝m，所以AD＝ m，由＝3 ，得AE＝m，在△ABE中，AB＝m，AE＝m，∠BAE＝60°，所以由余弦定理，得BE2＝AB2＋AE2－2AB·AE ·cos∠BAE＝m2＋m2－2m×m×cos 60°＝m2，所以BE＝m.答案：m4．已知△ABC中，AC＝，BC＝，△ABC的面积为，若线段BA的延长线上存在点D，使∠BDC＝，则CD＝________．解析：因为AC＝，BC＝，△ABC的面积为＝AC·BC·sin∠ACB＝×××sin∠ACB，所以sin∠ACB＝，所以∠ACB＝或，若∠ACB＝，∠BDC＝<∠BAC，可得∠BAC＋∠ACB>＋>π，与三角形内角和定理矛盾，所以∠ACB＝，所以在△ABC中，由余弦定理可得AB＝＝＝，所以AB＝AC，所以∠B＝，所以在△BCD中，由正弦定理可得CD＝＝＝.答案：5．(应用型)如图所示，经过村庄A有两条夹角60°的公路AB，AC，根据规划拟在两条公路之间的区域建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M，N(异于村庄A)，要求PM＝PN＝MN＝2(单位：千米)．如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远)?解：设∠AMN＝θ，在△AMN中，＝.因为MN＝2，所以AM＝sin(120°－θ)．在△APM中，cos∠AMP＝cos(60°＋θ)．AP2＝AM2＋MP2－2AM·MP·cos∠AMP＝sin2(120°－θ)＋4－2×2×sin(120°－θ)·cos(60°＋θ)＝sin2(θ＋60°)－sin(θ＋60°)·cos(θ＋60°)＋4＝[1－cos(2θ＋120°)]－sin(2θ＋120°)＋4＝－[sin(2θ＋120°)＋cos(2θ＋120°)]＋＝－sin(2θ＋150°)，θ∈(0°，120°)．当且仅当2θ＋150°＝270°，即θ＝60°时，AP2取得最大值12，即AP取得最大值2.所以设计∠AMN＝60°时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．