高中数学高考第6讲　正弦定理和余弦定理 试卷

第6讲　正弦定理和余弦定理一、选择题1.(2017·哈尔滨模拟)在△ABC中，AB＝，AC＝1，B＝30°，△ABC的面积为，则C＝(　　)A.30°   B.45°   C.60°   D.75°解析　法一　∵S△ABC＝·AB·AC·sin A＝，即××1×sin A＝，∴sin A＝1，由A∈(0°，180°)，∴A＝90°，∴C＝60°.故选C.法二　由正弦定理，得＝，即＝，sin C＝，又C∈(0°，180°)，∴C＝60°或C＝120°.当C＝120°时，A＝30°，S△ABC＝≠(舍去).而当C＝60°时，A＝90°，S△ABC＝，符合条件，故C＝60°.故选C.答案　C2.在△ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若A＝，a＝2，b＝，则B等于(　　)A.    B.C.或    D.解析　∵A＝，a＝2，b＝，∴由正弦定理＝可得，sin B＝sin A＝×＝.∵A＝，∴B＝.答案　D3.(2017·成都诊断)在△ABC中，cos2＝(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为(　　)A.等边三角形  B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形 D.等腰直角三角形解析　因为cos2＝，所以2cos2－1＝－1，所以cos B＝，所以＝，所以c2＝a2＋b2.所以△ABC为直角三角形.答案　B4.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则“a＞b”是“cos 2A＜cos 2B”的(　　)A.充分不必要条件   B.必要不充分条件C.充分必要条件    D.既不充分也不必要条件解析　因为在△ABC中，a＞b⇔sin A＞sin B⇔sin2A＞sin2B⇔2sin2A＞2sin2B⇔1－2sin2A＜1－2sin2B⇔cos 2A＜cos 2B.所以“a＞b”是“cos 2A＜cos 2B”的充分必要条件.答案　C5.(2016·山东卷)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b＝c，a2＝2b2(1－sin A)，则A＝(　　)A.   B.   C.   D.解析　在△ABC中，由b＝c，得cos A＝＝，又a2＝2b2(1－sin A)，所以cos A＝sin A，即tan A＝1，又知A∈(0，π)，所以A＝，故选C.答案　C二、填空题6.(2015·重庆卷)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2，cos C＝－，3sin A＝2sin B，则c＝________.解析　由3sin A＝2sin B及正弦定理，得3a＝2b，又a＝2，所以b＝3，故c2＝a2＋b2－2abcos C＝4＋9－2×2×3×＝16，所以c＝4.答案　47.(2017·江西九校联考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若角A，B，C依次成等差数列，且a＝1，b＝，则S△ABC＝________.解析　因为角A，B，C依次成等差数列，所以B＝60°.由正弦定理，得＝，解得sin A＝，因为0°＜A＜180°，所以A＝30°或150°(舍去)，此时C＝90°，所以S△ABC＝ab＝.答案　8.(2016·北京卷)在△ABC中，A＝，a＝c，则＝________.解析　在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bc·cos A，将A＝，a＝c代入，可得(c)2＝b2＋c2－2bc·，整理得2c2＝b2＋bc.∵c≠0，∴等式两边同时除以c2，得2＝＋，可解得＝1.答案　1三、解答题9.(2015·天津卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知△ABC的面积为3，b－c＝2，cos A＝－.(1)求a和sin C的值；(2)求cos的值.解　(1)在△ABC中，由cos A＝－，可得sin A＝.由S△ABC＝bcsin A＝3，得bc＝24，又由b－c＝2，解得b＝6，c＝4.由a2＝b2＋c2－2bccos A，可得a＝8.由＝，得sin C＝.(2)cos＝cos 2A·cos －sin 2A·sin＝(2cos2A－1)－×2sin A·cos A＝.10.(2015·全国Ⅱ卷)在△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，BD＝2DC.(1)求；(2)若∠BAC＝60°，求∠B.解　(1)由正弦定理得＝，＝.因为AD平分∠BAC，BD＝2DC，所以＝＝.(2)因为∠C＝180°－(∠BAC＋∠B)，∠BAC＝60°，所以sin C＝sin(∠BAC＋∠B)＝cos B＋sin B.由(1)知2sin B＝sin C，所以tan B＝，即∠B＝30°.11.(2017·郑州调研)在△ABC中，sin2A≤sin2B＋sin2C－sin Bsin C，则A的取值范围是(　　)A.   B.   C.   D.解析　由已知及正弦定理有a2≤b2＋c2－bc，由余弦定理可知a2＝b2＋c2－2bccos A，于是b2＋c2－2bccos A≤b2＋c2－bc，∴cos A≥，在△ABC中，A∈(0，π).由余弦函数的性质，得0<A≤.答案　C12.在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若S△ABC＝2，a＋b＝6，＝2cos C，则c＝(　　)A.2   B.4   C.2   D.3解析　∵＝2cos C，由正弦定理，得sin Acos B＋cos Asin B＝2sin Ccos C，∴sin(A＋B)＝sin C＝2sin Ccos C，由于0＜C＜π，sin C≠0，∴cos C＝，∴C＝，∵S△ABC＝2＝absin C＝ab，∴ab＝8，又a＋b＝6，解得或c2＝a2＋b2－2abcos C＝4＋16－8＝12，∴c＝2，故选C.答案　C13.(2015·全国Ⅰ卷)在平面四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75°，BC＝2，则AB的取值范围是________.解析　如图所示，延长BA与CD相交于点E，过点C作CF∥AD交AB于点F，则BF<AB<BE.在等腰三角形CBF中，∠FCB＝30°，CF＝BC＝2，∴BF＝＝－.在等腰三角形ECB中，∠CEB＝30°，∠ECB＝75°，BE＝CE，BC＝2，＝，∴BE＝×＝＋.∴－<AB<＋.答案　(－，＋)14.设f(x)＝sin xcos x－cos2.(1)求f(x)的单调区间；(2)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若f＝0，a＝1，求△ABC面积的最大值.解　(1)由题意知f(x)＝－＝－＝sin 2x－.由－＋2kπ≤2x≤＋2kπ，k∈Z, 可得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z；由＋2kπ≤2x≤＋2kπ，k∈Z, 可得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.所以f(x)的单调递增区间是(k∈Z)；单调递减区间是(k∈Z).(2)由f＝sin A－＝0，得sin A＝，由题意知A为锐角，所以cos A＝.由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，可得1＋bc＝b2＋c2≥2bc，即bc≤2＋，且当b＝c时等号成立.因此bcsin A≤.所以△ABC面积的最大值为.