【单元专题卷】人教版数学8年级下册第17章·专题01 勾股定理、逆定理(含答案)

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人教8下·数学



【单元专题卷】人教版数学8年级下册
第17章 专题01 勾股定理、逆定理
一、选择题（共15小题）
1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，则点C到直线AB的距离是（　　）

A．185 B．3 C．125 D．2
2．如图，已知正方形A的面积为3，正方形B的面积为4，则正方形C的面积为（　　）

A．7 B．5 C．25 D．1
3．如图，Rt△ABC中，AC⊥BC，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AD交AB于点E，M为AE的中点，BF⊥BC交CM的延长线于点F，BD＝4，CD＝3．下列结论①∠AED＝∠ADC；②DEDA=34；③AC•BE＝12；④4BF＝5AC，其中结论正确的个数有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、C、D的面积依次为4、6、18，则正方形B的面积为（　　）

A．8 B．9 C．10 D．12
5．在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，5），点B（1，1），则线段AB的长度为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．已知直角三角形有两边为3和5，则第三边为（　　）
A．4 B．5 C．4或34 D．3或34
7．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝6，点D、E分别是BC、AD的中点，AF∥BC交CE的延长线于F，则四边形AFBD的面积为（　　）

A．10 B．11 C．12 D．13
8．等腰三角形的腰长为5，底边上的中线长为4，它的面积为（　　）
A．24 B．20 C．15 D．12
9．如图△ABC中，∠BAC＝90°，点A向上平移后到A′得到△A′BC．下面说法错误的是（　　）

A．△ABC的内角和仍为180° B．∠BA′C＜∠BAC
C．AB2+AC2＝BC2 D．A′B2+A′C2＜BC2
10．如图在Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝20，AD平分∠BAC交BC于点D，且BD：CD＝3：2，则点D到线段AB的距离DE的长为（　　）

A．4 B．8 C．10 D．12
11．在下列四组数中，不是勾股数的一组数是（　　）
A．3、4、5 B．6、8、10 C．5、12、13 D．3、5、7
12．在△ABC中，已知AB＝4，AC＝3，BC=7，则△ABC的面积为（　　）
A．47 B．37 C．6 D．327
13．下列几组数中，能构成直角三角形三边长的是（　　）
A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，4，5 D．4，5，6
14．△ABC的三边分别为a，b，c，则无法判断△ABC为直角三角形的是（　　）
A．b2＝a2﹣c2 B．∠A＝∠B+∠C
C．a：b：c＝3：4：5 D．a：b：c＝1：2：3
15．下列各组数中，是勾股数的是（　　）
A．0.3，0.4，0.5 B．35，45，1
C．3，4，5 D．4，5，6
二、填空题（共18小题）
16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为BC上一点，∠DAC＝30°，BD＝2，AB＝23，则AC的长是 　 　．

17．在△ABC中，∠ACB＝135°，AC＝2，BC=2，AC、BC的中垂线分别交AB于D、E两点，则△CDE的周长为　 　．


18．已知平面直角坐标系中，点P（m﹣2，4）到坐标原点距离为5，则m的值为 　 　．
19．如图，在正方形网格中，点A，B，C，D，E是格点，则∠ABD+∠CBE的度数为 　 　．

20．若6，a，8是一组勾股数，则a的值为 　 　．
21．如图，正方形网格中，点A，B，C都在格点上，则∠CAB+∠ACB＝　 　．

22．一个三角形的三边长分别为6，8，10，则这个三角形最长边上的中线为 　 　．
23．如图，已知∠BAC＝90°，BC=3，AB＝1，AD＝CD＝1，则∠BAD＝　 　．

24．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝2∠A，若AC＝8，则AB边上的高为 　 　．
25．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，且CD＝2，AC＝6，则AB＝　 　．

26．如图，△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，DE⊥BC于E，若AB＝6，BC＝9，则DE的长为 　 　．

27．如图，在△ABC，∠C＝90°，c=3，则a2+b2+c2＝　 　．

28．已知：点A（﹣1，4），点B（﹣4，﹣2），则AB＝　 　．
29．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝2．以AB为一条边向三角形外部作正方形，则正方形的面积是 　 　．

30．如图所示，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB垂足为E，AB＝12，AC＝8，则BE的长为 　 　．

31．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，CD∥AB，∠ABC的平分线BD交AC于点E，AE＝　 　．

32．如图：已知四边形ABCD中，AB＝AC，∠CAD＝2∠DBC，∠ACB＝60°+∠DBC，若CD＝2，AD＝7，则线段BC的长是 　 　．

33．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AB于点E，若BC＝3，BD＝2，则DE的长为 　 　．

三、解答题（共18小题）
34．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8．求BC边上的高的长．

35．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AC＝20，BC＝15．
求：（1）CD的长；
（2）AD的长．

36．如下列各图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AB，BC，CA为边向外作正三角形（如图①）、等腰直角三角形（如图②、图③），所作三角形的面积分别为S1，S2，S3，试求S1，S2，S3的关系．

37．如图，当两个全等的直角三角形按一定方式摆放时，可以用“面积法”来证明勾股定理．下面是利用图①证明勾股定理的过程：
将两个全等的直角三角形按图①所示摆放，其中∠DAB＝90°，求证：a2+b2＝c2．
证明：连接DB，过点D作边BC上的高DF，则DF＝EC＝b﹣a，
∵S四边形ADCB＝S△ACD+S△ABC=12b2+12ab，
又∵S四边形ADCB＝S△ADB+S△DCB=12c2+12a（b﹣a），
∴12b2+12ab=12c2+12a（b﹣a），
∴a2+b2＝c2．
请参照上述证法，利用图②证明勾股定理．

38．如图，一块铁皮（图中阴影部分），测得AB＝6，BC＝8，CD＝24，AD＝26，∠B＝90°．求阴影部分的面积．

39．如图，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，AD＝12，BD＝13，试判断△ABD的形状，并说明理由．

40．如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，AC＝20，BC＝15，DB＝9．
（1）求AD的长；
（2）判断△ABC的形状，并说明理由．

41．如图，已知△ABC，AB＝AC，∠B＝50°，点D在线段BC上，点E在线段AC上，设∠BAD＝α，∠CDE＝β．
（1）如果α＝20°，β＝10°，那么△ADE是等边三角形？请说明理由；
（2）若AD＝AE，试求α与β之间的关系．

42．在学习勾股定理时，我们学会运用图（I）验证它的正确性：图中大正方形的面积可表示为：（a+b）2，也可表示为：c2+4•（12ab），即（a+b）2＝c2+4•（12ab）由此推出勾股定理a2+b2＝c2，这种根据图形可以极简单地直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称“无字证明”．

（1）请你用图（Ⅱ）（2002年国际数字家大会会标）的面积表达式验证勾股定理（其中四个直角三角形全等）；
（2）请你用（Ⅲ）提供的图形进行组合，用组合图形的面积表达式验证（x+y）2＝x2+2xy+y2．

43．如图，其中△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，根据这个图形的面积关系，可以证明勾股定理．设AD＝c，DE＝a，AE＝b，取c＝20，b﹣a＝4．
（1）填空：正方形EFCH的面积为 　 　，四个直角三角形的面积和为 　 　．
（2）求a+b的值．

44．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1．线段AB，AE分别是图中两个1×3的长方形的对角线，请你说明：AB⊥AE．

45．如图，已知△ABC的边BC＝13cm，D是AB上一点，连接CD，且CD＝12cm，BD＝5cm．求证：△BDC是直角三角形．

46．如图，已知等腰△ABC的底边BC=85cm，D是腰BA延长线上一点，连接CD，且BD＝16cm，CD＝8cm．
（1）判断△BDC的形状，并说明理由；
（2）求△ABC的周长．

47．如图，已知等腰△ABC的底边BC＝13cm，D是腰AB上一点，连接CD，且CD＝12cm，BD＝5cm．
（1）求证：△BDC是直角三角形；
（2）求AB的长．

48．如图，四边形ABCD中，AB＝20，BC＝15，CD＝7，AD＝24，∠B＝90°．
（1）判断∠D是否是直角，并说明理由．
（2）求四边形ABCD的面积．

49．如图，每个小正方形的边长都为1，△ABC的顶点都在格点上．判断△ABC是什么形状，并说明理由．

50．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，AD2+CD2＝2AB2，CD⊥AD．则∠ABC＝90°，请说明理由．

51．如图，△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD＝DE，连接AE．
（1）若∠BAE＝40°，求∠C的度数；
（2）若AC＝6cm，DC＝5cm，求△ABC的周长．


参考答案
一、选择题（共15小题）
1．C
2．A
3．B
4．A
5．D
6．C
7．C
8．D
9．D
10．B
11．D
12．D
13．C
14．D
15．C；
二、填空题（共18小题）
16．
17．
18．5或﹣1．
19．45°
20．10
21．45°
22．5
23．45°
24．4
25．7.5
26．
27．6
28．
29．20
30．4
31．5
32．3
33．1；
三、解答题（共18小题）
34．解：如图，过点A作AD⊥BC于点D，

∵AB＝AC＝5，BC＝8，AD⊥BC，
∴BD＝CD=12BC＝4，
∴AD=AB2-BD2=52-42=3，
即BC边上的高的长为3．
35．解：（1）在Rt△ABC中，由勾股定理得，
AB=AC2+BC2=202+152=25，
∵CD⊥AB，
∴S△ABC=12AB⋅CD=12AC⋅BC，
∴CD=AC⋅BCAB=20×1525=12；
（2）在Rt△BDC中，由勾股定理得，
BD=BC2-CD2=152-122=9，
AD＝25﹣9＝16．
36．解：结论都是：S1＝S2+S3．
理由：∵∠ACB＝90°，
∴AB2＝BC2+AC2，
如图①中，∵S1=34AB2，S2=34AC2，S3=34BC2，
∴S1＝S2+S3．
如图2中，∵S1=14AB2，S2=14AC2，S3=14BC2，
∴S1＝S2+S3．
如图3中，∵S1=12AB2，S2=12AC2，S3=12BC2，
∴S1＝S2+S3．
37．证明：连接BD，过点B作DE的垂线BF交DE的延长线于点F，则BF＝b﹣a．

∵S五边形ACBED＝S△ACB+S△ABE+S△ADE=12ab+12b2+12ab，
又S五边形ACBED＝S△ACB+S△ABD+S△BDE=12ab+12c2+12a（b﹣a），
∴12ab+12b2+12ab=12ab+12c2+12a（b﹣a），
∴a2+b2＝c2．
38．解：如图，连接AC．
在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，
∴AC=62+82=10．
∵CD＝24，AD＝26，AC＝10，
∴AC2+CD2＝AD2，
∴△ACD是直角三角形，
∴S阴影＝S△ACD﹣S△ABC=12×10×24-12×6×8＝120﹣24＝96．
故阴影部分的面积是96．

39．解：△ABD为直角三角形．理由如下：
∵在△ABC中，∠C＝90°，
∴AB2＝CB2+AC2＝42+32＝52，
∴在△ABD中，AB2+AD2＝52+122＝132，
∴AB2+AD2＝BD2，
∴△ABD为直角三角形．
40．解：（1）∵CD⊥AB，
∴∠CDB＝∠CDA＝90°，
在Rt△BCD中，由勾股定理得：CD=BC2-BD2=152-92=12，
在Rt△BCD中，由勾股定理得AD=AC2-CD2=202-122=16，
（2）△ABC是直角三角形，
理由：由（1）知：AD＝16，
∴AB＝AD+DB＝16+9＝25，
在△ABC中，
∵AC2+BC2＝202+152＝625，AB2＝252＝625，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形．
41．解：（1）△ADE是等边三角形，
理由：∵AB＝AC，∠B＝50°，
∴∠C＝∠B＝50°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝80°，
∴∠DAE＝∠BAC﹣∠BAD＝80°﹣α＝80°﹣20°＝60°，
∵β＝10°，
∴∠DAE＝∠C+β＝60°，
∴△ADE是等腰三角形；
（2）若AD＝AE时，则α＝2β，
证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠ADC＝∠B+∠BAD，
∴∠ADE+∠CDE＝∠B+∠BAD，
∴∠ADE+β＝∠B+α，
∴∠ADE＝∠B+α﹣β，
∵∠AED＝∠C+∠CDE＝∠B+β，
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED，
∴∠B+α﹣β＝∠B+β，
∴α＝2β．
42．解：（1）由图可得：大正方形的面积为：c2，
中间小正方形面积为：（b﹣a）2，
四个直角三角形面积和为：4×12ab，
由图形关系可知：大正方形面积＝小正方形面积+四直角三角形面积，
则有：c2＝（b﹣a）2+4×12ab＝b2﹣2ab+a2+2ab＝a2+b2，
即：c2＝a2+b2．
（2）如图示：

大正方形边长为（x+y）
所以面积为：（x+y）2，
因为它的面积也等于两个边长分别为x，y和两个长为x宽为y的矩形面积之和，即x2+2xy+y2，
所以有：（x+y）2＝x2+2xy+y2成立．
43．解：（1）∵HE＝b﹣a＝4，
∴S正方形EFGH＝HE2＝16，
∵AD＝c＝20，
∴S正方形ABCD＝AD2＝400，
∴四个直角三角形的面积和＝S正方形ABCD﹣S正方形EFGH＝400﹣16＝384，
故答案为：16；384；

（2）由（1）可知四个直角三角形的面积和为384，
∴4×12ab＝384，解得2ab＝384，
∵a2+b2＝c2＝400，
∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝400+384＝784．
∴a+b＝28（负值舍去）．
44．证明：连接BE，

∵AE=12+32=10，AB=12+32=10，BE=22+42=20，
∴AE2+AB2＝BE2，
∴∠BAE＝90°，
∴AB⊥AE．
45．证明：∵BC＝13cm，CD＝12cm，BD＝5cm，
∴BC2＝169，BD2+CD2＝169，
即BC2＝BD2+CD2，
∴△BDC为直角三角形．
46．解：（1）△BDC是直角三角形，
理由是：∵BC＝85cm，BD＝16cm，CD＝8cm，
∴BD2+CD2＝BC2，
∴∠D＝90°，
即△BDC是直角三角形；
（2）设AB＝AC＝xcm，
在Rt△ADC中，由勾股定理得：AD2+DC2＝AC2，
即（16﹣x）2+82＝x2，
解得：x＝10，
∴AB＝AC＝10（cm），
∵BC＝85cm，
∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝10+10+85=（20+85）（cm）．
故△ABC的周长是（20+85）cm．
47．（1）证明：∵BC＝13cm，CD＝12cm，BD＝5cm，
∴BC2＝132＝169，BD2+CD2＝52+122＝25+144＝169，即BC2＝BD2+CD2，
∴△BDC为直角三角形；
（2）解：设AB＝xcm，
∵△ABC是等腰三角形，
∴AB＝AC＝xcm．
∵△BDC为直角三角形，
∴△ADC为直角三角形，
∴AD2+CD2＝AC2，即x2＝（x﹣5）2+122，
解得：x=16910，
故AB的长为16910cm．
48．（1）解：∠D是直角．
理由：连接AC，

∵∠B＝90°，
∴AC2＝BA2+BC2＝400+225＝625，
∵DA2+CD2＝242+72＝625，
∴AC2＝DA2+DC2，
∴△ADC是直角三角形，即∠D是直角；
（2）解：∵S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC，
∴S四边形ABCD=12AB•BC+12AD•CD，
=12×20×15+12×24×7，
＝234．
49．解：△ABC是直角三角形，理由如下：
由勾股定理可得：AC2＝12+82＝65，BC2＝42+62＝52，AB2＝32+22＝13，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形．
50．解：连接AC，

∵CD⊥AD，
∴∠ADC＝90°，
∴AD2+CD2＝AC2，
∵AD2+CD2＝2AB2，
∴AC2＝2AB2，
∵AB＝BC，
∴AC2＝AB2+BC2，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠ABC＝90°．
51．解：（1）∵AD⊥BC，BD＝DE，EF垂直平分AC，
∴AB＝AE＝EC，
∴∠C＝∠CAE，
∵∠BAE＝40°，
∴∠AED=12（180°﹣40°）＝70°，
∴∠C=12∠AED＝35°；
（2）∵AD⊥BC，BD＝DE，EF垂直平分AC，
∴AB＝AE＝EC，
∴DC＝DE+EC＝BD+AB＝5cm，
∴△ABC周长＝AB+BD+DC+AC＝16cm．