高中数学高考第1讲　任意角和弧度制及任意角的三角函数 试卷


第1讲　任意角和弧度制及任意角的三角函数
最新考纲
考向预测
1.了解任意角的概念和弧度制.
2.能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性.
3.借助单位圆理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.
命题趋势
本部分内容高考较少直接考查，而是与三角函数的恒等变换、三角函数的图象与性质结合考查，难度较小.
核心素养
数学建模、数学抽象


1．任意角的概念
(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．
(2)角的分类
按旋转
方向
正角
按逆时针方向旋转而成的角
负角
按顺时针方向旋转而成的角
零角
射线没有旋转
按终边
位置
前提：角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合
象限
角
角的终边在第几象限，这个角就是第几象限角
其他
角的终边落在坐标轴上
(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．
2．弧度制
(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.
(2)公式
角α的弧度数公式
|α|＝
角度与弧度的换算
1°＝rad，1 rad＝°≈57°18′
弧长公式
l＝α·r
扇形面积公式
S＝l·r＝α·r2
3.任意角的三角函数

三角函数
正弦
余弦
正切
定义
设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么
y叫做α的正弦，记作sin α
x叫做α的余弦，记作cos α
叫做α的正切，记作tan α
各象限符号
Ⅰ
正
正
正
Ⅱ
正
负
负
Ⅲ
负
负
正
Ⅳ
负
正
负
口诀
一全正，二正弦，三正切，四余弦
4.三角函数线
用单位圆中的有向线段表示三角函数．如图：

sin α＝MP，cos α＝OM，tan α＝AT．
常用结论
1．象限角

2．轴线角

3．三角函数定义的推广
设点P(x，y)是角α终边上任意一点且不与原点重合，r＝|OP|，则sin α＝，cos α＝，tan α＝.
常见误区
1．相等的角终边一定相同，但终边相同的角却不一定相等．
2．在同一个式子中，不能同时出现角度制与弧度制．
3．已知三角函数值的符号求角的终边位置时，不要遗忘终边在坐标轴上的情况．
4．利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．

1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角．(　　)
(2)角α的三角函数值与其终边上点P的位置无关．(　　)
(3)不相等的角终边一定不相同．(　　)
(4)终边相同的角的同一三角函数值相等．(　　)
(5)若α∈，则tan α＞sin α.(　　)
(6)若α为第一象限角，则sin α＋cos α＞1.(　　)
答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√　(5)√　(6)√
2．(多选)下列与角的终边相同的角是(　　)
A. B．2kπ－(k∈Z)
C．2kπ＋(k∈Z) D．(2k＋1)π＋(k∈Z)
解析：选AC.与角的终边相同的角为2kπ＋(k∈Z)，k＝2时，4π＋＝π.
3．若sin α＜0，且tan α＞0，则α是(　　)
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
解析：选C.由sin α＜0知α的终边在第三、第四象限或y轴的非正半轴上；由tan α＞0知α的终边在第一或第三象限，故α是第三象限角．故选C.
4．一条弦长等于半径，则此弦所对圆心角的弧度数为________rad.
解析：因为弦长等于半径，所以弦和与弦两端点相交的两条半径构成等边三角形，所以弦所对的圆心角为60°，即为 rad.
答案：
5．已知角α的终边过点P(－4，3)，则2sin α＋tan α的值为________．
解析：因为角α的终边经过点P(－4，3)，
所以r＝|OP|＝5.
所以sin α＝，cos α＝－，tan α＝－.
所以2sin α＋tan α＝2×＋＝.
答案：


　　　　　　象限角及终边相同的角
[题组练透]
1．把－π表示成θ＋2kπ(k∈Z)的形式，使|θ|最小的θ值是(　　)
A．－ B．－ C. D.
解析：选A.因为－＝－2π－，所以－与－是终边相同的角，且此时＝是最小的．
2．集合中的角所表示的范围(阴影部分)是(　　)

解析：选C.当k＝2n(n∈Z)时，2nπ＋≤α≤2nπ＋，此时α表示的范围与≤α≤表示的范围一样；当k＝2n＋1(n∈Z)时，2nπ＋π＋≤α≤2nπ＋π＋，此时α表示的范围与π＋≤α≤π＋表示的范围一样，故选C.
3．(多选)已知角2α的终边在x轴的上方，那么角α可能是(　　)
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
解析：选AC.因为角2α的终边在x轴的上方，所以k·360°