高中数学高考第1部分 板块2 核心考点突破拿高分 专题5 第3讲 圆锥曲线中的最值、范围、证明问题(大题)(1)

这是一份高中数学高考第1部分 板块2 核心考点突破拿高分 专题5 第3讲 圆锥曲线中的最值、范围、证明问题(大题)(1)，共16页。试卷主要包含了,))，已知抛物线C，设椭圆E等内容，欢迎下载使用。
第3讲　圆锥曲线中的最值、范围、证明问题(大题)

热点一　最值问题
求圆锥曲线中三角形面积的最值的关键
(1)公式意识，把求三角形的面积转化为求距离、求角等；
(2)方程思想，即引入参数，寻找关于参数的方程；
(3)不等式意识，寻找关于参数的不等式，利用基本不等式等求最值.
例1　(2019·邯郸模拟)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为E上的一个动点，且|PF2|的最大值为2＋，E的离心率与椭圆Ω：＋＝1的离心率相等.
(1)求E的方程；
(2)直线l与E交于M，N两点(M，N在x轴的同侧)，当F1M∥F2N时，求四边形F1F2NM面积的最大值.
解　(1)依题意可知
解得
则b2＝a2－c2＝1，故E的方程为＋y2＝1.
(2)延长MF1交E于点M′，
由(1)可知F1(－，0)，F2(，0)，
设M(x1，y1)，M′(x2，y2)，
设MF1的方程为x＝my－，
由得(m2＋4)y2－2my－1＝0，
故
设F1M与F2N的距离为d，
四边形F1F2NM的面积为S，
则S＝(|F1M|＋|F2N|)d＝(|F1M′|＋|F1M|)d
＝|MM′|d＝，
而＝|F1F2||y1－y2|
＝
＝＝≤＝2，
当且仅当＝，
即m＝±时，等号成立，
故四边形F1F2NM面积的最大值为2.
跟踪演练1　(2019·焦作模拟)已知椭圆C：＋y2＝1，点A，B(1,2).
(1)若直线l1与椭圆C交于M，N两点，且A为线段MN的中点，求直线MN的斜率；
(2)若直线l2：y＝2x＋t(t≠0)与椭圆C交于P，Q两点，求△BPQ的面积的最大值.
解　(1)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
故＋y＝1，＋y＝1.
将两式相减，可得＋y－＝0，
即＋(y1＋y2)(y1－y2)＝0，
因为A为线段MN的中点，
所以x1＋x2＝2，y1＋y2＝1.
得(x1－x2)＋(y1－y2)＝0，
即＝－1，故直线MN的斜率kMN＝－1.
(2)联立
可得9x2＋8tx＋(2t2－2)＝0，
由Δ>0可得64t2－36(2t2－2)>0，
解得0b>0)的右焦点F(1,0)，A，B，C是椭圆上任意三点，A，B关于原点对称且满足kAC·kBC＝－.
(1)求椭圆E的方程；
(2)若斜率为k的直线与圆：x2＋y2＝1相切，与椭圆E相交于不同的两点P，Q，求|PQ|≥时，k的取值范围.
解　(1)由题可设A(xA，yA)，B(－xA，－yA)，C(xC，yC)，
所以
两式相减得＋
＝0，
⇒·＝－.
即kAC·kBC＝·
＝－＝－，
所以a2＝2b2，
又c＝1，a2＝b2＋c2，所以a2＝2，b2＝1，
所以椭圆E的标准方程为＋y2＝1.
(2)设直线方程为y＝kx＋m，
交椭圆于点P(x1，y1)，Q(x2，y2).
联立方程
得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0，
Δ＝8(2k2＋1－m2)>0，得2k2＋1>m2，
x1＋x2＝－，x1x2＝.
所以|PQ|＝
＝
＝
＝
＝，
因为直线y＝kx＋m与圆x2＋y2＝1相切，
所以d＝＝1⇒＝|m|，
即m2＝1＋k2，代入2k2＋1>m2，得k≠0.
所以|PQ|＝
＝＝2，
因为|PQ|≥，
所以2≥，
化简得k4＋k2－6≥0，
即(k2＋3)(k2－2)≥0，
解得k2≥2或k2≤－3(舍).
所以k≥或k≤－，
故k的取值范围为(－∞，－]∪[，＋∞).
跟踪演练2　(2019·合肥质检)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)上一点M(m,9)到其焦点F的距离为10.
(1)求抛物线C的方程；
(2)设过焦点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，且抛物线在A，B两点处的切线分别交x轴于P，Q两点，求|AP|·|BQ|的取值范围.
解　(1)已知M(m,9)到焦点F的距离为10，则点M到准线的距离为10.
∵抛物线的准线为y＝－，∴9＋＝10，
解得p＝2，∴抛物线的方程为x2＝4y.
(2)由已知可判断直线l的斜率存在，设斜率为k，
因为F(0,1)，则l：y＝kx＋1.
设A，B，由消去y，得
x2－4kx－4＝0，
∴x1＋x2＝4k，x1x2＝－4.
由于抛物线C也是函数y＝x2的图象，且y′＝x，
则PA：y－＝x1(x－x1).
令y＝0，解得x＝x1，
∴P，从而|AP|＝.
同理可得，|BQ|＝，
∴|AP|·|BQ|＝)
＝
＝2.
∵k2≥0，
∴|AP|·|BQ|的取值范围为[2，＋∞).
热点三　证明问题
圆锥曲线的证明问题，常表现为证明相等、定值、过定点、点在曲线上等，一般是以直线与圆锥曲线为载体，综合使用圆锥曲线的性质及位置关系进行论证.
例3　(2019·南开模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，以原点为圆心，以椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x－y＋＝0相切.

(1)求椭圆C的方程；
(2)过椭圆的右焦点F的直线l1与椭圆交于A，B，过F与l1垂直的直线l2与椭圆交于C，D，与l3：x＝4交于P，求证：直线PA，PF，PB的斜率kPA，kPF，kPB成等差数列.
(1)解　由题意知e＝＝，
所以＝，
即a2＝b2
又因为以原点为圆心，以椭圆的短半轴长为半径的圆x2＋y2＝b2与直线x－y＋＝0相切，
所以圆心到直线的距离d＝＝b＝，
所以a2＝4，b2＝3，
故椭圆C的方程为＋＝1.
(2)证明　由题意，知当直线l1的斜率存在且不为0时，
设直线l1的方程为y＝k(x－1).
由
得(4k2＋3)x2－8k2x＋4k2－12＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
利用根与系数的关系，得
x1＋x2＝，x1x2＝，
由题意知直线l2的斜率为－，
则直线l2的方程为y＝－(x－1)，
令x＝4，得P点的坐标为，
kPA＋kPB＝＋
＝＋＋
＝k×＋×
＝k×＋×
＝k×＋×
＝－＝2kPF，
即kPA＋kPB＝2kPF，
当直线l1的斜率不存在时，kPA＋kPB＝0，kPF＝0，满足题意，
所以kPA，kPF，kPB成等差数列.
跟踪演练3　(2019·深圳调研)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心在坐标原点O，其右焦点为F(1,0)，且点在椭圆C上.

(1)求椭圆C的方程；
(2)设椭圆的左、右顶点分别为A，B，M是椭圆上异于A，B的任意一点，直线MF交椭圆C于另一点N，直线MB交直线x＝4于Q点，求证：A，N，Q三点在同一条直线上.
(1)解　方法一　设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，
∵一个焦点坐标为F(1,0)，
∴另一个焦点坐标为(－1,0)，
∴由椭圆定义可知，
2a＝＋＝4，
∴a＝2，∴b2＝a2－c2＝3，
∴椭圆C的方程为＋＝1.
方法二　不妨设椭圆C的方程为＋＝1(m>n>0).
∵一个焦点坐标为F(1,0)，∴m－n＝1，①
又∵点P在椭圆C上，
∴＋＝1，②
联立方程①②，解得m＝4，n＝3，
∴椭圆C的方程为＋＝1.
(2)证明　设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
可设直线MN的方程为x＝my＋1，
由方程组消去x，
并整理，得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0，
∵Δ＝(6m)2＋36(3m2＋4)>0，
∴y1＋y2＝－，y1y2＝－，
∵直线BM的方程可表示为y＝(x－2)，
将此方程与直线x＝4联立，
可求得点Q的坐标为，
∴＝(x2＋2，y2)，＝
∵6y2－(x2＋2)·＝
＝
＝
＝＝0，
∴∥，
又向量和有公共点A，
故A，N，Q三点在同一条直线上.

真题体验
(2019·全国Ⅱ，理，21)已知点A(－2,0)，B(2,0)，动点M(x，y)满足直线AM与BM的斜率之积为－.记M的轨迹为曲线C.
(1)求C的方程，并说明C是什么曲线；
(2)过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连接QE并延长交C于点G.
①证明：△PQG是直角三角形；
②求△PQG面积的最大值.
(1)解　由题设得·＝－，化简得＋＝1(|x|≠2)，所以C为中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆，不含左右顶点.
(2)①证明　设直线PQ的斜率为k，则其方程为y＝kx(k>0).
由得x＝± .
记u＝，则P(u，uk)，Q(－u，－uk)，E(u,0).
于是直线QG的斜率为，方程为y＝(x－u).
由得(2＋k2)x2－2uk2x＋k2u2－8＝0.①
设G(xG，yG)，则－u和xG是方程①的解，
故xG＝，由此得yG＝.
从而直线PG的斜率为＝－，
因为kPQ·kPG＝－1.
所以PQ⊥PG，即△PQG是直角三角形.
②解　由①得|PQ|＝2u，|PG|＝，所以△PQG的面积S＝|PQ||PG|＝＝.
设t＝k＋，则由k>0得t≥2，当且仅当k＝1时取等号.
因为S＝在[2，＋∞)上单调递减，所以当t＝2，即k＝1时，S取得最大值，最大值为.
因此，△PQG面积的最大值为.
押题预测
已知椭圆W：＋＝1(a>b>0)的离心率为，点P(a，)，F1，F2分别是椭圆W的左、右焦点，△PF1F2为等腰三角形.
(1)求椭圆W的方程；
(2)过左焦点F1作直线l1交椭圆于A，B两点，其中A(0,1)，另一条过F1的直线l2交椭圆于C，D两点(不与A，B重合)，且D点不与点(0，－1)重合.过F1作x轴的垂线分别交直线AD，BC于E，G.
①求B点坐标；
②求证：|EF1|＝|F1G|.
解　(1)由已知e＝＝，a2＝b2＋c2，得b＝c，a＝c，
∵ △PF1F2为等腰三角形，
∴|F1F2|＝|F2P|，
则(2c)2＝(a－c)2＋()2，
代入a＝c，解得c＝1，
∴a2＝2，b2＝1，∴椭圆W的方程为＋y2＝1.
(2)①由题意可得直线l1的方程为y＝x＋1.
与椭圆方程联立，由可求B.
②当l2与x轴垂直时，D，C两点与E，G两点重合，
由椭圆的对称性，|EF1|＝|F1G|.
当l2不与x轴垂直时，
设C(x1，y1)，D(x2，y2)，l2的方程为y＝k(x＋1)(k≠1).
由消去y，
整理得(2k2＋1)x2＋4k2x＋2k2－2＝0，
则x1＋x2＝，x1x2＝.
由已知，x2≠0，
则直线AD的方程为y－1＝x，
令x＝－1，得点E的纵坐标yE＝.
把y2＝k(x2＋1)代入，得yE＝.
由已知，x1≠－，
则直线BC的方程为y＋＝，
令x＝－1，得点G 的纵坐标yG＝.
把y1＝k(x1＋1)代入，得yG＝.
yE＋yG＝＋
＝
＝，
把x1＋x2＝，
x1x2＝代入到2x1x2＋3(x1＋x2)＋4中，
2x1x2＋3(x1＋x2)＋4＝2×＋3×＋4
＝0.
即yE＋yG＝0，即|EF1|＝|F1G|.

A组　专题通关
1.(2019·吉林调研)已知A，B为椭圆E：＋＝1(a>b>0)的上、下顶点，|AB|＝2，且离心率为.
(1)求椭圆E的方程；
(2)若点P(x0，y0)(x0≠0)为直线y＝2上任意一点，PA，PB交椭圆于C，D两点，求四边形ACBD面积的最大值.
解　(1)依题意|AB|＝2b＝2，则b＝1，
又由解得a＝2，
故椭圆E的方程为＋y2＝1.
(2)设C(x1，y1)，D(x2，y2)，P(t,2)(不妨设t>0)，
则直线PA的方程为y＝x＋1，
代入椭圆方程化简得x2＋x＝0，
解得xA＝0，x1＝，
同理xB＝0，x2＝，
∴S四边形ACBD＝S△ACB＋S△ADB＝|AB|·|x2－x1|
＝＝＝，
令u＝t＋≥4，
当且仅当t＝2时，取等号，
则四边形ACBD面积为g(u)＝32×＝，
又g(u)在[4，＋∞)上单调递减，
∴(SABCD)max＝g(4)＝2.
2.已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的短轴长为2，离心率为.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若过点(－3,0)的直线l与椭圆C交于不同的两点M，N，O为坐标原点，求·的取值范围.
解　(1)因为椭圆C的短轴长为2，
所以2b＝2，所以b＝1，
又椭圆C的离心率为，
所以＝＝＝，解得a＝2，
所以椭圆C的标准方程为＋y2＝1.
(2)由题意直线l的斜率存在，可设其方程为
y＝k(x＋3)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，
将y＝k(x＋3)代入＋y2＝1，
消去y可得(1＋4k2)x2＋24k2x＋36k2－4＝0，
所以Δ＝(24k2)2－4×(1＋4k2)(36k2－4)>0，
即k21，
故
因为点A(x1，y1)关于x轴的对称点为D，
所以D(x1，－y1).
则直线BD的方程为y－y2＝(x－x2)，
得y－y2＝(x－x2)，
得y－y2＝(x－x2)，
即y－y2＝.
令y＝0，得0－y2＝，
得x＝－y2·＝
＝＝＝1.
所以直线BD恒过定点(1,0).
所以点F(1,0)在直线BD上，
所以不妨令＝t(t∈(0,1)).
因为＝＋，
所以＝＋t，
所以＝＋t(－)，
所以＝(1－t)＋t.
所以存在实数t∈(0,1)，
使得＝t＋(1－t)，命题得证.
B组　能力提高
4.(2019·泰安质检)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，且经过点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点P(－2,0)且不与x轴重合的直线l与椭圆C交于不同的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，过右焦点F的直线AF，BF分别交椭圆C于点M，N，设＝α，＝β，α，β∈R，求α＋β的取值范围.
解　(1)由题意可得解得a2＝2，b2＝1，
则椭圆方程为＋y2＝1.
(2)A(x1，y1)，B(x2，y2)，设M(x3，y3)，
则＝(1－x1，－y1)，＝(x3－1，y3)，
由＝α，可得－y1＝αy3，
则α＝－，
当AM与x轴不垂直时，直线AM的方程为
y＝(x－1)，即x＝，
代入曲线C的方程＋y2＝1，
整理可得(3－2x1)y2＋2y1(x1－1)y－y＝0，
∴y1y3＝－，
∴α＝－＝3－2x1，
当AM与x轴垂直时，A点横坐标为x1＝1，α＝1，显然α＝3－2x1也成立，
∴α＝3－2x1，同理可得β＝3－2x2，
由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，
设直线l的方程为y＝k(x＋2)，k≠0，
联立
消去y整理得(2k2＋1)x2＋8k2x＋8k2－2＝0，
由Δ＝(8k2)2－4(2k2＋1)(8k2－2)>0，
解得00)，其中长轴长是短轴长的倍，过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆截得的弦长为2.

(1)求椭圆E的方程；
(2)点P是椭圆E上动点，且横坐标大于2，点B，C在y轴上，(x－1)2＋y2＝1内切于△PBC，试判断点P的横坐标为何值时△PBC的面积S最小.
解　(1)由已知a＝b，＝，
解得a＝2，b＝，
故所求椭圆方程为＋＝1.
(2)设P(x0，y0)(2n，
则直线PB的方程为lPB：y－m＝x，
即(y0－m)x－x0y＋x0m＝0，
又圆心(1,0)到直线PB的距离为1，
即＝1，
化简得(x0－2)m2＋2y0m－x0＝0，
同理(x0－2)n2＋2y0n－x0＝0，
所以m，n是方程(x0－2)x2＋2y0x－x0＝0的两个根，
所以m＋n＝，mn＝，
则(m－n)2＝，
因为P(x0，y0)是椭圆上的点，
所以y＝6，
则(m－n)2＝，
所以S2＝··x
＝·x
＝·x，
令x0－2＝t(02(－1)，
可知当t∈(0,2(－1)]时，f′(t)