高中数学高考2022届新高考数学提分计划之函数与导数 新高考I专用（1）

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1.函数定义域和值域分别为M，N，则( )
A.B.C.D.
2.在同一直角坐标系中，函数，（，且）的图象可能是( )
A.B.
C.D.
3.已知函数在区间上既没有最大值也没有最小值，则实数k的取值范围是( )
A.B.
C.D.
4.某莲藕种植塘每年的固定成本是1万元，每年最大规模的种植量是8万斤，每种植一斤藕，成本增加0.5元.已知销售额函数是（x是莲藕种植量，单位：万斤；销售额的单位：万元，a是常数），若种植2万斤，利润是2.5万元，则要使利润最大，每年需种植莲藕( )
A.6万斤B.8万斤C.3万斤D.5万斤
5.已知函数满足对任意，，则函数在上的零点个数不可能为( )
A.5B.9C.21D.23
6.（多选）已知函数，若函数的图象在处切线的斜率为3e，则下列结论中正确的是( )
A.B.有极大值
C.有最大值D.有最小值0
7.（多选）若存在两个不相等的实数，，使，，均在函数的定义域内，且满足，则称函数具有性质.下列函数具有性质的是( )
A.B.
C.D.
8.曲线的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为________________.
9.已知函数若方程有三个不同的实根，则实数a的取值范围是_______________.
10.函数，.
（1）讨论在区间上极值点的个数；
（2）若，总有，求实数a的取值范围.
答案以及解析
1.答案：D
解析：由，得，则.
由，，得，则.所以，故选D.
2.答案：D
解析：对于函数，当时，有，得，即的图象恒过定点，排除选项A、C；函数与在各自定义域上单调性相反，排除选项B，故选D.
3.答案：C
解析：由于函数在区间上既没有最大值也没有最小值，因此函数在区间上是单调函数.函数的图象开口向上，且对称轴方程为，因此或，所以或.
4.答案：A
解析：设销售的利润为，则，即，当时，，解得，故，则，可得函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以当时，利润最大.
5.答案：D
解析：由对任意，，得π为函数的最小正周期的整数倍，故，，所以，，
当时，，函数在上有5个零点，
当时，，函数在上有9个零点，
当时，，函数在上有13个零点，
当时，，函数在上有17个零点，
当时，，函数在上有21个零点，
……
故当，时，函数在上有个零点，只有选项D不符合，故选D.
6.答案：ABD
解析：，则，解得，故A正确；，当且仅当时取等号，则有最小值0，故D正确；，当时，，单调递增，当时，时，单调递减，当时，，单调递增，则当时函数取得极大值，故B正确，但该函数没有最大值，故C错误.故选ABD.
7.答案：BD
解析：对于A，因为函数的定义域为，所以，由于，所以恒成立，故A不具有性质;对于B，函数的定义域为，取，则，所以，所以成立，故B具有性质;对于C，函数的定义域为，当时，，由于，所以，易知在上单调递增，所以恒成立，故C不具有性质;对于D，函数的定义域为，易知为奇函数，取，则，所以，所以成立，故D具有性质.
8.答案：
解析：设切点为，对求导得，则曲线的切线的斜率为，解得.所以，则切点为，切线方程为，即.
9.答案：
解析：在同一坐标系中，作出与的图象.
因为方程有三个不同的实根，
所以的图象与的图象有三个交点，
当直线过点时，，
由得，
令，
解得，
结合图象知，a的取值范围是.
10.答案：（1）由题意，得.
设，则方程的判别式，对称轴方程为，.
若在区间上恒成立，即.
当时，，当且仅当时取等号，
所以当时，在区间上恒成立，所以恒成立，则在区间上单调递增，无极值点.
当时，，由，
若，即时，方程在上有唯一实根，
此时函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，则函数有一个极值点.
当时，方程在区间上有唯一实数根，
此时函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，则函数有一个极值点.
若，且，
即时，
方程在有两个相异的根，，
此时函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增，有两个极值点.
综上，当时，在区间上无极值点；当时，在区间上有1个极值点；当时，在区间上有2个极值点.
（2）由，得.
因为，所以在区间上恒成立.
令，
则.
因为，所以当时，，单调递减；当时，，单调递增，
所以，所以，
故实数a的取值范围为.