高考数学二轮复习专题28 等差等比数列的证明问题(2份打包，教师版+原卷版)

专题28　等差等比数列的证明问题

【高考真题】

1．(2022·全国甲理文) 记Sn为数列{an}的前n项和．已知＋n＝2an＋1．

(1)证明：{an}是等差数列；

(2)若a4，a7，a9成等比数列，求Sn的最小值．

【方法总结】

1．等差数列的四个判定方法

(1)定义法：an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)⇔{an}是等差数列．

(2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}是等差数列．

(3)通项公式法：an＝pn＋q(p，q为常数，n∈N*)⇔{an}是等差数列．

(4)前n项和公式法：Sn＝An2＋Bn(A，B为常数，n∈N*)⇔{an}是等差数列．

提醒：(1)定义法和等差中项法主要适合在解答题中使用，通项公式法和前n项和公式法主要适合在选择题或填空题中使用．

(2)若要判定一个数列不是等差数列，则只需判定存在连续三项不成等差数列即可．

2．等比数列的四个判定方法

(1)定义法：＝q(q是不为0的常数，n∈N*)⇔{an}是等比数列．

(2)等比中项法：a＝an·an＋2(an·an＋1·an＋2≠0，n∈N*)⇔{an}是等比数列．

(3)通项公式法：an＝cqn(c，q均是不为0的常数，n∈N*)⇔{an}是等比数列．

(4)前n项和公式法：Sn＝k·qn－k(k为常数且k≠0，q≠0，1)，则{an}是等比数列．

提醒：(1)定义法和等比中项法主要适合在解答题中使用，通项公式法和前n项和公式法主要适合在选择题或填空题中使用．

(2)若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可．

【题型突破】

1．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3＝7，a5＋a7＝26．

(1)求an及Sn；

(2)令bn＝(n∈N*)，求证：数列{bn}为等差数列．

2．已知数列{an}中，a1＝，an＝2－(n≥2，n∈N*)，数列{bn}满足bn＝(n∈N*)．

(1)求证：数列{bn}是等差数列；

(2)求数列{an}中的最大项和最小项，并说明理由．

3．在数列{an}中，a1＝4，nan＋1－(n＋1)an＝2n2＋2n．

(1)求证：数列是等差数列；

(2)求数列的前n项和Sn．

4．数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝(n＋1)an＋n(n＋1)，n∈N*．

(1)求证：数列是等差数列；

(2)设bn＝3n·，求数列{bn}的前n项和Sn．

5．若数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋2SnSn－1＝0(n≥2)，a1＝．

(1)求证：成等差数列；

(2)求数列{an}的通项公式．

6．已知数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn＝3an－3n＋1＋3(n∈N*)．

(1)设bn＝，求证：数列{bn}为等差数列，并求出数列{an}的通项公式；

(2)设cn＝－，Tn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn，求Tn．

7．(2021·全国乙)设Sn为数列{an}的前n项和，bn为数列{Sn}的前n项积，已知＋＝2．

(1)证明：数列{bn}是等差数列；

(2)求{an}的通项公式．

8．(2014·全国Ⅰ)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an≠0，anan＋1＝λSn－1，其中λ为常数．

(1)证明：an＋2－an＝λ；

(2)是否存在λ，使得{an}为等差数列？并说明理由．

9．设数列{an}的前n项和为Sn，且满足an－Sn－1＝0(n∈N*)．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)是否存在实数λ，使得数列{Sn＋(n＋2n)λ}为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．

10．若数列{bn}对于任意的n∈N*，都有bn＋2－bn＝d(常数)，则称数列{bn}是公差为d的准等差数列．如数

列cn，若cn＝则数列{cn}是公差为8的准等差数列．设数列{an}满足a1＝a，对于n∈N*，都有an＋an＋1＝2n．

(1)求证：{an}是准等差数列；

(2)求{an}的通项公式及前20项和S20．

11．已知数列{an}的首项a1>0，an＋1＝(n∈N*)，且a1＝．

(1)求证：是等比数列，并求出{an}的通项公式；

(2)求数列的前n项和Tn．

12．已知数列{an}的前n项和为Sn，n∈N*，a1＝1，a2＝，a3＝，且当n≥2时，4Sn＋2＋5Sn＝8Sn＋1＋Sn－

1．

(1)求a4的值；

(2)证明：为等比数列．

13．已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝2an＋(－1)n(n∈N*)．

(1)求数列{an}的前三项a1，a2，a3；

(2)求证：数列为等比数列，并求出{an}的通项公式．

14．已知在正项数列{an}中，a1＝2，点An(，)在双曲线y2－x2＝1上，数列{bn}中，点(bn，Tn)在

直线y＝－x＋1上，其中Tn是数列{bn}的前n项和．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)求证：数列{bn}是等比数列．

15．已知数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝(n∈N*)，设bn＝a2n－1．

(1)求b2，b3，并证明bn＋1＝2bn＋2；

(2)①证明：数列{bn＋2}为等比数列；

②若a2k，a2k＋1,9＋a2k＋2成等比数列，求正整数k的值．

16．(2019·全国Ⅱ)已知数列{an}和{bn}满足a1＝1，b1＝0，4an＋1＝3an－bn＋4，4bn＋1＝3bn－an－4．

(1)证明：{an＋bn}是等比数列，{an－bn}是等差数列；

(2)求{an}和{bn}的通项公式．

17．(2018·全国Ⅰ)已知数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝2(n＋1)an，设bn＝．

(1)求b1，b2，b3；

(2)判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由；

(3)求{an}的通项公式．

18．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an>0，S＝a－λSn＋1，其中λ为常数．

(1)证明：Sn＋1＝2Sn＋λ；

(2)是否存在实数λ，使得数列{an}为等比数列，若存在，求出λ；若不存在，说明理由．

19．设等差数列{an}的前n项和为Sn，a＝(a1，1)，b＝(1，a10)，若a·b＝24，且S11＝143，数列{bn}的前n

项和为Tn，且满足＝λTn－(a1－1)(n∈N*)．

(1)求数列{an}的通项公式及数列的前n项和Mn；

(2)是否存在非零实数λ，使得数列{bn}为等比数列？并说明理由．

20．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋λ(λ为常数)．

(1)试探究数列{an＋λ}是不是等比数列，并求an；

(2)当λ＝1时，求数列{n(an＋λ)}的前n项和Tn．