高考数学二轮复习专题14 立体几何中的计算问题(2份打包，教师版+原卷版)

专题14　立体几何中的计算问题

【高考真题】

1．(2022·新高考Ⅰ)已知正方体，则(　　)

A．直线与所成的角为　　　　　　　　　B．直线与所成的角为

C．直线与平面所成的角为　　　　　D．直线与平面ABCD所成的角为

2．(2022·全国甲理)在长方体中，已知与平面和平面所成的角均为，

则(　　)

A．　　　　　　　　　 　　　B．AB与平面所成的角为

C．　　　　　　　　　　　　　D．与平面所成的角为

3．(2022·浙江) 如图，已知正三棱柱，E，F分别是棱上的点．记与

所成的角为，与平面所成的角为，二面角的平面角为，则(　　)

A．　　　　　B．　　　　　C．　　　　　D．

4．(2022·新高考Ⅱ) 已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，

则该球的表面积为(　　)

A．　　　　　　B．　　　　　　C．　　　　　　D．

5．(2022·北京) 已知正三棱锥的六条棱长均为6，S是及其内部的点构成的集合．设集合

，则T表示的区域的面积为(　　)

A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．

6．(2022·全国甲理)甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，

体积分别为和．若，则(　　)

A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．

7．(2022·新高考Ⅱ)如图，四边形为正方形，平面，，记三棱锥

，，的体积分别为，则(　　)

A．　　　　　B．　　　　　C．　　　　　D．

8．(2022·全国乙理) 已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当

该四棱锥的体积最大时，其高为(　　)

A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．

9．(2022·新高考Ⅰ) 已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为36π，且3≤l

≤3，则该正四棱锥体积的取值范围是(　　)

A．[18，]　　　　　B．[，]　　　　　C．[，]　　　　　D．[18，27]

10．(2022·新高考Ⅰ) 南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该

水库水位为海拔时，相应水面的面积为；水位为海拔时，相应水面的面积为，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔上升到时，增加的水量约为（）(　　)

A．　　　　B．　　　　C．　　　　D．

【方法总结】

1．求异面直线所成的角的方法

求异面直线所成的角常用方法是平移法，通过作三角形的中位线，平行四边形等进行平移，作出异面直线所成的角，转化为解三角形问题，进而求解．解三角形，求出作出的角．如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角．

2．求直线与平面所成角的方法

求直线与平面所成角的关键是寻找过直线上一点与平面垂直的垂线、垂足与斜足的连线即为直线在平面内的射影，直线与直线在平面内射影所成的角即为线面角．然后转化为解三角形问题，进而求解．

3．求二面角的方法

求二面角是常见题型，根据所求两面是否有公共棱可分为两类：有棱二面角、无棱二面角，对于前者的二面角通常采用定义法或三垂线法等手段来定位出二面角的平面角，转化为解三角形问题，进而求解；而对于无棱二面角，一般通过延展平面找到棱使其转化为有棱二面角．或用面积射影定理(若多边形的面积为S，它在一个平面内的射影图形的面积为S′，且多边形与该平面所成的二面角为θ，则cos θ＝．)去解决(如例3(5))．

4．求几何体的表面积的方法

(1)求表面积问题的思路是将立体几何问题转化为平面图形问题，即空间图形平面化，这是解决立体几何的主要出发点．

(2)求不规则几何体的表面积时，通常将所给几何体分割成柱、锥、台体，先求这些柱、锥、台体的表面积，再通过求和或作差求得所给几何体的表面积．

5．求空间几何体体积的常用方法

(1)公式法：直接根据相关的体积公式计算．

(2)等积法：根据体积计算公式，通过转换空间几何体的底面和高使得体积计算更容易，或是求出一些体积比等．

(3)割补法：把不能直接计算体积的空间几何体进行适当分割或补形，转化为易计算体积的几何体．

【题型突破】

题型一　空间角的计算

1．(2018·全国Ⅱ)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切

值为(　　)

A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．

2．如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2，则异面直线

A1B与AD1所成角的余弦值为(　　)

A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．

3．在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在鳖臑ABCD

中，AB⊥平面BCD，且AB＝BC＝CD，则异面直线AC与BD所成角的余弦值为(　　)

A．　　　　　　　　B．－　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．－

4．直三棱柱ABC—A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于(　　)

A．30°　　　　　　　　B．45°　　　　　　　　C．60°　　　　　　　　D．90°

5．如图所示，在四棱锥PABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，BC＝2AD，△PAB和△PAD都是等边三角

形，则异面直线CD与PB所成角的大小为________．

6．已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形．若P为底面A1B1C1

的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为________．

7．(2018·全国Ⅰ)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AC1与平面BB1C1C所成的角为30°，则该

长方体的体积为(　　)

A．8　　　　　　　　B．6　　　　　　　　C．8　　　　　　　　D．8

8．在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝1，点D在棱BB1上，且BD＝1，则AD与平面AA1C1C所成角的正

弦值为(　　)

A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．

9．如图，正四棱锥P－ABCD的体积为2，底面积为6，E为侧棱PC的中点，则直线BE与平面PAC所成

的角为(　　)

A．60°　　　　　　　　B．30°　　　　　　　　C．45°　　　　　　　　D．90°

10．如图，在三棱锥S－ABC中，若AC＝2，SA＝SB＝SC＝AB＝BC＝4，E为棱SC的中点，则直线

AC与BE所成角的余弦值为______，直线AC与平面SAB所成的角为_______．

11．已知二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB，

已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，CD＝2，则该二面角的大小为(　　)

A．150°　　　　　　　　B．45°　　　　　　　　C．120°　　　　　　　　D．60°

12．如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在平面，C是圆周上不同于A，B两点的任意一点，且AB

＝2，PA＝BC＝，则二面角A－BC－P的大小为________．

13．(多选)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列说法正确的是(　　)

A．A1C1⊥BD　　　　　　　　　　　　　　　　B．B1C与BD所成的角为60°

C．二面角A1－BC－D的平面角为45°　　　　　D．AC1与平面ABCD所成的角为45°

14．如图，矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，点E为AD的中点，将△ABE沿BE折起，在翻折过程中，记

点A对应的点为A′，二面角A′－DC－B的平面角的大小为α，则当α最大时，tanα＝(　　)

A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．

15．已知在矩形ABCD中，AD＝AB，沿直线BD将△ABD 折成△A′BD，使得点A′在平面BCD上的射

影在△BCD内(不含边界)，设二面角A′－BD－C的大小为θ，直线A′D，A′C与平面BCD所成的角分别为α，β，则(　　)

A．α<θ<β　　　　　　　B．β<θ<α　　　　　　　C．β<α<θ　　　　　　　D．α<β<θ

题型二　几何体的面积与体积的计算

16．(2018·全国Ⅰ)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面

是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为(　　)

A．12π　　　　　　　　B．12π　　　　　　　　C．8π　　　　　　　　D．10π

17．(2018·全国Ⅱ)已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为，SA与圆锥底面所成角为45°，

若△SAB的面积为5，则该圆锥的侧面积为________．

18．九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中提到了一种名为“刍甍”的五面体，如图所示，

四边形ABCD为矩形，棱EF∥AB.若此几何体中，AB＝4，EF＝2，△ADE和△BCF都是边长为2的等边三角形，则该几何体的表面积为(　　)

A．8　　　　　B．8＋8　　　　　C．6＋2　　　　　D．8＋6＋2

19．如图所示，在直角梯形ABCD中，AD⊥DC，AD∥BC，BC＝2CD＝2AD＝2，若将该直角梯形绕BC

边旋转一周，则所得的几何体的表面积为______．

20．若圆锥的侧面展开图是半径为l的半圆，则这个圆锥的表面积与侧面积的比值是(　　)

A．　　　　　　　　B．2　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．

21．把一个半径为20的半圆卷成圆锥的侧面，则这个圆锥的高为(　　)

A．10　　　　　　　　B．10　　　　　　　　C．10　　　　　　　　D．5

22．在如图所示的斜截圆柱中，已知圆柱底面的直径为40 cm，母线长最短50 cm，最长80 cm，则斜截圆

柱的侧面面积S＝________ cm2．

23．(2020·全国Ⅰ)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的

高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为(　　)

A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．

24．已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱垂直于底面，且底面边长与侧棱长都等于3．蚂蚁从A点沿侧面经过

棱BB1上的点N和CC1上的点M爬到点A1，如图所示，则蚂蚁爬过的路程最短为________．

25．已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为，SA与圆锥底面所成角为45°．若△SAB的面

积为5，则该圆锥的侧面积为________．

26．(2020·江苏)如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形

边长为2 cm，高为2 cm，内孔半径为0．5 cm，则此六角螺帽毛坯的体积是________cm3．

27．(2018·全国Ⅰ)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AC1与平面BB1C1C所成的角为30°，则该

长方体的体积为(　　)

A．8　　　　　　　　B．6　　　　　　　　C．8　　　　　　　　D．8

28．(2018·江苏)如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________．

29．(2018·天津)如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，则四棱锥A1－BB1D1D的体积为________．

30．在梯形ABCD中，∠ABC＝，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2．将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一

周而形成的曲面所围成的几何体的体积为(　　)

A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．2π

31．如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M为CD的中点，则三棱锥A－BC1M的体积VA－BC1M

＝(　　)

A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．

32．已知正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC的中点，则三棱锥A－B1DC1

的体积为(　　)

A．3　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．1　　　　　　　　D．

33．如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AB＝AA1＝3，点P在棱CC1上，则三棱锥P－ABA1的体积

为_______．

34．在棱长为3的正方体ABCD－A1B1C1D1中，P在线段BD1上，且＝，M为线段B1C1上的动点，

则三棱锥M－PBC的体积为(　　)

A．1　　　　　　　B．　　　　　　　C．　　　　　　　D．与M点的位置有关

35．如图所示，已知三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则三棱锥B1－ABC1的

体积为(　　)

A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．

36．如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长均为2，点D在棱AA1上，则三棱锥D－BB1C1的体积为

________．

37．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，动点E在BB1上，动点F在A1C1上，O为底面ABCD的

中心，若BE＝x，A1F＝y，则三棱锥O－AEF的体积(　　)

A．与x，y都有关　　B．与x，y都无关　　C．与x有关，与y无关　　D．与y有关，与x无关

38．如图，∠ACB＝90°，DA⊥平面ABC，AE⊥DB交DB于E，AF⊥DC交DC于F，且AD＝AB＝2，则

三棱锥D－AEF体积的最大值为________．

39．在三棱锥P－ABC中，平面PBC⊥平面ABC，∠ACB＝90°，BC＝PC＝2，若AC＝PB，则三棱锥P

－ABC体积的最大值为(　　)

A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．

40．如图，在△ABC中，AB＝BC＝2，∠ABC＝120°．若平面ABC外的点P和线段AC上的点D，满足PD

＝DA，PB＝BA，则四面体P—BCD的体积的最大值是________．

41．如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D为棱AA1的中点．若AA1＝4，AB＝2，则四棱锥B－ACC1D的

体积为________．

42．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，除面ABCD外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，

G，H，M(如图)，则四棱锥M－EFGH的体积为________．

43．已知E，F分别是棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1的棱AA1，CC1的中点，则四棱锥C1—B1EDF

的体积为________．

44．如图，在Rt△ABC中，AB＝BC＝1，D和E分别是边BC和AC上异于端点的点，DE⊥BC，将△CDE

沿DE折起，使点C到点P的位置，得到四棱锥P－ABDE，则四棱锥P－ABDE的体积的最大值为________．

45．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，Q为AD的中点．若平面PAD⊥平

面ABCD，PA＝PD＝AD＝2，点M在线段PC上，且PM＝2MC，则四棱锥P－ABCD与三棱锥P－QBM的体积之比是________．