高考数学二轮复习专题06 比较大小问题(2份打包，教师版+原卷版)

专题06　比较大小问题
【高考真题】
1．(2022·全国甲理) 已知，则(　　)
A．　　　　　　B．　　　　　　C．　　　　　　D．
1．答案　A　解析　因为，因为当，所以，即，所以
；设，，所以在单调递增，则，所以，所以，所以，故选A．
2．(2022·全国甲文)已知，则(　　)
A．　　　　　B．　　　　　C．　　　　　D．
2．答案　A　解析　由可得，而
，所以，即，所以．又，所以，即，所以．综上，．故选A．
3．(2022·新高考Ⅰ)设，则(　　)
A．　　　　　B．　　　　　C．　　　　　D．
3．答案　C　解析　设，因为，当时，
，当时，所以函数在单调递减，在上单调递增，所以，所以，故，即，所以，所以，故，所以，故，设，则，令，，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，又，所以当时，，所以当时，，函数单调递增，所以，即，所以，故选C．
【同类问题】
1．已知a＝，b＝，c＝，则a、b、c的大小关系为(　　)
A．b＜c＜a　　　　　B．c＜a＜b　　　　　C．a＜c＜b　　　　　D．c＜b＜a
1．答案　C　解析　设f(x)＝，则f′(x)＝，当0＜x＜e时，f′(x)＞0；当x＞e时，f′(x)＜0，则f(x)
在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，则当x＝e时，f(x)max＝＝，即b＞a，b＞c；a－c＝－＝＝＜0．
2．下列不等式成立的是(　　)
A．2ln eln π
2．答案　AD　解析　设f(x)＝(x>0)，则f′(x)＝，所以当00，函数f(x)单调递增；
当x>e时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减．因为<2ln ，故选项B不正确；因为e<4<5，所以f(4)>f(5)，即5ln 4>4ln 5，故选项C不正确；因为e<π，所以f(e)>f(π)，即π>eln π，故选项D正确．
3．已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足xf′(x) b，c的大小关系为(　　)
A．a>b>c 　　　　　　B．c>a>b　　　　　　C．b>a>c　　　　　　D．a>c>b
3．答案　A　解析　设g(x)＝，则g′(x)＝<0，∴g(x)为减函数．∵3>ln 4>1，∴g(3) 即a>b>c．
4．已知a＝ln，b＝e－1，c＝，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．b>c>a 　　　　　　B．a>c>b　　　　　　C．a>b>c 　　　　　　D．b>a>c
4．答案　D　解析　依题意，得a＝ln＝，b＝e－1＝，c＝＝．令f(x)＝(x>0)，则f′(x)
＝，易知函数f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，所以f(x)max＝f(e)＝＝b，且f(3)>f(8)，即a>c，所以b>a>c．
5．已知a，b∈(0，3)，且4ln a＝aln 4，4ln b＝bln 2，c＝log0.30.06，则(　　)
A．c＜b＜a　　　　　B．a＜c＜b　　　　　C．b＜a＜c　　　　　D．b＜c＜a
5．答案　C　解析　由已知得＝＝，＝＝，可以构造函数f(x)＝，则f′(x)＝，
当x∈(0，e)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；当x∈(e，＋∞)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，又f(a)＝f(2)＝f(4)＞f(b)＝f(16)，结合a，b∈(0，3)，所以b＜a＝2，又c＝log0.30.06＝log0.3(0.2×0.3)＝log0.30.2＋1＞1＋log0.30.3＝2，所以b＜a＜c．
6．(多选)已知e是自然对数的底数，则下列不等关系中不正确的是(　　)
A．ln 2＞　　　　　　B．ln 3＜　　　　　　C．ln π＞　　　　　　D．＜
6．答案　ACD　解析　令g(x)＝，则g′(x)＝，当0＜x＜e时，g′(x)＞0，当x＞e时，g′(x)＜0，
所以g(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减.∵2＜e，∴g(2)＜g(e)，即＜＝，∴ln 2＜，故A错误．∵e＜3＜π，∴g(e)＞g(3)＞g(π)，即＝＞＞，∴ln 3＜，ln π＜，＞，故B正确，C、D错误．
7．(多选)若0 A．　　B．　　C．>ln x2－ln x1　　D． 7．答案　AD　　解析　构造函数f(x)＝(0 减，因为00，当x→0＋时，h′(x)→－∞，所以存在x0∈(0，1)，使h′(x0)＝0，所以h(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，1)上单调递增，所以无法判断C选项的正确性；构造函数g(x)＝ex＋ln x(0 8．若e－2b＋(a－1)2＝e－a＋(2b－1)2，则(　　)
A．a>2b　　　　　B．a＝2b　　　　　C．a<2b　　　　　D．a>b2
8．答案　B　解析　设f(x)＝(x－1)2－e－x，则f′(x)＝x－1＋e－x，设g(x)＝x－1＋e－x，则g′(x)＝1－e－x＝
，令g′(x)>0⇒x>0⇒f′(x)在(0，＋∞)上单调递增；令g′(x)<0⇒x<0⇒f′(x)在(－∞，0)上单调递减，所以f′(x)min＝f′(0)＝0，即f′(x)≥0恒成立，所以f(x)＝(x－1)2－e－x在(－∞，＋∞)上单调递增，e－2b＋(a－1)2＝e－a＋(2b－1)2化为(a－1)2－e－a＝(2b－1)2－e－2b，即f(a)＝f(2b)⇒a＝2b．
9．(多选)已知a，b∈(0，e)，且a A．aebbea　　　　　C．aln bbln a
9．答案　ABD　解析　设g(x)＝，则g′(x)＝，所以g(x)＝在(0，1)上单调递减，在(1，e)上
单调递增．所以当a，b∈(0，e)，a0，得0e，所以f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，因为a，b∈(0，e)，且abln a．所以选项C不正确，D正确．
10．已知a，b，c∈(0，1)，且a2－2ln a＋1＝e，b2－2ln b＋2＝e2，c2－2ln c＋3＝e3，其中e是自然对数
的底数，则a，b，c的大小关系是________．
10．答案　a>b>c　解析　设f(x)＝x2－2ln x，g(x)＝ex－x，则f(a)＝g(1)，f(b)＝g(2)，f(c)＝g(3)，又g′(x)
＝ex－1＞0(x＞0)，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以g(3)＞g(2)＞g(1)，即f(c)＞f(b)＞f(a)，因为f′(x)＝2x－＝＜0(x∈(0，1))，所以f(x)在(0，1)上单调递减，所以a＞b＞c．
11．已知a＝ln 2＋，b＝，c＝，则a，b，c之间的大小关系为(　　)
A．a＜b＜c　　　　　B．a＜c＜b　　　　　C．c＜a＜b 　　　　　D．b＜c＜a
11．答案　B　解析　设函数f(x)＝，则f′(x)＝，令f′(x)＞0得0＜x＜1，令f′(x)＜0得x＞
1，所以f(x)在(0，1)上为增函数，在(1，＋∞)上为减函数，所以f(4)＜f(π)＜f(e)，即＜＜，所以a＜c＜b．
12．已知a>1，b>1，且满足a2－3b＝2ln a－ln 4b，则(　　)
A．a2>2b 　　　　　　B．a2＜2b　　　　　　C．a2>b2 　　　　　　D．a2＜b2
12．答案　A　解析　由题，得a2－ln a2＝3b－ln 4b，且a>1，b>1，令f(x)＝x－ln x(x>0)，则f′(x)＝1－＝
，令f′(x)＞0得x＞1，令f′(x)＜0得0＜x＜1，∴f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．∵a>1，b>1，∴a2>1，2b>1，又∵f(a2)＝a2－ln a2＝3b－ln 4b，f(2b)＝2b－ln 2b，∴f(a2)－f(2b)＝(3b－ln 4b)－(2b－ln 2b)＝b－ln 2>0，即f(a2)>f(2b)，∴a2>2b．
13．(2020·全国Ⅰ)若2a＋log2a＝4b＋2log4b，则(　　)
A．a>2b　　　　　　B．a<2b　　　　　　C．a>b2　　　　　　D．a 13．答案　B　解析　由指数和对数的运算性质得2a＋log2a＝4b＋2log4b＝22b＋log2b．令f(x)＝2x＋log2x，
则f(x)在(0，＋∞)上单调递增．又∵22b＋log2b<22b＋log2b＋1＝22b＋log2(2b)，∴2a＋log2a<22b＋log2(2b)，即f(a) 14．(多选)若0 A．x1＋lnx2>x2＋lnx1　　　B．x1＋lnx2　　　D．<
14．答案　AC　解析　令f(x)＝x－lnx，∴f′(x)＝1－＝，当0 递减．∵0x2＋lnx1．设g(x)＝，则g′(x)＝＝．当0，故选AC．
15．已知函数f(x)＝－ax，x∈(0，＋∞)，当x2＞x1时，不等式－<0恒成立，则实数a的取值
范围是(　　)
A．(－∞，e]　　　　　　B．(－∞，e)　　　　　　C．(－∞，)　　　　　　D．(－∞，]
15．答案　D　解析　由－<0，得x1f(x1) 因为g(x)＝ex－ax2，所以g′(x)＝ex－2ax≥0，在(0，＋∞)上恒成立，即a≤，令h(x)＝，则h′(x)＝，令h′(x)＝0，则h(x)在(0，1)单调递减，在(1，＋∞)单调递增，所以h(x)min＝h(1)＝，选D．
16．(2021·全国乙)设a＝2ln1.01，b＝ln1.02，c＝－1，则(　　)
A．a 16．答案　B　解析　b－c＝ln1.02－＋1，设f(x)＝ln(x＋1)－＋1，则b－c＝f(0.02)，f′(x)＝
－＝，当x>0时，x＋1＝>，故当x>0时，f′(x)＝<0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以f(0.02)＝＝x＋1，故当00，所以g(x)在(0，2)上单调递增，所以g(0.01)>g(0)＝0，故c 17．设x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则(　　)
A．2x<3y<5z　　　　　B．5z<2x<3y　　　　　C．3y<5z<2x　　　　　D．3y<2x<5z
17．答案　D　解析　令2x＝3y＝5z＝t(t>1)，两边取对数得x＝log2t＝，y＝log3t＝，z＝log5t＝，
从而2x＝ln t，3y＝ln t，5z＝ln t．由t>1知，要比较三者大小，只需比较，，的大小．又＝，e<3<4<5，由y＝在(e，＋∞)上单调递减可知，>>，从而<<，3y<2x<5z，故选D．
18．已知a<5且ae5＝5ea，b<4且be4＝4eb，c<3且ce3＝3ec，则(　　)
A．c 18．答案　D　解析　方法一　由已知＝，＝，

＝，设f(x)＝，则f′(x)＝，所以f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以f(3) 方法二　设ex＝x，①，ex＝x，②，ex＝x，③，a，b，c依次为方程①②③的根，结合图象，方程的根可以看作两个图象的交点的横坐标，∵>>，由图可知a