河南省西峡县城区第二初级中学2022-2023学年九年级上学期期末考试数学试题（含详细答案）

这是一份河南省西峡县城区第二初级中学2022-2023学年九年级上学期期末考试数学试题（含详细答案），共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
河南省西峡县城区第二初级中学2022-2023学年九年级上学期期末考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．当1a2时，代数式+|a﹣1|的值是（　　）
A．1 B．﹣1 C．2a﹣3 D．3﹣2a
2．已知∠A为锐角，且sinA＝，那么∠A等于（　　）
A．15° B．30° C．45° D．60°
3．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A=，则∠BOC的大小为（   ）

A．40° B．30° C．80° D．100°
4．已知，如果它们的相似比为，那么它们的面积比是（    ）
A． B． C． D．
5．如图，线段相交于点A，．若，则的长为（    ）

A．3 B．4 C．5 D．6
6．如图，⊙C过原点，且与两坐标轴分别交于点A、点B，点A的坐标为（0，6），则⊙C的半径长为5，则C点坐标为 （    ）

A．（3，4） B．（4，3） C．（-4，3）
D．（-3，4）
7．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,那么一次函数y=ax+b的图象大致是（ ）．

A． B． C． D．
8．正方形ABCD内接于⊙O，若⊙O的半径是，则正方形的边长是(    )．

A．1 B．2 C． D．
9．如图，在△ABC中，中线BE，CD相交于点O，连接DE，下列结论：
①；②；③；④
其中正确的个数有 （）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图，一条抛物线与x轴相交于M，N两点（点M在点N的左侧），其顶点P在线段AB上移动，点A，B的坐标分别为（﹣2，﹣3），（1，﹣3），点N的横坐标的最大值为4，则点M的横坐标的最小值为（　　）

A．﹣1 B．﹣3 C．﹣5 D．﹣7

二、填空题
11．如果，则的值是______．
12．若点,是抛物线上的两个点,则此抛物线的对称轴是___．
13．如图，点A，B，C是⊙O上的点，OA=AB，则∠C的度数为___________．

14．在一个不透明的盒子中装有12个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同，若从中随机摸出一个球是白球的概率是，则黄球个数为__________．
15．如图，在△ABC中，∠BAC=45°，AB=4cm，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转45°后得到△A′BC′，则阴影部分的面积为 ___________．


三、解答题
16．先化简，再求值：，其中．
17．已知二次函数．
(1)将化成的形式；
(2)该二次函数图象的顶点坐标是______．
18．如图，在△ABC中，∠B为锐角，AB＝3，BC＝7，sinB＝，求AC的长．

19．如图，四边形ABCD是⊙O内接四边形，对角线AC和BD相交于点E，已知．
求证：AE=BE．

20．已知关于x的一元二次方程的两个实数根是m，4，其中．
(1)求b，c的值（用含m的代数式表示）；
(2)设抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点 B的左侧），如图所示，若点D的坐标为，求抛物线的关系式；

21．百货商店服装柜在销售中发现：某品牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为迎接“六一”国际儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，减少库存，经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天可多售出2件．
(1)要想平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？
(2)若设每件童装降价元时，平均每天销售这种童装盈利元，求与的函数关系式，并求的最大值．
22．如图1，直线y=x+n交轴于点A，交轴于点C（0,4）.抛物线y= +bx+c经过点A，交轴于点B（0，-2）.点P为抛物线上一个动点，经过点P作轴的垂线PD，过点B作BD⊥PD于点D，连接PB，设点P的横坐标为.
（1）求抛物线的解析式；
（2）当△BDP为等腰直角三角形时，求线段PD的长；
（3）如图2，将△BDP绕点B逆时针旋转，得到△BD′P′，且旋转角∠PBP′=∠OAC，当点P的对应点P′落在坐标轴上时，请直接写出点P的坐标.

23．如图1，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=2AB=8，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接DE，将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α.
（1）问题发现
① 当时， ；② 当时，
（2）拓展探究
试判断：当0°≤α＜360°时，的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明.
（3）问题解决
当△EDC旋转至A、D、E三点共线时，直接写出线段BD的长.


参考答案：
1．A
【分析】根据二次根式的化简方法将原式化简成，再根据a的取值范围化简绝对值．
【详解】解：∵，
∴，，
∴原式．
故选：A．
【点睛】本题考查绝对值的化简和二次根式的化简，解题的关键是掌握绝对值和二次根式的化简方法．
2．B
【详解】试题分析：∵∠A为锐角，sinA=，∴∠A=30°．故选B．
考点：特殊角的三角函数值．
3．D
【详解】解：∵⊙O是△ABC的外接圆，∠A=50°，∴∠BOC=2∠A=100°．故选D．
4．C
【分析】根据相似三角形的性质进行求解即可．
【详解】解：∵，它们的相似比为，
∴它们的面积比是，
故选C．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，熟知相似三角形的面积之比等于相似比的平方是解题的关键．
5．D
【分析】先证明得到，即可求出，则．
【详解】解：∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
故选D．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，证明求出是解题的关键．
6．C
【分析】先求出B点坐标，再由中点坐标的性质即可得出结论．
【详解】解：∵⊙C过原点，∠AOB=90°
∴AB是⊙O的直径．
∵点A的坐标为（0，6），⊙C的半径长为5，
∴，
∴B（-8，0），
∴C（-4，3）．
故选：C．
【点睛】本题考查的是圆周角定理，熟知直径所对的圆周角是直角是解答此题的关键．
7．A
【分析】由y=a+bx+c的图象判断出a＞0，b＞0，于是得到一次函数y=ax+b的图象经过一，二，三象限，即可得到结论．
【详解】∵y=a+bx+c的图象的开口向上，
∴a＞0，
∵对称轴在y轴的左侧，
∴b＞0，
∴一次函数y=ax+b的图象经过一，二，三象限．
考点：二次函数和一次函数的图象
8．B
【分析】连接OB，CO，在Rt△BOC中，根据勾股定理即可求解．
【详解】解：连接OB，OC，则，根据正方形的性质得：∠BOC=90°，
在Rt△BOC中，．
∴正方形的边长是2，
故选：B．

【点睛】此题主要考查了正多边形和圆，本题需仔细分析图形，利用勾股定理即可解决问题．
9．C
【分析】由已知可知DE是△ABC的中位线，则，，△ODE∽△OCB，根据平行线分线段成比例定理及相似三角形的性质即可判断．
【详解】∵BE、CD是△ABC的中线，即D、E是AB和AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DE=BC，即，
∴△DOE∽△COB，
∴ =， =， =．
故①正确，②错误，③④正确；
故选C．
【点睛】本题考查的是三角形的中线的概念和性质、相似三角形的性质，掌握三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍、利用三角形的面积公式证明三角形之间的关系是解决问题的关键．
10．C
【分析】当图象顶点在点B时，点N的横坐标的最大值为4，求出a＝；当顶点在点A时，M点的横坐标为最小，此时抛物线的表达式为：y＝（x＋2）2﹣3，令y＝0，求出x值，即可求解．
【详解】当图象顶点在点B时，点N的横坐标的最大值为4，
则此时抛物线的表达式为：y＝a（x﹣1）2﹣3，
把点N的坐标代入得：0＝a（4﹣1）2﹣3，
解得：a＝，
当顶点在点A时，M点的横坐标为最小，
此时抛物线的表达式为：y＝（x＋2）2﹣3，
令y＝0，则x＝﹣5或1，
即点M的横坐标的最小值为﹣5，
故选：C．
【点睛】本题考查的是二次函数与x轴的交点，涉及到函数基本性质和函数的最值，其中确定坐标取得最值时，图象所处的位置是本题的关键．
11．或##或5
【分析】根据被开方数大于等于列式求出的值，再求出，然后代入代数式进行计算即可求解．
【详解】解：由题意得，，，
∴，
解得，
∴，
∴，
或，
综上所述，的值为或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了二次根式的性质，掌握二次根式的被开方数为非负数是解题的关键．
12．x=3
【分析】根据抛物线的对称性即可确定抛物线对称轴．
【详解】解：点,是抛物线上的两个点,且纵坐标相等．
根据抛物线的对称性知道抛物线对称轴是直线．
故答案为．
【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，对于二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0），抛物线上两个不同点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，若有y1=y2，则P1，P2两点是关于抛物线对称轴对称的点，且这时抛物线的对称轴是直线： .
13．30°
【详解】∵OA=AB，OA=OB，
∴OA=OB=AB，即△OAB是等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∴∠C=∠AOB=30°．
故答案为30°．
【点睛】本题考查了圆周角定理，等边三角形的判定与性质，熟练掌握其性质是解题的关键．
14．24
【分析】根据概率公式，求出白球和黄球总数，再减去白球的个数，即可求解.
【详解】12÷=36（个），
36-12=24（个），
答：黄球个数为24个.
故答案是：24.
【点睛】本题主要考查概率公式，掌握概率公式及其变形公式，是解题的关键.
15．4
【详解】解： AC与BA′相交于D，如图，

∵△ABC绕点B按逆时针方向旋转45°后得到△A′BC′，
∴∠ABA′=45°，BA′BA=4，△ABC≌△A′BC′，
∴S△ABC=S△A′BC′，
∵S四边形AA′C′B=S△ABC+S阴影部分=S△A′BC′+S△ABA′，
∴S阴影部分=S△ABA′，
∵∠BAC=45°，
∴△ADB为等腰直角三角形，
∴∠ADB=90°，AD=AB=2，
∴S△ABA′=AD•BA′=×2×4=4（cm2），
∴S阴影部分=4cm2．
故答案为：4．
【点睛】本题考查旋转的性质．
16．；
【分析】先化简原式与的值，然后将的值代入原式即可求出答案．
【详解】原式，
，
；
，即代入
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值和特殊的三角函数值，熟练运用分式的运算法则是解题的关键．
17．(1)；
(2)

【分析】（1）利用配方法化成顶点式即可；
（2）根据顶点式写出顶点坐标即可．
【详解】（1）解：

；
（2）解：∵二次函数顶点式为，
∴二次函数图象的顶点坐标为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了用配方法把二次函数解析式化为顶点式，解题关键是熟练运用配方法进行转化，明确顶点式的意义．
18．AC=5
【分析】作AD⊥BC于点D，由AB＝3，sinB＝可得AD＝BD＝AB＝3，可得DC＝4，在Rt△ACD中，AC＝＝5.
【详解】解：作AD⊥BC于点D，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∵sinB＝，
∴∠B＝∠BAD＝45°，
∵AB＝，
∴AD＝BD＝AB＝3，
∵BC＝7，
∴DC＝4，
∴在Rt△ACD中，AC＝＝5．
【点睛】本题主要考查解直角三角形、锐角三角函数及勾股定理.
19．答案见解析
【分析】根据同弧所对的圆周角相等可得，可得，进而得出对应线段成比例，然后根据等弧可得弦即可得出结论．
【详解】证明：在四边形中，
∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，同弧所对的弦相等，以及相似三角形的性质，熟练掌握圆的基础知识是解题的关键．
20．(1)
(2)

【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系进行求解即可；
（2）先根据题意得到点A和点B的坐标分别为，结合已知条件利用勾股定理得到，求出m的值进而求出b、c即可得到答案．
【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程的两个实数根是m，4，
∴；
（2）解：由题意得，点A和点B的坐标分别为，
∵，，
∴，
∴（负值舍去），
∴，
∴抛物线解析式为．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，一元二次方程根与系数的关系，二次函数与一元二次方程的关系，灵活运用所学知识是解题的关键．
21．(1)每件童装应降价20元
(2)，最大为1250

【分析】（1）设每件童装应降价x元，则平均每天销售件，再根据利润单件盈利数量列出方程求解即可；
（2）根据利润单件盈利数量列出y关于x的函数关系式，然后根据二次函数的性质求出y的最大值即可．
【详解】（1）解：设每件童装应降价x元，
由题意得，，
∴，
解得或，
∵要扩大销售量，减少库存，
∴，
∴每件童装应降价20元，
答：每件童装应降价20元；
（2）解：由题意得，，
∵，
∴当时，y最大，最大为1250．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用，正确理解题意列出对应的方程和函数关系式是解题的关键．
22．（1）y=-2；（2）当△BPD为等腰直角三角形时，PD的长为或；（3），，.
【分析】（1）先求得点A的坐标，再利用待定系数法求抛物线的解析式即可；
（2）设点P的横坐标为m,可得P（m，-2），D（m，-2），若△BPD为等腰直角三角形，则PD=BD.分两种情况：①当点P在直线BD的上方时，PD=,再分点P在y轴的左侧和右侧两种情况，列方程求解即可；②当点P在直线BD的下方时，m＞0，BD=m，PD=,列方程求解即可；
（3）由∠PBP/=∠OAC,OA=3,OC=4；可得AC=5，继而可得sin∠PBP/=，cos∠PBP/=，然后分 点P/落在x轴上和点P/落在y轴上两种情况分别讨论求解即可.
【详解】（1）由直线y=x+n过点C（0,4），得n=4，∴y=x+4.
当y=0时，0=x+4，解得x=3，∴A（3,0）.
∵抛物线y=+c经过点A（3,0），B（0，-2），
∴ ，解得，
∴y=-2.
（2）设点P的横坐标为,∴P（m，-2），D（m，-2）.
若△BPD为等腰直角三角形，则PD=BD.
①当点P在直线BD的上方时，PD=,
（Ⅰ）若点P在y轴的左侧，则m＜0，BD=-m，
∴=-m，
解得m1=0（舍去），m2=（舍去），
（Ⅱ）若点P在y轴的右侧，则m＞0，BD=m，
∴=m，
解得m1=0（舍去），m2=，
②当点P在直线BD的下方时，m＞0，BD=m，PD=,
∴=m，
解得m1=0（舍去），m2=，
综上m=或；
即当△BPD为等腰直角三角形时，PD的长为或；
（3）∵∠PBP/=∠OAC,OA=3,OC=4，
∴AC=5，
∴sin∠PBP/=，cos∠PBP/=，
①当点P/落在x轴上时，过点D/作D/N⊥x轴于N，交BD于点M，∠DBD/=∠ND/P/=∠PBP/,
如图1，ND/-MD/=2,即×（m2-m）-（-m）=2；
如图2，ND/-MD/=2，即×（m2-m）-（-m）=2，
解得：P（－，）或P（，）；
②当点P/落在y轴上时，
如图3，过点D/作D/M⊥x轴交BD于点M，过点P/作P/N⊥y轴，交MD/的延长线于点N，∠DBD/=∠ND/P/=∠PBP/,
∵PN=BM,
即×（m2-m）=m，
∴P（，），
综上，，，.

【点睛】本题考查了二次函数综合题，涉及了二次的性质，待定系数法，解直角三角形的应用等知识，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.注意数形结合思想以及分类讨论思想的运用.
23．（1）①,②.（2）无变化；理由参见解析.（3），.
【分析】（1）①当α=0°时，在Rt△ABC中，由勾股定理，求出AC的值是多少；然后根据点D、E分别是边BC、AC的中点，分别求出AE、BD的大小，即可求出的值是多少．
②α=180°时，可得AB∥DE，然后根据，求出的值是多少即可．
（2）首先判断出∠ECA=∠DCB，再根据，判断出△ECA∽△DCB，即可求出的值是多少，进而判断出的大小没有变化即可．
（3）根据题意，分两种情况：①点A，D，E所在的直线和BC平行时；②点A，D，E所在的直线和BC相交时；然后分类讨论，求出线段BD的长各是多少即可．
【详解】（1）①当α=0°时，
∵Rt△ABC中，∠B=90°，
∴AC=，
∵点D、E分别是边BC、AC的中点，
∴,BD=8÷2=4，
∴．
②如图1，
，
当α=180°时，
可得AB∥DE，
∵，
∴
（2）如图2，
，
当0°≤α＜360°时，的大小没有变化，
∵∠ECD=∠ACB，
∴∠ECA=∠DCB，
又∵，
∴△ECA∽△DCB，
∴．
（3）①如图3，
，
∵AC=4，CD=4，CD⊥AD，
∴AD=
∵AD=BC，AB=DC，∠B=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴BD=AC=．
②如图4，连接BD，过点D作AC的垂线交AC于点Q，过点B作AC的垂线交AC于点P，
，
∵AC=，CD=4，CD⊥AD，
∴AD=，
∵点D、E分别是边BC、AC的中点，
∴DE==2，
∴AE=AD-DE=8-2=6，
由（2），可得
，
∴BD=．
综上所述，BD的长为或．