高中数学高考2021年高考数学（文）12月模拟评估卷（一）（全国3卷）（解析版）(1)

2021年高考数学（文）12月模拟评估卷（一）

（全国3卷）

本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分

满分150分.考试时间120分钟

第Ⅰ卷（选择题共60分）

一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1．（    ）

A．1 B．-1 C．i D．-i

【答案】D

【解析】.故选D.

2．已知全集为R,集合,,则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】A中,显然集合A并不是集合B的子集,错误.B中,同样集合B并不是集合A的子集,错误.

C中,,错误.D中,由,则,,正确.

故选D．

3．国家统计局发布数据显示,2020年1月份全国CPI（居民消费价格指数）同比上涨5.4%,环比上涨1.4%.下图是2019年1月到2020年1月全国居民消费价格同比（与去年同期相比）和环比（与上月相比）涨跌幅,则下列判断错误的是（    ）

（参考数据：,）

A．各月同比全部上涨,平均涨幅超过3%

B．各月环比有涨有跌,平均涨幅超过0.3%

C．同比涨幅最大的月份,也是环比涨幅最大的月份

D．环比跌幅最大的月份,也是同比涨幅最小的月份

【答案】D

【解析】由统计图可知,各月同比全部上涨,平均涨幅为

,超过3%,故 A正确；各月环比有涨有跌,平均涨幅为

,超过0.3%,故B正确；同比涨幅最大的是2020年1月,环比涨幅最大的也是2020年1月,故C正确；

环比跌幅最大的是2019年3月,同比涨幅最小的是2019年2月,故D错误,故选D.

4．设,,,则,,,的大小关系是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】根据对数函数的性质得,,且,

根据指数函数的性质得,故．故选A．

5．已知抛物线y2＝2px(p＞0),点C(－4,0),过抛物线的焦点作垂直于x轴的直线,与抛物线交于A,B两点,若△CAB的面积为24,则以直线AB为准线的抛物线的标准方程是（    ）

A．y2＝4x B．y2＝－4x

C．y2＝8x D．y2＝－8x

【答案】D

【解析】因为AB⊥x轴,且AB过点F,所以AB是焦点弦,且|AB|＝2p,

所以S△CAB＝×2p×解得p＝4或－12(舍),

所以抛物线方程为y2＝8x,所以直线AB的方程为x＝2,

所以以直线AB为准线的抛物线的标准方程为y2＝－8x.故选D.

6．已知向量,满足,,且,则在方向上的投影为（    ）

A． B． C． D．1

【答案】B

【解析】因为,,,

所以在方向上的投影为．故选B．

7.已知函数的图象如图所示,则的解析式可能是（    ）．

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】由图象可知：,且时,,时,,排除AB;

由,排除D.又在上递减,所以在上递减,

故选C.

8．《海岛算经》是中国学者刘徽编撰的一部测量数学著作,现有取自其中的一个问题：今有望海岛,立两表齐,高三丈,前后相去千步,令后表与前表参相直,从前表却行一百二十三步,人目着地,取望岛峰,与表末参合,从后表却行一百二十七步,人目着地,取望岛峰,亦与表末参合,问岛高几何？用现代语言来解释,其意思为：立两个3丈高的标杆,之间距离为1000步,两标杆与海岛的底端在同一直线上.从第一个标杆M处后退123步,人眼贴地面,从地上A处仰望岛峰,人眼,标杆顶部和山顶三点共线；从后面的一个标杆N处后退127步,从地上B处仰望岛峰,人眼,标杆顶部和山顶三点也共线,则海岛的高为（3丈=5步）（    ）

A．1200步 B．1300步 C．1155步 D．1255步

【答案】D

【解析】设海岛的高为步,由题意知,步,步,步,

步,则,即,

,所以,

则,解得,即海岛的高为步,

故选D.

9．下图是一个正方体的展开图,则在该正方体中（    ）

A．直线与直线平行 B．直线与直线相交

C．直线与直线异面垂直 D．直线与直线异面且所成的角为60°

【答案】D

【解析】正方体的展开图的立体图形如图所示：

由图知：直线与直线为异面直线,故A,B错误；

连接,,因为,所以或其补角为异面直线与所成角.

又因为为等边三角形,所以.

所以直线与直线异面且所成的角为60°,故C错误,D正确.故选D

10．若,则（    ）

A． B．或 C．或 D．

【答案】B

【解析】由题可得

所以,即

所以或.

又

所以当时,.

当时,.故选B.

11．已知双曲线（,）的左、右焦点分别为、,圆与双曲线在第一象限和第三象限的交点分别为,,四边形的周长与面积满足,则该双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由双曲线的定义可知,又,,可知四边形是平行四边形,所以联立解得,,

又线段为圆的直径,由双曲线的对称性可知四边形为矩形,所以四边形的面积,又,所以,即,解得,

由,得,即,即.故选C.

12．设函数,直线是曲线的切线,则的最大值是（    ）

A． B．1 C． D．

【答案】C

【解析】由题得,设切点,,则,；

则切线方程为：,即,又因为,

所以,,则,令,则,

则有,；,,即在上递增,在上递减,

所以时,取最大值,即的最大值为.故选C.

二.填空题:本大题共4小题,每小题5分

13．若满足,则的最小值为____________.

【答案】

【详解】如图

令,可得目标函数的一条等值线,则将移至点处,目标函数取最小值,所以最优解为点,则.

14.某市的天气预报显示，大别山区在今后的三天中，每一天有强浓雾的概率为，现用随机模拟的方法估计这三天中至少有两天有强浓雾的概率：先利用计算器产生之间整数值的随机数，并用0，1，2，3，4，5表示没有强浓雾，用6，7，8，9表示有强浓雾，再以每3个随机数作为一组，代表三天的天气情况，产生了如下20组随机数：779  537  113  730  588  506  027  394  357  231  683  569  479  812  842  273  925  191  978  520

则这三天中至少有两天有强浓雾的概率近似为______．

【答案】

【解析】这20组数据，其中恰有2天有浓雾的是588，683，569，479，恰有3天浓雾的是779，978，所以三天中至少有两天有强浓雾的组数包含6组，所以概率.

15．已知函数,,若函数在区间内单调递增,且函数的图像关于直线对称,则的值为        ．

【答案】

【解析】由在区间内单调递增,且的图像关于直线对称,可得 ,且,所以

16．直三棱柱内有一个体积为的球,若是边长为的等边三角形,,则的最大值为________

【答案】

【解析】由题意知,为使球的体积尽可能的大时,球需与三棱柱内切,先保证截面圆与内切,记截面圆的半径为,则,即,所以,

又直三棱柱的高为,此时不能满足球在该棱柱内,因此为使球在棱柱内,且体积最大,只能球与棱柱的上下底面相切,即,球的半径最大只能是,此时.

三、解答题：共70分,解答应写出文字说明,证明过程和解题步骤.第17-21题为必考题.第22、23题为选考题.

(一)、必考题：共60分

17.(12分) 等比数列中,已知,．

 （1）求数列的通项公式；

 （2）若,分别是等差数列的第4项和第16项,求数列的通项公式及前n项和．

解：（1）设等比数列的公比为,

因为,,可得,解得,

所以数列的通项公式为．(6分)

（2）因为,分别是等差数列的第4项和第16项,

所以,,

设等差数列的公差为,可得,解得,,

所以,

则数列的通项公式及前n项和．(12分)

18．(12分)产品质量是企业的生命线,企业非常重视产品生产线的质量,为提高产品质量,某企业引进了生产同一种产品的,两条生产线,为比较两条生产线生产的产品的质量,从,生产线生产的产品中各随机抽取了100件产品进行检测,将产品等级结果和频数制成了如下的统计图：

（1）填写下面列联表,并根据列联表判断是否有95%的把握认为产品是否为一级品生产线有关．

（2）以样本估计总体,若生产一件一级品可盈利100元,生产一件二级品可盈利50元,生产一件三级品亏损20元．

①分别估计,生产线生产一件产品的平均利润；

②你认为哪条生产线的利润较为稳定？说明理由．

附：,其中．

解：（1）根据已知数据可得列联表如下：

,

参照临界值表可知,有95%的把握认为产品是否为一级品与生产线有关. (5分)

（2）①生产线生产一件产品的平均利润为（元）,

生产线生产一件产品的平均利润为（元）. (8分)

②生产线生产的产品利润的方差

,

生产线生产的产品利润的方差

,

因为,所以生产线的利润更为稳定. (12分)

19．(12分) 如图,在三棱锥中,,,,分别为,的中点.

（1）求证：平面平面；

（2）若,是面积为的等边三角形,求四棱锥的体积.

解:（1）,为的中点,,.

,,

又,,.

,平面,平面,

平面,平面平面.(6分)

（2）,,

又平面平面,平面平面,平面.

是面积为的等边三角形,,可得：.

.(12分)

20．(12分)已知函数．

（1）讨论函数的单调性；

（2）若函数有最大值，且最大值大于时，求的取值范围．

解：（1）由题知，的定义域为，．

①当时，则，在上单调递增；

②当时，则当时，当，当时．

在单调递增，在单调递减．

综上，当时，在上单调递增；

当时，在单调递增，在单调递减．(6分)

（2）由（1）知，当时再无最大值；

当时，在取得最大值．

此时，其最大值为．

．

令，，则在是增函数．

注意到，所以要使成立，则需.

的取值范围是．(12分)

21．(12分)如图,点为椭圆：的左焦点,点,分别为椭圆的右顶点和上顶点,点在椭圆上,且满足.

（1）求椭圆的方程；

（2）过定点且与轴不重合的直线交椭圆于,两点,直线分别交直线,于点,,求证：以为直径的圆经过轴上的两定点（用表示）.

解：（1）由在椭圆：上得①,

如图,由为的右顶点,为的上顶点可知,,

因,所以,则②.

联立①②得方程组解得

故所求椭圆的方程为.(4分)

（2）设,,又,

所以直线的方程为,令,得,

所以.同理.

设是以为直径的圆上的任意一点,则,所以

,

令,得.

设直线的方程为,与椭圆的方程联立,消去得

,

所以,,

所以

.

所以,

因为,所以.

所以以为直径的圆经过轴上两定点,其坐标分别为和.(12分)

(二)、选考题：共10分. 请考生从22、23题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分.

22．[选修4-4：坐标系与参数方程] (10分)

在平面直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),圆的方程为.以原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系.

（1）求直线及圆的极坐标方程；

（2）若直线与圆交于两点,求的值.

解：（1）由直线的参数方程,

得其普通方程为,

∴直线的极坐标方程为.

又∵圆的方程为,

将代入并化简得,

∴圆的极坐标方程为. (5分)

（2）将直线：,

与圆：联立,得

,

整理得,∴.

不妨记点A对应的极角为,点B对应的极角为,且.

于是,. (10分)

23．[选修4-5：不等式选讲] (10分)

设正实数,,满足．

（1）求的最大值；

（2）求的最小值．

解：（1）∵,∴．

∴,

当且仅当,

即,,时,取到最大值为．(5分)

（2）∵,∴,

∴

,

当且仅当,即时,

取得最小值为5．(10分)