高中数学高考2019年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（北京卷）（含解析）(1)

2019年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）

文科数学

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.

1、（2019•北京）已知集合A={x|-1<x<2}，B={x|x>1}，则AUB=（   ）

A. （-1，1）    B. （1，2）   C. （-1，+∞）   D. （1，+∞）

【答案】C

【解析】【解答】因为

所以

故答案为：C.

【分析】本题考查了集合的并运算，根据集合A和B直接求出交集即可.

2、（2019•北京）已知复数z=2+i，则=（   ）

A.           B.           C. 3                D. 5

【答案】D

【解析】【解答】根据，得，

所以，

故答案为：D.

【分析】根据z得到其共轭，结合复数的乘法运算即可求解.

3、（2019•北京）下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是（   ）

A.        B. y=2-x

C.         D.

【答案】A

【解析】【解答】A：为幂函数，，所以该函数在上单调递增；

B:指数函数，其底数大于0小于1，故在上单调递减；

C：对数函数，其底数大于0小于1，故在上单调递减；

D：反比例函数，其k=1>0，故在上单调递减；

故答案为：A.

【分析】根据幂函数、指数函数、对数函数及反比例函数的单调性逐一判断即可.

4、（2019•北京）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（   ）

A. 1            B. 2          C. 3          D. 4

【答案】B

【解析】【解答】k=1，s=1， s=，k<3,故执行循环体k=1+1=2，；

此时k=2<3，故继续执行循环体k=3，，此时k=3，结束循环，输出s=2.

故答案为：B.

【分析】根据程序框图，依次执行循环体，直到k=3时结束循环，输出s=2即可.

5、（2019•北京）已知双曲线（a>0）的离心率是，则a=（   ）

A.      B. 4      C. 2      D.

【答案】D

【解析】【解答】双曲线的离心率，

故解得，

故答案为：D.

【分析】根据双曲线的标准方程，表示离心率，解方程，即可求出a的值.

6、（2019•北京）设函数f（x）=cosx+bsinx（b为常数），则“b=0”是“f（x）为偶函数”的（   ）

A. 充分而不必要条件          B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件               D. 既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】【解答】若b=0，则为偶函数，

若为偶函数，

则，

所以B=0,

综上，b=0是f（x）为偶函数的充要条件.

故答案为：C.

【分析】根据偶函数的定义，结合正弦函数和余弦函数的单调性，即可确定充分、必要性.

7、（2019•北京）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m1-m2=，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1，2）.己知太阳的星等是-26.7，天狼星的星等是-1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（   ）

A. 1010.1          B. 10.1           C. lg10.1      D. 10-10.1

【答案】A

【解析】【解答】解：设太阳的亮度为,天狼星的亮度为，

根据题意,

故，

所以；

故答案为：A.

【分析】根据已知，结合指数式与对数式的转化即可求出相应的比值.

8、（2019•北京）如图，A，B是半径为2的圆周上的定点，P为圆周上的动点，∠APB是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为（   ）

A. 4β+4cosβ   B. 4β+4sinβ    C. 2β+2cosβ    D. 2β+2sinβ

【答案】B

【解析】【解答】设圆心为O，根据可知AB所对圆心角

故扇形的面积为，由题意，要使阴影部分面积最大，则P到AB的距离最大，此时PO与AB垂直，

故阴影部分面积最大值

而，

，

故阴影部分面积最大值

故答案为：B.

【分析】根据圆周角得到圆心角，由题意，要使阴影部分面积最大，则P到AB的距离最大，此时PO与AB垂直，结合三角函数的定义，表示相应三角形的面积，即可求出阴影部分面积的最大值.

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分，

9、（2019•北京）已知向量=（-4.3），=（6，m），且，则m=              .

【答案】8

【解析】【解答】根据两向量垂直，则数量积为0，得

解得m=8.

故答案为8.

【分析】根据两向量垂直，数量积为0，结合平面向量的数量积运算即可求解.

10、（2019•北京）若x，y满足.则y-x的最小值为            ，最大值为            .

【答案】-3|1

【解析】【解答】作出可行域及目标函数相应的直线，平移该直线，可知在经过（2,-1）时取最小值-3，过（2，3）时取最大值1.

故答案为-3；1.

【分析】作出可行域和目标函数相应的直线，平移该直线，即可求出相应的最大值和最小值.

11、（2019•北京）设抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l.则以F为圆心，且与l相切的圆的方程为            .

【答案】

【解析】【解答】由题意，抛物线的焦点坐标F（1,0），准线方程：x=-1，

焦点F到准线l的距离为2，

故圆心为（1,0），半径为2，

所以圆的方程为；

故答案为.

【分析】根据抛物线方程求出焦点坐标和准线方程，即可得到圆心和半径，写出圆的标准方程即可.

12、（2019•北京）某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示.如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为            .

【答案】40

【解析】【解答】根据三视图，可知正方体体积，

去掉的四棱柱体积，

故该几何体的体积V=64-24=40.

故答案为40.

【分析】根据三视图确定几何体的结构特征，求出相应的体积即可.

13、（2019•北京）已知l，m是平面α外的两条不同直线.给出下列三个论断：

①l⊥m；②m∥α；③l⊥α.

以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：          .

【答案】若②③，则①

【解析】【解答】若，则垂直于内任意一条直线，

若，则；

故答案为若②③，则①.

14、（2019•北京）李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元.每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%.

①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付            元；

②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为               .

【答案】130|15

【解析】【解答】①草莓和西瓜各一盒，总价60+80=140元，

140>120，故顾客可少付10元，此时需要支付140-10=130元；

②要保证每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则最低消费满足条件即可，

根据题意，买草莓两盒，消费最低，此时消费120元，

故实际付款（120-x）元，此时李明得到，

故，解得；

故最大值为15.

故答案为①130；②15.

【分析】①根据已知，直接计算即可；

②根据题意，要保证每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则最低消费满足条件即可，因此选最低消费求解，即可求出相应的最大值.

三、解答题共6小题，共80分.

15、（2019•北京）在△ABC中，a=3，b-c=2，cosB=-.

（I）求b，c的值：

（II）求sin（B+C）的值.

【答案】解：（I）根据余弦定理，

故，

解得c=5，B=7；

（II）根据，得，

根据正弦定理，，

得，解得，所以，

所以.

【解析】【分析】（I）根据余弦定理，解方程即可求出c和b；

（II）根据同角三角函数的平方关系，求出sinB，结合正弦定理，求出sinC和cosC，即可依据两角和的正弦公式，求出sin（B+C）.

16、（2019•北京）设{an}是等差数列，a1=-10，且a2+10，a3+8，a4+6成等比数列.

（I）求{an}的通项公式；

（Ⅱ）记{an}的前n项和为Sn，求Sn的最小值.

【答案】解：（I）根据三者成等比数列，

可知，

故，

解得d=2，

故；

（Ⅱ）由（I）知，

该二次函数开口向上，对称轴为n=5.5，

故n=5或6时，取最小值-30.

【解析】【分析】（I）根据等比中项，结合等差数列的通项公式，求出d，即可求出；（Ⅱ）由（1），求出，结合二次函数的性质，即可求出相应的最小值.

17、（2019•北京）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变.近年来，移动支付已成为主要支付方式之一.为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的1000名学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：

（I）估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数；

（II）从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于2000元的概率；

（III）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用B的学生中，随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于2000元，结合（II）的结果，能否认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由.

【答案】解：（I）据估计，100人中上个月A、B两种支付方式都使用的人数为100-5-27-3-24-1=40人，故该校学生中上个月A、B两种支付方式都使用的人数为400人；

（II）该校学生上个月仅使用B支付的共25人，其中支付金额大于2000的有一人，故概率为；

（III）不能确定人数有变化，因为在抽取样本时，每个个体被抽到法机会是均等的，也许抽取的样本恰为上个月支付抄过2000的个体，因此不能从抽取的一个个体来确定本月的情况有变化.

【解析】【分析】（I）根据题意，结合支付方式的分类直接计算，再根据样本估计总体即可；

（II）根据古典概型，求出基本事件总数和符合题意的基本事件数，即可求出相应的概率；

（III）从统计的角度，对事件发生的不确定性进行分析即可.

18、（2019•北京）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点.

（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；

（Ⅱ）若∠ABC=60°，求证：平面PAB⊥平面PAE；

（Ⅲ）棱PB上是否存在点F，使得CF∥平面PAE？说明理由.

【答案】（Ⅰ）证明：因为ABCD为菱形，所以，

又因为，所以，而，

故；

（Ⅱ）因为,所以，故为等边三角形，

而E为CD 的中点，故,所以,

又因为，所以,

因为，所以,

又因为，所以；

（Ⅲ）存在这样的F，当F为PB的中点时，；

取AB的中点G，连接CF、CG和FG，

因为G为AB中点，所以AE与GC平行且相等，

故四边形AGCE为平行四边形，所以,故

在三角形BAP中，F、G分别为BP、BA的中点，所以,

故,因为GC和FG均在平面CFG内，且,

所以，故.

【解析】【分析】（Ⅰ）根据线面垂直的判定定理，证明直线与平面内两条相交直线垂直即可；

（Ⅱ）根据面面垂直的判定定理，证明直线与平面垂直，即可得到面面垂直；

（Ⅲ）根据面面平行的判定定理，证明面面平行，即可说明两平面没有公共点，因此，一个平面内任意一条直线与另一平面均无公共点，即可说明线面平行.

19、（2019•北京）已知椭圆C：的右焦点为（1.0），且经过点A（0，1）.

（I）求椭圆C的方程；

（II）设O为原点，直线l：y=kx+t（t≠±1）与椭圆C交于两个不同点P，Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N，|OM|·|ON|=2，求证：直线l经过定点.

【答案】解：（I）根据焦点为（1,0），可知c=1，

根据椭圆经过（0,1）可知b=1，故，

所以椭圆的方程为；

（II）设，

则直线，直线，

解得,

故，

将直线y=kx+t与椭圆方程联立，

得，

故，所以，

故，

解得t=0，故直线方程为y=kx，一定经过原点（0,0）.

【解析】【分析】（I）根据焦点坐标和A点坐标，求出a和b，即可得到椭圆的标准方程；

（II）设出P和Q的坐标，表示出M和N的坐标，将直线方程与椭圆方程联立，结合韦达定理，表示OM与ON，根据，解得t=0，即可确定直线恒过定点（0,0）.

20、（2019•北京）已知函数f（x）=x3-x2+x.

（I）求曲线y=f（x）的斜率为1的切线方程；

（II）当x∈[-2，4]时，求证：x-6≤f（x）≤x；

（Ⅲ）设F（x）=|f（x）-（x+a）|（a∈R），记F（x）在区间[-2，4]上的最大值为M（a）.当M（a）最小时，求a的值.

【答案】解（I），令，

则，

因为，

故斜率为1的直线为y=x或，

整理得，斜率为1的直线方程为x-y=0或；

（II）构造函数g（x）=f（x）-x+6，

则，令，则，

故g（x）在[-2,0]上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故g（x）的最小值为g（-2）或，

而g（-2）=0，，故，

所以，故在[-2,4]上，；

构造函数h（x）=f（x）-x，

则，令，则，

故h（x）在[-2,0]上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故h（x）的最大值为h（0）或h（4），

因为h（0）=0，h（4）=0，

所以，故在[-2,4]上，，

综上在[-2,4]上，；

（Ⅲ）令，

则，令，则，

故（x）在[-2,0]上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，

所以（x）的最小值为（-2）=-6-a或，

最大值为（0）=-a或（4）=12-a，

故其最大值，

故当a=3时，M（a）有最小值9.

【解析】【分析】（I）求导数，根据导数的几何意义，结合斜率为1，求出切点坐标，利用点斜式，即可求出相应的切线方程；

（II）构造函数，要证，只需要证在[-2,4]上和即可，求导数，利用导数确定函数单调性，求出函数极值即可证明；

（Ⅲ）求导数，利用导数确定函数单调性，求出函数的最值，确定M（a）的表达式，即可求出M（a）取最小值时相应的a值.