山东省泰安市肥城市汶阳镇初级中学2022-2023学年九年级下学期3月月考数学试题（含答案）

山东省泰安市肥城市汶阳镇初级中学2022-2023学年九年级下学期3月月考数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．如图，中，点在线段上，且，则下列结论一定正确的是（　　）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据相似三角形的性质进行计算即可得．

【详解】解：∵，

∴，

∴，

，

故选：A．

【点睛】本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的性质．

2．如图，是的高，若，，则（　　）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据可得，根据求出的长度，再根据，即可求解．

【详解】解：∵，

∴，

∵，

∴，则，

∵，，

∴，

∴；

故选：B．

【点睛】本题主要考查了解直角三角形，解题的关键是熟练掌握解直角三角形的方法和步骤．

3．如图，已知的半径为5，弦，点M在弦上，且，则线段的长是（　　）

A． B．4 C． D．5

【答案】C

【分析】过O点于N点，连接，利用垂径定理可得，在中，，再在中，，问题得解．

【详解】过O点于N点，连接，如图，

∵，，

∴，

∵的半径为5，即，

∴在中，，

∵，，

∴，

∴在中，，

故选：C．

【点睛】本题主要考查了垂径定理、勾股定理等知识，掌握垂径定理是解答本题的关键．

4．数学中余弦定理是这样描述的：在中，、、所对的边分别为、、，则三角形中任意一边的平方等于另外两边的平方和减去这两边及这两边的夹角的余弦值的乘积的2倍，用公式可描述为：，，．在中，，，，则的值是（    ）

A．5 B． C． D．2

【答案】C

【分析】根据题目中给出的信息列式解答即可．

【详解】解：根据题意得：

，

∴或（舍去），故C正确．

故选：C．

【点睛】本题主要考查了新定义计算，特殊角的三角函数值，余弦定理，解题的关键是理解题意，熟练进行计算．

5．如图，在正方形中，E是的中点，F是上一点，，，则的长为（    ）

A．6 B．8 C．10 D．12

【答案】C

【分析】根据正方形的性质和等角的余角相等证得，再根据相似三角形的判定与性质证明得到，进而求得、，然后利用勾股定理求解即可．

【详解】解：∵四边形是正方形，

∴，，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵E是的中点，，

∴，

解得，

在中，，，

∴，

故选：C．

【点睛】本题考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、等角的余角相等，熟练掌握相关知识的联系与运用，会利用相似三角形的性质求线段长是解答的关键．

6．如图，多边形为圆内接正五边形，与圆相切于点，则的大小为（    ）

A．18° B．36° C．54° D．72°

【答案】B

【分析】连接，先求出，再求出，根据切线的性质求出，问题得解．

【详解】解：如图， 连接，

∵多边形为圆内接正五边形，

，

，

，

为圆的切线，

，

，

．

故选：B．

【点睛】本题考查了正多边形和圆的相关知识，切线的性质等，根据题意添加辅助线，求出是解题关键．

7．圆锥的底面直径是，母线长，则它的侧面积是（    ）．

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2进行求解即可．

【详解】解： ，

∴圆锥的底面直径是，母线长，则它的侧面积是，

故选A．

【点睛】本题主要考查了圆锥的侧面积计算，掌握圆锥侧面积的计算方法是解题的关键．

8．下列事件是随机事件的是（    ）

A．画一个三角形，其内角和是；

B．在只装了红球的不透明袋子里摸出一个球，这个球是红球；

C．投掷一枚正六面体骰子，朝上一面的点数为5；

D．关于x的一元二次方程（k为常数）有两个不相等的实数根．

【答案】C

【分析】ABC直接根据生活常识判断即可，D通过根的判别式计算即可．

【详解】A．任意三角形内角和必为，画一个三角形，其内角和是是必然事件；

B．在只装了红球的不透明袋子里摸出一个球，这个球是红球是必然事件；

C．投掷一枚正六面体骰子，朝上一面的点数为5是随机事件；

D．∵，

∴关于x的一元二次方程（k为常数）有两个不相等的实数根是必然事件．

故选C．

【点睛】本题考查了随机事件的判断和根的判别式，解题的关键是熟练掌握生活常识．

9．如图，边长为3的正方形，以A为圆心，为半径作弧交的延长线于E，连接，则图中阴影部分面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先证，由此得，根据扇形的面积公式计算即可

【详解】

如图，设、的交点为F

∵四边形是正方形

∥

故选：D

【点睛】本题主要考查了求阴影部分面积，解题的关键是把不规则的阴影部分的面积转化为规则的扇形部分面积.

10．一个等腰三角形的两条边长分别是方程的两根，则该等腰三角形的周长是（    ）

A．13 B．17 C．21 D．13或17

【答案】B

【分析】先用因式分解法求解该方程，再根据三角形三边之间的关系和等腰三角形的性质即可进行解答．

【详解】解：，

，

或，

，，

当等腰三角形的腰为3时，，不能构成三角形，不符合题意，舍去；

当等腰三角形的腰为7时，，可以构成三角形，

∴该等腰三角形的周长是，

故选：B．

【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，三角形三边之间的关系以及等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法步骤，以及三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．

11．已知点，在二次函数的图像上，若，则必有（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据所给二次函数解析式得对称轴为，则离对称轴越远，函数值越大，根据，即可得．

【详解】解：∵二次函数的对称轴为，

∴离对称轴越远，函数值越大，

∵

∴，

故选：D．

【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是理解题意，掌握二次函数的性质．

12．已知抛物线（a，b为常数，，且，其对称轴在y轴右侧．有下列结论：

①该抛物线经过定点和；

②；

③方程有两个不相等的实数根．

其中，正确结论的个数为（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】D

【分析】①把替换掉抛物线中的，化成交点式，即可判断；

②分或分类讨论，利用，即可得出结论正确；

③把方程化为，利用判断即可．

【详解】解：①∵，

∴函数变为：，

化成交点式：，

令，则，

解得：，

∴过定点，

令，得：，

∴过定点，

故①正确；

②当时，，，

∴，解得：，

∵，

∴无解；

当时，，，

∴，解得：，

∵，

∴，

综上所述：；

故②正确；

③整理方程得：

，

∵，

∴，

∴方程有两个不相等的实数根；

故③正确；

故选：D．

【点睛】本题考查了二次函数图像与系数的关系：对于二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小：当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时（即，对称轴在轴左； 当与异号时（即，对称轴在轴右；常数项决定抛物线与轴交点位置：抛物线与轴交于；也考查了抛物线与轴的交点以及二次函数的性质．

二、填空题

13．在中，，则的形状是______．

【答案】等边三角形

【分析】先根据非负数的性质求出，，再根据三角函数作答．

【详解】∵，

∴，，

即，，

∴，，

∴，

则一定是等边三角形，

故答案为:等边三角形．

【点睛】本题考查了非负数的性质，三角函数，等边三角形的判定，数量掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．

14．如图，中，，，点E在AB上且，点F在AC上，连接EF，若与相似，则______．

【答案】或4

【分析】根据题意，要使与相似，由于本题没有说明对应关系，故采用分类讨论法．有两种可能：当时；当时．最后利用相似三角形的对应边成比例即可求得线段的长即可．

【详解】解：如图：

当时，则，即，；

当时，则 ，，．

故答案为：或4．

【点睛】本题考查相似三角形的性质应用．利用相似三角形的性质时，要注意相似比的顺序．分类讨论时，要注意对应关系的变化，防止遗漏．

15．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是_______．

【答案】且

【分析】根据二次项系数非零结合根的判别式△，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出结论．

【详解】解：关于的一元二次方程有实数根，

且△，

解得：且，

故答案为：且．

【点睛】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当△时，方程有实数根”是解题的关键．

16．已知圆锥底面半径为5cm，高为12cm，则它的侧面展开图的面积是___cm2．

【答案】65π

【分析】根据勾股定理求得母线错，继而根据弧长公式求得弧长，根据圆锥的侧面展开图的面积公式即可求解．

【详解】∵圆锥的底面半径、高和母线长组成直角三角形，且圆锥的高为12cm，底面半径为5cm，

∴根据勾股定理，圆锥的母线长为：13cm．

∵圆锥的底面周长等于它的侧面展开图的弧长，

∴侧面展开图的弧长为10πcm．

∴圆锥的侧面展开图的面积为：．

故答案为：65π

【点睛】本题考查了圆锥的侧面展开图的面积，掌握公式是解题的关键．

17．已知点A（a，b）和B（c，d）是反比例函数的图象上两点，并且，，则k的取值范围是___________．

【答案】

【分析】先利用图象上的点的坐标特征，判定图象所在象限，得到比例系数的正负即可求解．

【详解】解：∵时，，

∴图象位于二、四象限，

∴，

∴，

故答案为：．

【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．

18．如图，在的网格图中，每个小正方形的边长均为1．设经过格点、、三点的圆弧与线段交于点，则弧的弧长为________．

【答案】##

【分析】连接，，根据的勾股定理得到，，根据勾股定理的逆定理得到，根据圆周角定理得到，根据弧长公式即可得到结论．

【详解】解：连接，，

∵，，，

∴，

∴，

∴是等腰直角三角形，

∵，

∴是圆的直径，

∴，

∴，

∴，

∴弧所对的圆心角为，

∴的长，

故答案为．

【点睛】本题主要考查的是弧长的计算、等腰直角三角形的判定，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键．

三、解答题

19．解答题

(1)计算：．

(2)先化简，再求值，其中．

(3)求不等式组的整数解．

【答案】(1)；

(2)，；

(3)，0，1

【分析】（1）先求特殊角的三角函数值，零指数幂，去绝对值，再加减运算即可；

（2）先化简原式为，再把代入计算即可；

（3）分别解不等式，再按“大小小大取中间”求得不等式组解集．

【详解】（1）解：原式

；

（2）解：原式

当时，原式；

（3）解：解不等式①，

解得：，

解不等式 ② ，

解得：

原不等式组的解集为：

原不等式组的整数解为：，0，1

【点睛】本题考查了实数的混合运算，锐角三角函数，零指数幂，二次根式的性质和运算，分式的化简求值，解一元一次不等式组，熟练掌握相应的运算法则是解题关键．

20．为了加快推进我国全民新冠病毒疫苗接种，在全国范围内构筑最大免疫屏障，各级政府积极开展接种新冠病毒疫苗的宣传工作．某社区印刷了多套宣传海报，每套海报四张，海报内容分别是：

A．疫情防控要科学，接种疫苗我先行；    B．预防接种漏一针，新冠风险增十分；

C．防疫道路千万条，接种疫苗第一条；    D．一针疫苗一份心，预防接种献爱心

志愿者小赵和小李利用休息时间到某小区张贴海报．

(1)小赵从一套海报中随机抽取一张，抽到A海报的概率是________．

(2)小赵和小李从同一套海报中各随机抽取一张，用列表法或画树状图法，求他们两个人中有一个人抽到C海报的概率．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）直接由概率公式求解即可；

（2）先画出树状图，确定所有等可能的结果数，小赵和小李两个人中有一个人抽到C海报的结果数，再运用概率公式求解即可．

【详解】（1）解：每套海报四张

小张从一套海报中随机抽取一张，抽到A海报的概率是；

（2）解：画树状图如图：

共有12种等可能的结果，小赵和小李两个人中有一个人抽到C海报的结果有6种，

小赵和小李两个人中有一个人抽到C海报的概率为．

【点睛】本题考查了概率的计算，用列表法或画树状图法求概率，掌握概率的计算方法是解题的关键．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果数，概率=所求情况数与总情况数之比．

21．如图，四边形为菱形，点E在的延长线上，．

(1)求证：；

(2)当时，求的长．

【答案】(1)见解析

(2)AE=9

【分析】（1）根据四边形ABCD是菱形，得出，，根据平行线的性质和等边对等角，结合，得出，即可证明结论；

（2）根据，得出，代入数据进行计算，即可得出AE的值．

【详解】（1）证明：∵四边形ABCD为菱形，

∴，，

，，

∵，

∴，

∴．

（2）∵，

∴，

即，

解得：．

【点睛】本题主要考查了菱形的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形相似的判定和性质，根据题意得出，是解题关键．

22．现有可建筑围墙的材料，准备依靠原有旧墙围成如图所示的仓库，墙长为．

(1)若，能否围成总面积为的仓库？若能，求的长为多少？

(2)能否围成总面积为的仓库？请说说你的理由．

【答案】(1)当，能否围成总面积为的仓库，的长为或

(2)不能围成面积为的仓库，理由见解析

【分析】（1）设，则，根据矩形面积公式列出方程求解即可；

（2）设，则，根据矩形面积公式列出方程，看方程是否有解即可得到答案．

【详解】（1）解：设，则，

根据题意得：，

解得：或，

∵，

∴和都满足题意，

∴当，能否围成总面积为的仓库，的长为或；

（2）解：不能围成面积为的仓库，理由如下：

设，则，

根据题意得：，

整理得：，

∵，

∴此方程无实数根，即不能围成面积为的仓库．

【点睛】本题主要考查了一元二次方程与几何图形的应用，正确理解题意找到等量关系建立方程是解题的关键．

23．如图，在中，，以为直径的交于点D，过点D作点E，交延长线于点F．

(1)求证：是的切线；

(2)若，，求的长．

【答案】(1)见解析；

(2)6

【分析】（1）连接，根据题意可得出，则OD∥AC，由可得出结论；

（2）先证明，设，则，，，，根据，得出，进而，即可得出答案．

【详解】（1）证明：连接，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∵点D在上，

∴是的切线；

（2）解：∵，

∴，

∵为直径，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

设，

∵，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

解得：，

∴．

【点睛】本题考查切线的判定，平行线分线段成比例，角的正切，正确作出辅助线是解题的关键．

24．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点B．

(1)求a，k的值；

(2)直线CD过点A，与反比例函数图象交于点C，与x轴交于点D，AC＝AD，连接CB．

①求△ABC的面积；

②点P在反比例函数的图象上，点Q在x轴上，若以点A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有符合条件的点P坐标．

【答案】(1)，；

(2)①8；②符合条件的点坐标是和．

【分析】（1）将点代入，求出，即可得，将点代入，即可求出k；

（2）①如图，过A作轴于点，过作轴于点，交于点，求出，，得到CE，进一步可求出△ABC的面积；②设，．分情况讨论：ⅰ、当四边形为平行四边形时，ⅱ、当四边形为平行四边形时，计算即可．

【详解】（1）解：将点代入，得，，

将点代入，得，

反比例函数的解析式为．

（2）解：①如图，过A作轴于点，过作轴于点，交于点，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴．

②分两种情况：设，．

ⅰ、如图，当四边形为平行四边形时，

∵点向下平移1个单位、向右平移个单位得到点，

∴点向下平移1个单位，向右平移个单位得到点，

∴，，

∴．

ⅱ、如图，当四边形为平行四边形时，

∵点向上平移1个单位，向左平移个单位得到点，

∴点向上平移1个单位，向左平移个单位得到点，

∴，，

∴．

综上所述，符合条件的点坐标是和．

【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的综合，待定系数法求函数解析式，平行四边形的性质，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式，平行四边形的性质．

25．如图，已知抛物线经过和两点，直线与x轴相交于点C，P是直线上方的抛物线上的一个动点，轴交于点D．

(1)求该抛物线的表达式；

(2)若轴交于点E，求的最大值；

(3)若以A，P，D为顶点的三角形与相似，请直接写出所有满足条件的点P，点D的坐标．

【答案】(1)

(2)最大值为

(3)或，

【分析】（1）直接利用待定系数法，即可求出解析式；

（2）先求出点C的坐标为，然后证明，设点P的坐标为，其中，则点D的坐标为，分别表示出和，再由二次函数的最值性质，求出答案；

（3）根据题意，可分为两种情况进行分析：当∽时；当∽时；分别求出两种情况的点的坐标，即可得到答案．

【详解】（1）解：∵抛物线经过和两点，

∴

解得：，，

∴抛物线的表达式为．

（2）解：∵，

∴直线表达式为，

∵直线与x轴交于点C，

∴点C的坐标为，

∵轴，轴，

∴，

∴，

∴，

则，

设点P的坐标为，其中，

则点D的坐标为，

∵，

∴，

∵，

∴当时，有最大值，且最大值为．

（3）解：根据题意，

在一次函数中，令，则，

∴点C的坐标为（2，0）；

当∽时，如图

此时点D与点C重合，

∴点D的坐标为（2，0）；

∵轴，

∴点P的横坐标为2，

∴点P的纵坐标为：，

∴点P的坐标为（2，3）；

当∽时，如图，则，

设点，则点P为，

∴，

∵，

∴，，

∴，

∴，

∴点D的坐标为，点P的坐标为；

∴满足条件的点P，点D的坐标为或，．

【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，坐标与图形，相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质，二次函数的图像和性质，运用数形结合的思想进行分析．