吉林省松原市前郭尔罗斯蒙古族自治县新庙镇中学2021-2022学年九年级下学期第一次月考数学试题（含答案）

吉林省松原市前郭尔罗斯蒙古族自治县新庙镇中学2021-2022学年九年级下学期第一次月考数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．下列各点中，在反比例函数的图象上的是（　　）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据反比例函数解析式逐项进行判断即可．

【详解】解：A、∵，

∴点不在反比例函数图象上，故A不符合题意；

B、∵，

∴点在反比例函数图象上，故B符合题意；

C、∵，

∴点不在反比例函数图象上，故C不符合题意；

D、∵，

∴点不在反比例函数图象上，故D不符合题意．

故选：B．

【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数点的坐标特点．

2．抛物线 的顶点坐标是（　　）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据顶点式解析式写出顶点坐标即可得解．

【详解】解：因为抛物线是顶点式，

根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标是．

故选：D．

【点睛】本题考查了二次函数的性质，主要利用顶点式解析式求顶点坐标，是基础题，需熟记．

3．一次函数的图象经过点A，且y随x的增大而减小，则点A的坐标可以是（　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】分别将四个选项中点的坐标代入函数解析式，求出k的值，根据一次函数的增减性进行判断即可．

【详解】解：A、当点A的坐标为时，，

解得：，

∴y随x的增大而减小，选项A符合题意；

B、当点A的坐标为时，，

解得：，

∴y随x的增大而增大，选项B不符合题意；

C、当点A的坐标为时，，

解得：，

∴y随x的增大而增大，选项C不符合题意；

D、当点A的坐标为时，，

解得：，

∴y随x的增大而增大，选项D不符合题意．

故选：A．

【点睛】本题主要考查了一次函数的增减性，求一次函数解析式，解题的关键是熟练掌握一次函数的增减性，一次函数，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小．

4．如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣1，m）在直线y=2x+3上，连结OA，将线段OA绕点O顺时针旋转90°，点A的对应点B恰好落在直线y=﹣x+b上，则b的值为（　　）

A．﹣2 B．1 C． D．2

【答案】D

【分析】先把点A 坐标代入直线y=2x+3，得出 m 的值，然后得出点 B 的坐标，再代入直线 y =- x + b 解答即可．

【详解】把点A代入直线y=2x+3，可得m=－2+3=1，因此A（-1，1），

OA绕点O顺时针旋转90°，

B为（1，1），

把点B代入直线y=-x+b可求得b=2．

故选：D

【点睛】此题考查一次函数问题，关键是根据代入法解解析式进行分析．

5．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC的顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，∠ABC=90°，CA⊥x轴，点C在函数y=（x＞0）的图象上，若AB=2，则k的值为（　　）

A．4 B．2 C．2 D．

【答案】A

【分析】作BD⊥AC于D，如图，先利用等腰直角三角形的性质得到AC=AB=2，BD=AD=CD=，再利用AC⊥x轴得到C（，2），然后根据反比例函数图象上点的坐标特征计算k的值．

【详解】解：作BD⊥AC于D，如图，

∵△ABC为等腰直角三角形，

∴AC=AB=2，

∴BD=AD=CD=，

∵AC⊥x轴，

∴C（，2），

把C（，2）代入y=得k=×2=4，

故选A．

【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k是解题的关键．

6．如图，在平面直角坐标系中，点A在第二象限，以A为顶点的抛物线经过原点，与x轴负半轴交于点B，对称轴为直线，点C在抛物线上，且位于点A，B之间（点C不与点A，B重合），若的周长为3，则四边形的周长为（　　）

A．4 B．5 C．6 D．7

【答案】B

【分析】先根据抛物线的对称轴为直线，得出，抛物线的对称性得出，根据的周长为3，即可得出答案．

【详解】解：如图，

∵对称轴为直线，抛物线经过原点、x轴负半轴交于点B，

∴，

∵的周长为3，

∴，

∵由抛物线的对称性知，

∴，

∴四边形的周长为：，故B正确．

故选：B．

【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是求出，根据对称性得出．

二、填空题

7．将抛物线向下平移2个单位，所得抛物线的表达式是______．

【答案】

【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．

【详解】解：将抛物线y＝x2向下平移2个单位后所得新抛物线的表达式为y＝x2-2．

故答案是：y＝x2-2．

【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答本题的关键．

8．如果正比例函数的图像经过第一、三象限，那么的值随着的值增大而__________．（填“增大”或“减小”）

【答案】增大

【分析】根据题目信息，正比例函数的图像经过第一、三象限，可得k的值大于0，即可得出结论．

【详解】根据正比例函数的性质可知，

如果正比例函数y=kx的图像经过第一、三象限，那么k>0，

那么y的值随自变量x的值增大而增大．

故答案为：增大．

【点睛】本题考查正比例函数的性质，属于基础题，熟练掌握正比例函数的性质即可解题．

9．如图，直线y＝kx+b（k、b是常数k≠0）与直线y＝2交于点A（4，2），则关于x的不等式kx+b＜2的解集为_____．

【答案】x＜4

【分析】结合函数图象，写出直线在直线y＝2下方所对应的自变量的范围即可．

【详解】解：∵直线y＝kx+b与直线y＝2交于点A（4，2），

∴x＜4时，y＜2，

∴关于x的不等式kx+b＜2的解集为：x＜4．

故答案为：x＜4．

【点睛】本题考查的是利用函数图像解不等式，理解函数图像上的点的纵坐标的大小对图像的影响是解题的关键．

10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+3与y轴交于点A，过点A与x轴平行的直线交抛物线于点B，C，则BC的长为________．

【答案】6

【分析】先由y轴上点的横坐标为0求出A点坐标为（0，2），再将y=3代入，求出x的值，得出B、C两点的坐标，进而求出BC的长度．

【详解】∵抛物线y=ax2+3与y轴交于点A，

∴A点坐标为（0，3）．

当y=3时，，解得x=±3．

∴B点坐标为（﹣3，3），C点坐标为（3，3）．

∴BC=3﹣（﹣3）=6．

【点睛】本题考查了抛物线与x轴交点问题以及二次函数图象上点的坐标特征，两函数交点坐标的求法，平行于x轴上的两点之间的距离，比较简单．

11．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，轴于点B，点C是线段上的点，连接，点P在线段上，且，函数的图象经过点P，当点C在线段上运动时，k的值可能为_____（写出一个即可）．

【答案】2（答案不唯一）

【分析】设，过P做轴于点D，由，用表示P点坐标，再求得关于的解析式，最后由不等式的性质求得的取值范围．

【详解】解：∵点A的坐标为，轴于点B，

∴，，

设，过P作轴于点D，

则，，，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，，

∴

∴ ，

把代入函数中，得，

∵，

∴，

故答案为：2（答案不唯一）．

【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质，不等式的性质，关键是求出关于的解析式．

12．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为．若抛物线（、为常数）与线段交于、两点，且，则的值为_________．

【答案】

【分析】根据题意，可以得到点的坐标和的值，然后将点的坐标代入抛物线的解析式，即可得到的值，本题得以解决．

【详解】解：点的坐标为，点的坐标为，

，

抛物线、为常数）与线段交于、两点，且，

设点的坐标为，则点的坐标为，，

抛物线，

解得，．

【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．

13．图中正比例函数和反比例函数的图象相交于A、B两点，分别以A、B两点为圆心，画出与y轴相切的两个圆，若点A的坐标为(1，2)，则图中两个阴影面积的和是____.

【答案】π

【详解】分析：由双曲线关于原点对称可将阴影部分合成圆A，根据点A的坐标及切线的性质得出圆A的半径，最后利用圆的面积公式即可求出答案.

详解：∵点A的坐标为(1,2)，且⊙A与y轴相切，

∴⊙A的半径为1，

∵点A和点B是正比例函数与反比例函数的图象的交点，

∴点B的坐标为(−1,−2)，

同理得到⊙B的半径为1，

∴⊙A与⊙B关于原点中心对称，

∴⊙B的阴影部分与⊙A空白的部分完全重合，

∴图中两个阴影部分面积的和=π⋅12=π.

故答案为π.

点睛：本题考查了圆的切线的性质、反比例函数图象的对称性等知识.利用中心对称将两个阴影部分的面积转化为圆A的面积是解题的关键.

14．甲、乙两个水桶内水面的高度y(cm)与放水(或注水)的时间x(分)之间关系的图象如图所示，当两个水桶内水面的高度相同时，x约为_______分．(精确到0.1分)

【答案】2.7

【详解】如图所示，两个函数图象的交点的横坐标约为：2.7，所以当两个水桶内水面的高度相同时，时间约为2.7分钟.

故答案为2.7.

点睛：两个函数图象交点的横坐标就是两个水桶中水面高度相同的时间.

三、解答题

15．如图，在平面直角坐标系中，直线l经过点A（0，1）、B（﹣2，0）．

（1）求直线l所对应的函数表达式．

（2）若点M（3，m）在直线l上，求m的值．

【答案】（1）y＝+1;（2）m＝.

【分析】（1）用待定系数法即可求出直线的表达式；

（2）将点M代入求出的表达式中即可得出答案.

【详解】解：（1）设直线l的解析式为y＝kx+b，

∵直线l经过点A（0，1）、B（﹣2，0），

∴，解得，

∴直线l所对应的函数表达式为；

（2）∵点M（3，m）在直线l上，

∴

【点睛】本题主要考查待定系数法求一次函数的解析式及求一点的函数值，掌握待定系数法是解题的关键.

16．如图，直线l与x轴、y轴分别交于A，B两点，且与反比例函数的图象交于点C，若，求反比例函数的解析式．

【答案】

【分析】作轴于D，设．由，根据三角形的面积公式得出．根据三角形的中位线定理即可表示出点C的坐标，把点C坐标代入反比例函数即可求得k．

【详解】解：如图，作轴于D，设．

∵，

∴．

∵的面积为1，

∴，

∴，

∵，

∴，，

∴，

∵反比例函数的图象经过点C，

∴．

∴反比例函数的解析式为．

【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，熟练掌握相关知识是解题的关键．

17．已知：抛物线与轴交于点，点和点关于抛物线对称轴对称．

（1）求此抛物线的解析式和点的坐标；

（2）如果点是抛物线的对称轴与轴的交点，求的面积．

【答案】（1），；（2）2

【解析】（1）将C点坐标代入解析式，得m的值，求出点D坐标即可．

（2）由（1）知点C、D的坐标，求出三角形的底和高，计算求解即可．

【详解】解：（1）抛物线与轴交于点

将代入抛物线，

得

此抛物线的解析式为

抛物线的解析式为

抛物线的对称轴为直线

点与关于抛物线的对称轴对称，

点的坐标为

（2）抛物线的对称轴为直线

∵，

∴CD=2．

的面积为：．

【分析】本题主要考查了抛物线的性质和三角形的面积公式，正确掌握抛物线的性质和三角形的面积公式是解题的关键．

18．如图，中，，轴于点P，点B的坐标为，反比例函数的图象经过点A．

(1)求k的值；

(2)将沿x轴向右平移1个单位长度至处，求反比例函数的图象与的交点Q的坐标；

(3)直接写出阴影部分的面积．

【答案】(1)2；

(2)；

(3)．

【分析】（1）根据等腰三角形的性质，得到，再利用点B 坐标得到点A坐标，即可求出的值；

（2）将代入反比例函数中，即可求出点Q坐标；

（3）根据平移的性质易证，得到，即可求出阴影部分的面积．

【详解】（1）解：在中，，轴于点P，

，

点B的坐标为，

，

反比例函数的图象经过点A，

；

（2）解：由题意可知，Q点的横坐标为3，

反比例函数解析式为，

把代入反比例函数得，，

；

（3）解：由平移的性质可知，，，，

，

，

，，，

，

．

【点睛】本题考查了反比例函数的性质，等腰三角形的性质，平移的性质，相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．

19．一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，图中的折线表示两车之间距离与慢车行驶时间之间的函数关系图象，请根据图象提供的信息回答：

（1）快车的速度是______．

（2）求线段BC所表示的函数关系式．

（3）若在第一列快车与慢车相遇时，第二列快车从乙地出发驶往甲地，速度与第一列快车相同，直接写出第二列快车出发多长时间与慢车相距．

【答案】（1）160；（2）；（3）1.5

【分析】（1）根据图象即可看出甲乙两地之间的距离，根据图可知快车行驶的时间是6h，根据速度公式求出速度即可；

（2）设线段BC所表示的y与x之间的函数关系式为y=kx+b，根据所显示的数据求出B和C的坐标，代入求出即可；

（3）分为两种情况：①设第二列快车出发ah，与慢车相距200km，根据题意得出方程4×80+80a-200=160a，求出即可；

②第二列快车追上慢车以后再超过慢车200km，设第二列快车出发ah，与慢车相距200km，则160a-80a=4×80+200，求出即可．

【详解】解：（1）由图象可知，甲、乙两地之间的距离是960km；

图中点C的实际意义是：当慢车行驶6 h时，快车到达乙地；

慢车的速度是：960km÷12h=80km/h；

快车的速度是：960km÷6h=160km/h；

故答案为：160km/h；

（2）根据题意，两车行驶960km相遇，所用时间为=4（h），

所以点B的坐标为（4，0），两小时两车相距2×（160+80）=480（km），

所以点C的坐标为（6，480）．

设线段BC所表示的y与x之间的函数关系式为y=kx+b，把（4，0），（6，480）代入得

，

解得．

所以，线段BC所表示的y与x之间的函数关系式为y=240x-960，自变量x的取值范围是4≤x≤6．

（3）分为两种情况：①设第二列快车出发ah，与慢车相距200km，

则4×80+80a-200=160a，

解得：a=1.5，

即第二列快车出发1.5h，与慢车相距200km；

②第二列快车追上慢车以后再超过慢车200km．

设第二列快车出发ah，与慢车相距200km，

则160a-80a=4×80+200，得a=6.5＞6，（因为快车到达甲地仅需6小时，所以a=6.5舍去）

综合这两种情况得出：第二列快车出发1.5h，与慢车相距200km．

【点睛】本题考查了一次函数的应用，解此题的关键是能根据题意得出关系式，即把实际问题转化成数学式子来表示出来，题目综合比较强，是一道有一定难度的题目．

20．给定一个函数，如果函数的图象上存在一个点，它的横、纵坐标相等，那么这个点叫做给定函数的不动点．

(1)求一次函数的不动点坐标；

(2)如图1，二次函数的两个不动点分别为P、Q（点P在点Q的左侧），将点P绕点Q逆时针旋转得到点R，求点R的坐标；

(3)如图2，二次函数的两个不动点的坐标分别为，．

①求a，b的值；

②若C为一次函数的不动点，以线段为边向下作正方形，当D，E两点中只有一个点在二次函数的图象上时，直接写出m的值．

【答案】(1)；

(2)；

(3)①；②或或

【分析】（1）根据不动点的定义，令，得到，解方程即可；

（2）先根据不动点的定义求出点P和点Q的坐标，再根据旋转得出轴，，作，求出即可；

（3）①利用待定系数法求解；②先根据不动点的定义求出，再分C点在A点上方和C点在A点下方两种情况，求出点E和点D坐标，代入二次函数解析式，解关于m的一元二次方程即可．

【详解】（1）解：当时，，

解得，

一次函数的不动点坐标为；

（2）解：当时，，

解得，，

点P在点Q的左侧，

，，

由题意可知点P和点Q在直线上，

与x轴正方向的夹角为，

点P绕点Q逆时针旋转得到点R，

轴，，

如图1，作，

则，

R点的横坐标为，

R点的坐标为；

（3）解：①把，代入，

得，

解得，

抛物线的解析式为；

②当时，，

解得，则，点C在直线上，

当C点在A点上方时，如图2，

四边形为正方形，

把C点绕A点顺时针旋转得到E点，则，

把A点绕C点逆时针旋转得到D点，则，

当在抛物线上，

则，整理得，

解得，（舍去），

当在抛物线上，

则，整理，

解得，（舍去）；

当C点在A点下方时，如图3，

把C点绕A点顺时针旋转得到E点，则，

当点在抛物线上，

则，整理得，

解得，（舍去），

综上所述，m的值为或或．

【点睛】本题属于二次函数综合题，考查解一元二次方程，旋转的性质，等腰直角三角形的性质，待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征等，第3问难度较大，解题的关键是用含m的代数式表示出点E和点D的坐标．