江西省九江市2022-2023学年九年级上学期期末数学试卷+

这是一份江西省九江市2022-2023学年九年级上学期期末数学试卷+，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列四边形中，对角线垂直且相等的是( )
A. 菱形B. 矩形C. 平行四边形D. 正方形
2.下列在反比例函数y=6x图象上的点是( )
A. (−1,−6)B. (2,4)C. (6,6)D. (−1,6)
3.如图①，用一个平面截长方体，得到如图②的几何体，它在我国古代数学名著《九章算术》中被称为“堑堵”.图②“堑堵”的俯视图是( )
A.
B.
C.
D.
4.已知线段a，b，c，求作线段x，使x=acb，下列作法中正确的是( )
A. B.
C. D.
5.根据表格中二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数值y的对应值，可以判断方程ax2+bx+c=0的一个解x的范围是( )
A. 06.已知：如图，直线y1=kx+1与双曲线y2=2x在第一象限交于点P(1,t)，与x轴、y轴分别交于A，B两点，则下列结论错误的是( )
A. t=2B. △AOB是等腰直角三角形
C. k=1D. 当x>1时，y2>y1
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
7.一元二次方程x2−4=0的解是 ．
8.如图，菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AB=2 5cm，AC=4cm，则BD的长为______cm．
9.如图所示的电路图，同时闭合两个开关能形成闭合电路的概率是______．
10.如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，相似比为2：3.若△ABC的周长为4，则△DEF的周长是______．
11.如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=3，E、F分别是边AB、CD的中点，点P是AD上一点，∠PFB=3∠FBC，则AP的长为______．
12.在边长为3的正方形ABCD中，点E、F在正方形不同的边上，且与点A构成等腰三角形.若等腰三角形AEF的底边长为2 2，则等腰三角形AEF的腰长是______．
三、计算题：本大题共1小题，共3分。
13.解方程：x2−2x−3=0．
四、解答题：本题共11小题，共81分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.(本小题3分)
如图，平行四边形ABCD中，AC平分∠BAD.求证：四边形ABCD是菱形．
15.(本小题6分)
已知关于x的一元二次方程x2−mx−1=0．
(1)请说明无论m为何实数，该方程总有两个实数根；
(2)如果方程的一个实数根为1，求m值及另一根．
16.(本小题6分)
如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连接DE，EF，已知四边形BFED是平行四边形，DEBC=14，若△ADE的面积为1，求平行四边形BFED的面积．
17.(本小题6分)
请用学过的方法研究一类新函数y=k|x|(k为常数，k≠0)的图象和性质．
(1)在给出的平面直角坐标系中画出函数y=6|x|的图象；
(2)对于函数y=k|x|，当自变量x的值增大时，函数值y怎样变化？
18.(本小题6分)
按要求作出菱形(仅用无刻度的直尺作图，保留作图痕迹，不写作法)．

(1)如图1，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，AD的中点，以EF为边作出一个菱形；
(2)如图2，在正方形ABCD中，E是对角线BD上任意一点(BE>DE)，以AE为边作出一个菱形．
19.(本小题8分)
如图，线段DE与AF分别为△ABC的中位线与中线．
(1)求证：AF与DE互相平分；
(2)当线段AF与BC满足怎样的数量关系时，四边形ADFE为矩形？请说明理由．
20.(本小题8分)
第十四届国际数学教育大会(ICME−14)会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745.八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0～7共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是3×83+7×82+4×81+5×80=2021，表示ICME−14的举办年份．
(1)八进制数3746换算成十进制数是______；
(2)小华设计了一个n进制数143，换算成十进制数是120，求n的值．
21.(本小题8分)
某校为落实“双减”工作，增强课后服务的吸引力，充分用好课后服务时间，为学有余力的学生拓展学习空间，成立了5个活动小组(每位学生只能参加一个活动小组)：A.音乐；B.体育；C.美术；D.阅读；E.人工智能．为了解学生对以上活动的参与情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．
根据图中信息，解答下列问题：
(1)①此次调查一共随机抽取了______名学生；
②补全条形统计图(要求在条形图上方注明人数)；
③扇形统计图中圆心角α=______度；
(2)若该校有3200名学生，估计该校参加D组(阅读)的学生人数；
(3)刘老师计划从E组(人工智能)的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两人参加市青少年机器人竞赛，请用树状图法或列表法求出恰好抽中甲、乙两人的概率．
22.(本小题9分)
如图，是小亮晚上在广场散步的示意图，图中线段AB表示站立在广场上的小亮，线段PO表示直立在广场上的灯杆，点P表示照明灯的位置．

(1)在小亮由B处沿BO所在的方向行走到达O处的过程中，他在地面上的影子长度的变化情况为______；
(2)请你在图中画出小亮站在AB处的影子；
(3)当小亮离开灯杆的距离OB=4.2m时，身高(AB)为1.6m的小亮的影长为1.6m，问当小亮离开灯杆的距离OD=6m时，小亮的影长是多少m？
23.(本小题9分)
某品牌饮水机中原有水的温度为20℃，通电开机后，饮水机自动开始加热(此过程中水温y℃与开机时间x分满足一次函数关系)，当加热到100℃时自动停止加热，随后水温开始下降(此过程中水温y℃与开机时间x分成反比例关系)，当水温降至20℃时，饮水机又自动开始加热，…，重复上述程序(如图所示)，
(1)分别求出0(2)两次加热之间，水温保持不低于40℃有多长时间？
(3)开机后50分钟时，求水的温度是多少℃？
24.(本小题12分)
初识图形
(1)如图1，E、F分别为正方形CD边和BC边上的点，连接AE、DF，且AE⊥DF.则AEDF= ______．
(2)如图2，矩形ABCD中，点E、F分别在边AB、CD上，连接BD、EF，且BD⊥EF，AB=3，AC=5，则EFBD= ______．
类比探究
(3)如图3，Rt△ABC中，D、F分别为AC、BC边上的点，AB=6，AC=8，CD=3，连接BD，AF⊥BD交BD于点E.求CF长.请说明理由．
拓展应用
(4)如图4，在矩形ABCD中，E、F分别为AD和BC边上的一点，以EF为折痕，将四边形ABFE翻折，交DC于P和Q，A和B的翻折后的位置分别是H和G.AB=18，DP=6，EP=10，PQ=253.请直接写出折痕EF的长．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形，
故选：D．
利用对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形作出判断即可．
本题考查了等腰梯形、平行四边形、正方形及矩形的对角线的性质，牢记特殊的四边形的判定定理是解决此类问题的关键．
2.【答案】A
【解析】解：A、∵(−1)×(0−6)=6，∴此点在此函数的图象上，符合题意；
B、∵2×4=8≠6，∴此点不在此函数的图象上，不符合题意；
C、∵6×6=36≠6，∴此点不在此函数的图象上，不符合题意
D、∵(−1)×6=−6≠6，∴此点不在此函数的图象上，不符合题意．
故选：A．
把各点代入反比例函数的解析式进行检验即可．
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：图②“堑堵”从上面看，是一个矩形，
故选：C．
根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图．
4.【答案】D
【解析】解：A、根据平行线的性质得ba=xc，故x=bca，故此选项错误；
B、根据平行线的性质得ba=xc，故x=bca，故此选项错误；
C、根据平行线的性质得ba=xc，故x=bca，故此选项错误；
D、根据平行线的性质得ba=cx故x=acb，故此选项正确．
故选：D．
根据平行线的性质一一分析．
本题主要考查了利用平行线的性质画图的方法．
5.【答案】B
【解析】解：观察表格可知：当x=0.5时，y=−0.5；当x=1时，y=1，
∴方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数)的一个解x的范围是0.5故选：B．
利用二次函数和一元二次方程的性质求解．
本题考查了用图象法求一元二次方程的近似根，解题的关键是找到y值由负变为正时，自变量x的取值即可．
6.【答案】D
【解析】【分析】
利用待定系数法求得t，k，利用直线的解析式求得A，B的坐标，可得线段OA，OB的长度，利用图象可以判断函数值的大小．
本题主要考查了一次函数的图象与反比例函数图象的交点问题，待定系数法，数形结合．利用待定系数法求得函数的解析式是解题的关键．
【解答】
解：∵点P(1,t)在双曲线y2=2x上，
∴t=21=2，正确；
∴A选项不符合题意；
∴P(1,2)．
∵P(1,2)在直线y1=kx+1上，
∴2=k+1．
∴k=1，正确；
∴C选项不符合题意；
∴直线AB的解析式为y=x+1
令x=0，则y=1，
∴B(0,1)．
∴OB=1．
令y=0，则x=−1，
∴A(−1,0)．
∴OA=1．
∴OA=OB．
∴△OAB为等腰直角三角形，正确；
∴B选项不符合题意；
由图像可知，当x>1时，y1>y2．
∴D选项不正确，符合题意．
故选：D．
7.【答案】x=±2
【解析】【分析】
本题主要考查了解一元二次方程−直接开平方法，属于基础题．
解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2=a(a≥0)的形式，利用数的开方直接求解．
【解答】
解：移项得x2=4，
∴x=±2．
故答案：x=±2．
8.【答案】8
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，AC=4cm，
∴AC⊥BD，BO=DO，AO=CO=2cm，
∵AB=2 5cm，
∵BO= AB2−AO2=4cm，
∴DO=BO=4cm，
∴BD=8cm，
故答案为：8．
由菱形的性质可得AC⊥BD，BO=DO，由勾股定理可求BO，即可求解．
本题考查了菱形的性质，勾股定理，掌握菱形的性质是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：把S1、S2、S3分别记为A、B、C，
画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中同时闭合两个开关能形成闭合电路的结果有4种，即AB、AC、BA、CA，
∴同时闭合两个开关能形成闭合电路的概率为=，
故答案为：．
画树状图，共有6种等可能的结果，其中同时闭合两个开关能形成闭合电路的结果有4种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
10.【答案】6
【解析】解：∵△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，相似比为2：3．
∴△ABC的周长：△DEF的周长=2：3，
∵△ABC的周长为4，
∴△DEF的周长=6，
故答案为：6．
利用相似三角形的性质求解即可．
本题考查位似变换，相似三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
11.【答案】53
【解析】解：如图，连接AF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C=∠D=90°，AD//BC，AB/​/CD，
∵E、F分别是边AB、CD的中点，
∴AE=EB，DF=FC，
∴AE=DF，BE=CF，
∴四边形AEFD、四边形BCFE是平行四边形，
∵∠D=∠C=90°，
∴四边形AEFD、四边形BCFE都是矩形，
∴EF/​/AD/​/BC，∠AEF=90°，
∴EF⊥AB，
∵AE=EB，
∴FA=FB，∠AFE=∠EFB，
∵EF/​/BC/​/AD，
∴∠EFB=∠FBC，∠DAF=∠AFE，
∵∠PFB=3∠FBC，
∴∠PFA=∠PAF，
∴PA=PF，
设PA=PF=x，
在Rt△PDF中，由勾股定理得：PF2=PD2+DF2，
即x2=(3−x)2+12，
解得：x=53，
即AP的长为53，
故答案为：53．
连接AF.证明PA=PF，设PA=PF=x，在Rt△PDF中，利用勾股定理，构建方程即可解决问题．
本题考查矩形的性质、等腰三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是证明△PAF是等腰三角形，属于中考常考题型．
12.【答案】2或 10或 11
【解析】解：①如图1中，当AE=AF，EF=2 2时，易知AE=AF=2．
②如图2中，当AE=AF，EF=2 2时，CE=CF=2，BE=DF=1，AE=AF= 32+12= 10．
③如图3中，当FA=EF，AE=2 2时，作FG⊥AE于G，则四边形AGFD是矩形，AD=FG=3，
∵FA=FE，FG⊥AE，
∴AG= 2，
在Rt△AFG中，AF=EF= ( 2)2+32= 11，
综上所述，腰三角形AEF的腰长是2或 10或 11．
故答案为2或 10或 11．
分三种情讨论即可①如图1中，当AE=AF，EF=2 2时．②如图2中，当AE=AF，EF=2 2时．③如图3中，当FA=EF，AE=2 2时．
本题考查正方形的性质、等腰三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
13.【答案】解：将原方程左边分解因式，得
(x−3)(x+1)=0，
∴x−3=0或x+1=0，
∴x1=3，x2=−1．
【解析】【分析】
先将原方程左边分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出两个一元一次方程的解即可．
【点评】
本题考查了解一元二次方程−因式分解法，把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．
14.【答案】证明：∵在平行四边形ABCD中，AB/​/CD，
∴∠DCA=∠BAC，
∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC=∠BAC，
∴∠DAC=∠DCA，
∴AD=CD，
∴四边形ABCD是菱形．
【解析】根据AD//BC，AC平分∠BAD，我们可得出：∠DAC=∠DCA，AD=CD，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可证得结论．
本题主要考查了菱形的判定．菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：①定义，②四边相等，③对角线互相垂直平分．
15.【答案】解：(1)∵Δ=(−m)2−4×1×(−1)
=m2+4>0，
∴无论m为何值，方程总有两个实数根；
(2)把x=1代入方程得：1−m−1=0，
解得：m=0，
∴x2−1=0，
设方程x2−1=0的另一根是x2，
∴1+x2=0，
∴x2=−1，
∴另一根为−1．
【解析】(1)表示出根的判别式，判断其值大于0，即可得证；
(2)把x=1代入方程求出m的值，设方程x2−1=0的另一根是x2，根据根与系数的关系得1+x2=0，即可求出答案．
此题考查根的判别式和根与系数的关系，设x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数)的两个实数根，则x1+x2=−ba，x1⋅x2=ca．
16.【答案】解：∵四边形BFED是平行四边形，
∴DE/​/BF，
∴DE/​/BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴S△ADES△ABC=(DEBC)2=(14)2=116，
∵△ADE的面积为1，
∴△ABC的面积是16，
∵四边形BFED是平行四边形，
∴EF//AB，
∴△EFC∽△ABC，
∴S△EFCS△ABC=(34)2=916，
∴△EFC的面积=9，
∴平行四边形BFED的面积=16−9−1=6．
【解析】证明△ADE∽△ABC，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方可得△ABC的面积是16，同理可得△EFC的面积=9，根据面积差可得答案．
本题主要平行四边形的性质，相似三角形的性质和判定，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题关键．
17.【答案】
(1)x>0，函数为y=6x，当x<0时，函数为y=−6x，画图即可；
(2)若k>0，当x<0时，y随x的增大而增大，当x>0时，y随x的增大而减小；若k<0，当x<0时，y随x的增大而减小，当x>0时，y随x的增大而增大．
【解析】(1)x>0，函数为y=6x，当x<0时，函数为y=−6x，画图即可；
(2)若k>0，当x<0时，y随x的增大而增大，当x>0时，y随x的增大而减小；若k<0，当x<0时，y随x的增大而减小，当x>0时，y随x的增大而增大．
本题考查的是反比例函数图象问题，涉及到函数的绝对值，只要分x>0和x<0讨论即可求解．
18.【答案】解：如图1所示：四边形EFGH即为所求的菱形；

(2)如图2，四边形AFCE即为所求的菱形．

【解析】(1)连接AC，BD交于点O，连接OE，延长EO交CD于G，连接FO，延长FO交AD于H，连接EH，GH，FG，四边形EFGH即为所求作；
(2)连接AC交BD于O，延长AE交CD于M，连接MO，延长MO交AB于N，连接CN交BD于F，连接CE，AF，CF，四边形AECF即为所求作．
本题考查作图−复杂作图，矩形的性质，正方形的性质，菱形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
19.【答案】(1)证明：∵点D是AB的中点，
∴AD=12AB，
∵点E是AC的中点，点F是BC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF//AB，EF=12AB，
∴EF=AD，
∴四边形ADFE是平行四边形，
∴AF与DE互相平分；
(2)解：当AF=12BC时，四边形ADFE为矩形，
理由：∵线段DE为△ABC的中位线，
∴DE=12BC，
∵AF=12BC，
∴AF=DE，
由(1)得：四边形ADFE是平行四边形，
∴四边形ADFE为矩形．
【解析】本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定，三角形的中位线定理，三角形的中线，熟练掌握三角形的中位线定理，以及矩形的判定是解题的关键．
(1)根据线段中点的定义可得AD=12AB，根据三角形的中位线定理可得EF/​/AB，EF=12AB，从而可得EF=AD，进而可得四边形ADFE是平行四边形，然后利用平行四边形的性质即可解答；
(2)当AF=12BC时，四边形ADFE为矩形，再根据三角形的中位线定理可得DE=12BC，从而可得AF=DE，然后利用(1)的结论即可解答．
20.【答案】解：(1)2022；
(2)依题意有：n2+4×n1+3×n0=120，
解得n1=9，n2=−13(舍去)．
故n的值是9．
【解析】【分析】
本题主要考查一元二次方程，因式分解的应用，有理数的混合运算，解题的关键是弄清各个进制数转化为十进制数的计算方法．
(1)根据已知，从个位数字起，将二进制的每一位数分别乘以80，81，82，83，再把所得结果相加即可得解；
(2)根据n进制数和十进制数的计算方法得到关于n的方程，解方程即可求解．
【解答】
解：(1)3746=3×83+7×82+4×81+6×80
=1536+448+32+6
=2022．
故八进制数字3746换算成十进制是2022．
故答案为：2022；
(2)见答案．
21.【答案】解：(1)①200；
②C组的人数为：200−30−50−70−20=30(名)，
补全条形统计图如下：
③54；
(2)3200×70200=1120(名)，
答：估计该校参加D组(阅读)的学生人数为1120名；
(3)画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好抽中甲、乙两人的结果有2种，
∴恰好抽中甲、乙两人的概率为212=16．
【解析】解：(1)①此次调查一共随机抽取的学生人数为：50÷25%=200(名)，
故答案为：200；
②C组的人数为：200−30−50−70−20=30(名)，
补全条形统计图如下：
③扇形统计图中圆心角α=360°×30200=54°，
故答案为：54；
(2)3200×70200=1120(名)，
答：估计该校参加D组(阅读)的学生人数为1120名；
(3)画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好抽中甲、乙两人的结果有2种，
∴恰好抽中甲、乙两人的概率为212=16．
(1)①由B组的人数除以所占百分比即可；
②求出C组的人数，补全条形统计图即可；
③由360°乘以C组所占的比例即可；
(2)由该校共有学生人数乘以参加D组(阅读)的学生人数所占的比例即可；
(3)画树状图，共有12种等可能的结果，其中恰好抽中甲、乙两人的结果有2种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图等知识．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
22.【答案】(1)变短；
(2)如图所示，BE即为所求；
(3)
先设OP=x米，则当OB=4.2米时，BE=1.6米，
∴ABOP=BEOE，即1.6x=1.64.2+1.6，
∴x=5.8；
当OD=6米时，设小亮的影长是y米，
∴DFDF+OD=CDOP，
∴y6+y=1.65.8，
∴y=167．
即小亮的影长是167米．
【解析】【分析】
本题考查的是中心投影，解答此题的关键是根据题意画出图形，根据中心投影的性质解答．
(1)根据光是沿直线传播的道理可知在小亮由B处沿BO所在的方向行走到达O处的过程中，他在地面上的影子长度的变化情况为变短；
(2)连接PA并延长交直线BO于点E，则线段BE即为小亮站在AB处的影子；
(3)根据中心投影的性质，灯的光线与人、灯杆、地面形成的两个直角三角形相似解答即可．
【解答】
解：(1)因为光是沿直线传播的，所以当小亮由B处沿BO所在的方向行走到达O处的过程中，他在地面上的影子长度的变化情况为变短；
(2)(3)见答案．
23.【答案】解：(1)当0依据题意，得b=208k+b=100，
解得b=20k=10，
故此函数解析式为：y=10x+20；
当8依据题意，得：100=m8，即m=800，故y=800x，
当y=20时，20=800t，
解得：t=40；
(2)当y=40时，40=10x+20，
解得：x=2；
当y=40时，40=800x，
解得：x=20；
则两次加热之间，水温保持不低于40℃的时间为20−2=18(分)．
(3)∵50−40=10>8，
∴当x=10时，y=80010=80，
答：开机后50分钟时，水的温度是80℃．
【解析】(1)分别用待定系数法求解即可；把y=20代入所求反比例函数解析式中即可求得t的值；
(2)在y=10x+20中，令y=40，得x=2；在y=800x中，令y=40，得x=20，即可得两次加热之间水温保持不低于40℃的时间；
(3)由50−40=10>8，当x=10时，y=80010=80，即开机后50分钟时，水的温度．
本题是一次函数与反比例函数的综合，考查了待定系数法求函数解析式，已知函数值求自变量的值等知识，关键是读懂题意，列出函数关系式．
24.【答案】1 34
【解析】解：(1)∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ADE=∠DCF=90°，AD=DC，
∴∠DAE+∠AED=90°，
∵AE⊥DF，
∴∠DGE=90°，
∴∠AED+∠FDC=90°，
∴∠DAE=∠FDC；
在△ADE与△DCF中，
∠DAE=∠FDCAD=DC∠ADE=∠DCF，
∴△ADE≌△DCF(ASA)，
∴AE=DF，
∴AEDF=1，
故答案为：1；
(2)如图1，
作AH/​/EF，交BC于H，交BD于R，
∴AH⊥BD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，∠ABC=∠C=90°，BD=AC=5，CD=AB=3，
∴四边形AEFH是平行四边形，BC=4，
∴AH=EF，
同理(1)可得：△ABH∽△BCD，
∴AHBD=ABBC=34，
∴EFBD=34，
故答案为：34；
(3)如图2，
作FG⊥AC于G，设CF=5x，
∵∠C=∠C，∠CGF=∠BCA，
∴△CFG∽△CBA，
∴CFBC=FGAB=CGAC，
∴5x10=FG6=CG8，
∴FG=3x，CG=4x，
由(1)知：∠FAG=∠ABD，
∵∠AGF=∠BAC=90°，
∴△AGF∽△BAD，
∴AGAB=FGAD，
∴AG6=3x5，
∴AG=18x5，
由AG+CG=AC得，
185x+4x=8，
∴x=2019，
∴CF=5x=10019；
(4)如图3，
连接AH，作HW⊥BC，交BC的延长线于W，交AD的延长线于点X，作DV//EF，交BC于V，
则四边形ABWX是矩形，AH⊥EF，
∴△DVC∽△AHX，
∴DVAH=CDAX，
∵∠ADC=90°，DP=6，EP=10，
∴DE=8，
由折叠得，
∠EHG=∠BAD=90°，AE=EH，
∴∠EHG=∠ADC，
∵∠EPD=∠QPH，
∴△EDP∽△QHP，
∴PHPD=PQEP，
∴PH6=25310，
∴PH=5，
∴AE=EH=EP+PH=15，
∵∠X=∠ADC=90°，
∴PD//XH，
∴△EDP∽△EXH，
∴DPXH= EDEX=EPEH，
∴6XH=8EX=1015，
∴XH=9，EX=12，
∴AX=AE+EX=15+12=27，
⋅∴AH= XH2+AX2= 92+272=9 10，
∴DV9 10=1827，
∴DV=6 10，
∴EF=6 10．
(1)证明△ADE≌△DCF，得到AE=DF，进而得出结果；
(2)作AH/​/EF，交BC于H，交BD于R，可证得△ABH∽△BCD，从而得出AHBD=ABBC=34，进而得出结果；
(3)作FG⊥AC于G，设CF=5x，△CFG∽△CBA，CFBC=FGAB=CGAC，进而得出FG=3x，CG=4x，可证得△AGF∽△BAD，从而AGAB=FGAD，进而得出AG=18x5，由AG+CG=AC得，185x+4x=8，求得x的值，进一步得出结果；
(4)连接AH，作HW⊥BC，交BC的延长线于W，交AD的延长线于点X，作DV//EF，交BC于V，则四边形ABWX是矩形，AH⊥EF，△DVC∽△AHX，从而DVAH=CDAX，根据△EDP∽△QHP得出PHPD=PQEP，从而得出PH=5，宽容证得△EDP∽△EXH，从而DPXH= EDEX=EPEH，从而6XH=8EX=1015，求得XH和EX的值，进一步得出结果．
本题考查了正方形、矩形的性质，相似三角形的判定和性质，轴对称的性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形．x
0
0.5
1
1.5
2
y=ax2+bx+c
−1
−0.5
1
3.5
7