仿真卷01-2023年新高考数学必刷好题仿真模拟卷（新高考专用）

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绝密★启用并使用完毕前                           测试时间：        年    月    日    时    分——    时    分仿真卷01本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟一、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合，集合，若，则（  ）。A、B、C、D、【答案】A【解析】∵集合，集合，，∴，故选A。2．数系的扩张过程以自然数为基础，德国数学家克罗内克说“上帝创造了整数，其余都是人做的工作”，复数是由数学家在数系中规定了虚数而得到。若复数满足，则（  ）。A、B、C、D、【答案】B【解析】，故选B。3．某校有人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布（），试卷满分分，统计结果显示数学成绩优秀（高于分）的人数占总人数的，则此次数学考试成绩在分到分之间的人数约为（  ）。A、B、C、D、【答案】C【解析】∵数学成绩近似服从正态分布（）且数学成绩高于的人数占总人数的，∴数学成绩在分到分之间的人数占，∴数学成绩在分到分之间的人数占总人数的，∴数学成绩在分到分之间的人数约为人，故选C。4．化学上用溶液中氢离子物质的量浓度的常用对数值的相反数表示溶液的值，例如氢离子物质的量浓度为的溶液，因为，所以该溶液的值是。现有值分别为和的甲、乙两份溶液，将甲溶液与乙溶液混合，假设混合后两份溶液不发生化学反应且体积变化忽略不计，则混合溶液的值约为（  ）。参考数据：、、，结果精确到。A、B、C、D、【答案】C【解析】由题设甲乙两份溶液的量浓度为、，将甲溶液与乙溶液混合，混合溶液的量浓度为（），∴混合溶液的值为，故选C。5．若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（  ）。A、B、C、D、【答案】D【解析】关于的方程程有两个不相等的实数解，即是，的图像有两个交点，∵是以为圆心，为半径的上半圆，而是过定点的直线，由图可知，当直线在和之间时符合要求，当直线为时，当直线为时，有点到直线的距离等于半径可得（正值舍去），∴实数的取值范围是，故选D。6．设双曲线：的左、右焦点分别为、，过的直线与双曲线的左支交于点，与双曲线的渐近线在第一象限交于点，若，则的周长为（  ）。A、B、C、D、【答案】B【解析】∵，原点是中点，∴，∵双曲线：，∴，，∴，∴，可知渐近线，则，∴是等边三角形，，由勾股定理得，∵点在双曲线左支上，∴，∴的周长为，故选B。7．已知菱形，，将沿折起，使二面角的大小为，则三棱锥的体积为（  ）。A、B、C、D、【答案】B【解析】∵四边形为菱形，∴，又∵，∴为边长为的等边三角形，∴，在三棱锥中，设为中点，连接和，则，，∴是二面角的平面角，∴，，过点作平面垂线交平面于，即为三棱锥的高，又∵是等边三角形，则在上，则在中，，，故选B。8．直线（）与函数、的图像分别交于、两点，当最小时，为（  ）。A、B、C、D、【答案】C【解析】令，定义域为，则，令，解得，当时，，∴在上单调单减，当时，，∴在上单调单增，∴在处取得极小值也是最小值，∴，则直线与函数、的交点间距离，当且仅当时，最小，故选C。二、多选题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得分，有选错的得分，部分选对的得分。9．在的展开式中，下列说法正确的是（  ）。A、常数项为B、第项的二项式系数最大C、第项的系数最大D、所有项的系数和为【答案】BC【解析】在的展开式中，通项公式为，令，求得，可得展开式的常数项为，A选项错，当时，二项式系数最大，即第项的二项式系数最大，B选项对，由于第项的系数为要使该项系数最大，需为偶数，检验可得，当时，该项的系数最大为，C选项对，令可得各项系数和为，D选项错，故选BC。10．已知函数，则下列结论中正确的是（  ）。A、的图像是由的图像向左移个单位得到的B、在上单调递增C、的对称中心的坐标是（）D、函数在内共有个零点【答案】BCD【解析】A选项，函数，由的图像向左移个单位得到，错，B选项，由，，解得，，当时，，∴在上单调递增，对，C选项，当时，，∴的对称中心的坐标是（），对，D选项，函数的周期为，最大值为，∴函数在内共有个零点，对，故选BCD。11．已知数列的通项公式是，在和之间插入个数，使、、成等差数列；在和之间插入个数、，使、、、成等差数列；…；在和之间插入个数、、…、，使、、、…、、成等差数列。这样得到新数列：、、、、、、…，记数列的前项和为，则下列结论正确的是（  ）。A、B、C、D、【答案】ACD【解析】A选项，，对，B选项，，错，C选项，在数列中是第项，∴，对，D选项，，对，故选ACD。12．如果知道事件已发生，则该事件所给出的信息量称为“自信息”。设随机变量的所有可能取值为、、...、，且（），，定义的“自信息”为。一次掷两个骰子，若事件为“仅出现一个”，事件为“至少出现一个”，事件为“出现的两个数之和是偶数”，则（  ）。A、当时，“自信息” B、当时，C、事件的“自信息” D、事件的“自信息” 大于事件的“自信息” 【答案】AD【解析】A选项，时，，对，B选项，，则，即，错，C选项，对于事件C，两个数之和为偶数的情况有：、、、、、、、、、、，共种，总的可能为：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，共种，，，错，D选项，，，∴，∴，即，对，故选AD。三、填空题：本题共小题，每小题分，共分。13．设等差数列的前项和为。若，则的值为          。【答案】【解析】等差数列中，∴，即，∴。14．能够说明“若，则”是假命题的一组非零实数、的值依次为          、          。（本小题每个空2.5分）【答案】    【解析】若、同号，当时，，则，若、异号，当时，，而，∴、异号时，即可满足条件，可以分别为、。15．在中，已知，，，点在直线上，且满足：（），则          。【答案】【解析】由得，即，∵点在直线上，∴，则，即，又∵，，，∴，。16．抛物线：的焦点为，准线为，是上在第一象限内的点，点在上，已知，，则直线与轴交点的坐标为         。【答案】【解析】设，则，，由可得，又在准线上，设，∵，∴，即，解得，∴，由题意设，由、、三点共线可得：，而、，∴，解得，∴点的坐标为。四、解答题：本题共小题，共分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（本小题满分10分）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答。在中，角、、的对边分别为、、，若，       ，求和。注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分。【解析】若选①，在中，，由题意及正弦定理得，则，                2分由余弦定理可得，又，∴，      5分∵，∴由正弦定理得，                  6分∴，∴，               8分∴，又，∴，∴。               10分若选②，在中，，由题意及正弦定理得，                        2分∵，∴，∵，∴，∵，∴，                                               5分∵，∴由正弦定理得，                  6分∴，∴，               8分∴，又，∴，∴。               10分若选③，在中，，由题意及正弦定理得，                        2分∵，∴，∴或，∴，                              5分∵，∴由正弦定理得，                  6分∴，∴，               8分∴，又，∴，∴。               10分18．（本小题满分12分）已知正项数列的前项和为，且，。（1）求数列的通项公式；（2）若，数列前项和为，求使的最小的正整数的值。【解析】（1）由，得，两式相减得（），                                     2分∴，∴，又∵，∴，∴，                               4分∴数列为等差数列且，∴，∴；              5分（2）由（1）知，∴①，∴②，                                   7分①-②得，∴，                                                    10分当时，，∴单调递增，                                                        11分又、，∴使的最小的正整数的值为。                                   12分19．（本小题满分12分）中国探月工程自年立项以来，聚焦“自主创新、重点跨越、支撑发展、引领未来”的目标，创造了许多项中国首次。年月日凌晨，嫦娥五号返回器携带“月壤”着陆地球，又首次实现了我国地外天体无人采样返回，为了了解某中学高三学生对此新闻事件的关注程度，从该校高三学生中随机抽取了名学生进行调查，调查样本中有名女生。下图是根据样本的调查结果绘制的等高条形图（阴影区域表示关注“嫦娥五号”的部分）。 关注没关注合计男   女   合计   附：，其中（1）完成上面的列联表，并计算回答是否有的把握认为“对‘嫦娥五号’关注程度与性别有关”?（2）若将频率视为概率，现从该中学高三的女生中随机抽人，记被抽取的名女生中对“嫦娥五号”新闻关注的人数为随机变量，求的分布列及数学期望。【解析】（1）完成上面的列联表如表，                                               3分 关注没关注合计男女合计，∴有的把握认为“对‘嫦娥五号’关注与性别有关”；                          5分（2）∵随机选一高三女生，对此事关注的概率，∴服从二项分布，                                              6分，，，，                                       10分∴随机变量的分布列为：                                                11分∴数学期望。                                            12分20．（本小题满分12分）如图1所示，在平面四边形中，点在边上，，且是边长为的正方形。沿着直线将折起，使平面平面，如图2所示，已知、分别是棱、的中点，是棱上一点。（1）求证：平面平面；（2）若直线与平面所成的角的正切值为时，求二面角的余弦值。       【解析】（1）证明：∵平面平面，，平面平面，∴平面，又∵平面，∴，                2分∵，∴， ∵，∴平面，又∵平面，∴平面平面；                        4分（2）建立如图所示的空间直角坐标系，、、，设，，、、、，                      5分平面的法向量为，设直线与平面所成的平面角为，，∴，，解得，       7分设平面的法向量为，，令，∴，                            9分设平面的法向量为，，令，∴，                            11分设二面角的平面角为，经观察为锐角，∴。                                         12分21．（本小题满分12分）已知函数（）。（1）求在处的切线的方程；（2）证明：当时，除外，的图像恒在直线的上方，并判定函数，（）的零点个数。【解析】（1），，∴，                           2分∴切线的方程为，∴，即；                              4分（2）证明：要证当时，除外，的图像恒在直线的上方，即证当时，，                               5分令，定义域为，，，令，解得，当时，在上单调递减，当时，在上单调递增，∴在处取得极小值也是最小值，                        7分又、，，∴，∴存在，使得，当时，∴在上单调递增，当时，∴在上单调递减，当时，∴在上单调递增，又、，∴当时，，当且仅当时等号成立，∴当时，除外，的图像恒在直线的上方，              10分由得，即，也就是，∴在上恒有，当且仅当时等号成立，∴有且只有一个零点。                       12分22．（本小题满分12分）已知椭圆：（）的一个短轴的端点到一个焦点的距离为。（1）求椭圆的标准方程；（2）设是在第一象限内的一点，点关于轴、坐标原点的对称点分别是、，垂直于轴，垂足为，直线与轴、分别交于点、，直线交于点。①求直线的斜率的最小值；②直线交直线于点，证明：轴。 【解析】（1）∵，又∵椭圆的一个短轴的端点到一个焦点的距离为，∴，得，∴椭圆的标准方程为；            3分（2）①设，则（），由对称性得，，由题意得，∴，     4分直线的斜率，直线方程为，代入，可得，                    5分设，则，∴，∴，直线的斜率，            6分设，则，，∴直线的斜率，             7分∵，取等号时，，，∴的斜率的最小值为；                                         8分②由①可知直线方程为，     9分设，则，                           11分∴轴。                                                         12分