2022年山东省菏泽市单县五中艺术班高考数学模拟试卷（4月份）

2022年山东省菏泽市单县五中艺术班高考数学模拟试卷（4月份）

1.（5分）设集合，集合，则

A.  B.
C.  D.

2.（5分）复数为虚数单位的虚部是

A.  B.  C.  D.

3.（5分）已知，则

A.  B.  C.  D.

4.（5分）已知函数的定义域为，则“是偶函数”是“是偶函数”的

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件

5.（5分）已知函数的部分图象如图所示，则
 

A.  B.
C.  D.

6.（5分）大气压强，它的单位是“帕斯卡”，大气压强随海拔高度的变化规律是，是海平面大气压强已知在某高山，两处测得的大气压强分别为，，，那么，两处的海拔高度的差约为参考数据：

A.  B.  C.  D.

7.（5分）若函数的图象如图所示，且，则
 

A. ， B. ， C. ， D. ，

8.（5分）在平面直角坐标系中点，将向量绕点按逆时针方向旋转后，得到向量，则点的坐标是

A.  B.
C.  D.

9.（5分）已知平面向量，，则下列说法正确的是

A.
B.
C. 向量与的夹角为
D. 向量在上的投影向量为

10.（5分）已知实数，，满足，则下列说法正确的是

A.  B.
C.  D. 的最小值为

11.（5分）已知，是两条不同直线，，是两个不同平面，有下列命题正确的是

A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，，则 D. 若，，，则

12.（5分）已知圆：，直线：，则下列四个命题正确的是

A. 直线恒过定点
B. 当时，圆上有且仅有三个点到直线的距离都等于
C. 圆与曲线：恰有三条公切线，则
D. 当时，直线上一个动点向圆引两条切线、其中、为切点，则直线经过点

13.（5分）已知双曲线的方程为，则其离心率为______．

14.（5分）记是公差不为的等差数列的前项和，若，，则______.

15.（5分）已知函数则______.

16.（5分）在三棱锥中，已知是边长为的正三角形，平面，，分别是，的中点，若异面直线，所成角的余弦值为，则的长为 ______，三棱锥的外接球表面积为 ______.

17.（12分）在中，角，，的对边分别为，，，已知 
求角； 
若点在边上，且，求面积的最大值．

18.（12分）设为数列的前项和，且，． 
求数列的通项公式；  
记，求数列的前项和．

19.（12分）如图，在正四棱柱中，，，分别为棱，的中点，为棱上的动点． 
求证：，，，四点共面； 
是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的长度；若不存在，说明理由．
 

20.（12分）年新冠肺炎仍在世界好多国家肆虐，并且出现了传染性更强的“德尔塔”变异毒株、“拉姆达”变异毒株，尽管我国抗疫取得了很大的成绩，疫情也得到了很好的遏制，但由于整个国际环境的影响，时而也会出现一些散发病例，故而抗疫形势依然艰巨，日常防护依然不能有丝毫放松．在日常防护中，口罩是必不可少的防护用品．某口罩生产厂家为保障抗疫需求，调整了口罩生产规模．已知该厂生产口罩的固定成本为万元，每生产万箱，需另投入成本万元，当年产量不足万箱时，；当年产量不低于万箱时，，若每万箱口罩售价万元，通过市场分析，该口罩厂生产的口罩当年可以全部销售完． 
求年利润万元关于年产量万箱的函数关系式； 
年产量为多少万箱时，该口罩生产厂家所获得年利润最大？注：

21.（12分）已知椭圆：的焦距为，点在上． 
求的方程； 
若过动点的两条直线，均与相切，且，的斜率之积为，点，问是否存在定点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

22.（12分）已知函数 
讨论的单调性； 
若在上有零点，求的取值范围；

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：集合， 
集合， 
 
故选： 
求出集合，集合，利用交集定义能求出 
此题主要考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

2.【答案】A

【解析】解：， 
的虚部为 
故选： 
直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后得到的虚部． 
此题主要考查了复数的运算性质和复数的概念，属基础题．
 

3.【答案】B

【解析】解： 
故选： 
利用诱导公式可求值． 
此题主要考查诱导公式的应用，属基础题．
 

4.【答案】A

【解析】解：根据题意，若是偶函数，则，必有，即函数是偶函数， 
反之，为偶函数，当不一定是偶函数，如， 
故“是偶函数”是“是偶函数”的充分不必要条件， 
故选： 
根据题意，由充分必要的定义分析为偶函数与为偶函数之间的关系，即可得答案． 
此题主要考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及充分必要条件的判断，属于基础题．
 

5.【答案】A

【解析】解：根据函数的图象，得到； 
由于，故，所以； 
当时，， 
由于， 
所以 
故 
故选： 
直接利用函数的图象确定函数关系式中，、的值，进一步确定函数的关系式． 
此题主要考查的知识要点：正弦型函数的性质的应用，三角函数关系式中，、的确定，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
 

6.【答案】C

【解析】解：设，两处的海拔高度分别为，， 
则， 
， 
得 
，两处的海拔高度的差约为 
故选： 
设，两处的海拔高度分别为，，由可得关于与的关系式，整理求得得答案． 
此题主要考查函数模型的性质及应用，考查运算求解能力，是基础题．
 

7.【答案】B

【解析】解：，由图可知的两个极值点分别为，，且，， 
有两个零点分别为，， 
且由韦达定理可得，， 
又在，上单调递减，在上单调递增， 
当时，，当时，， 
，则，， 
故选： 
根据题意结合图象可知，，则由韦达定理可得，，结合单调性可得当时，，当时，，由此可判断，， 
此题主要考查导函数与原函数的关系，考查数形结合思想及运算求解能力，属于中档题．
 

8.【答案】B

【解析】解：设，依题意，，且①， 
，即②， 
由①②解得，，即 
故选： 
设，根据题意建立方程，，解出即可． 
此题主要考查了任意角的三角函数以及两向量垂直的数量积运算，考查计算能力，属于基础题．
 

9.【答案】BD

【解析】解：， 
则，故错误； 
，故正确； 
， 
又， 
所以向量与的夹角为，故错误； 
向量在上的投影向量为，故正确． 
故选： 
根据向量坐标得线性运算和模的坐标表示即可判断；根据向量数量积的坐标表示即可判断；根据即可判断；根据投影向量的定义即可判断 
本题考查了平面向量数量积的运算，向量的夹角，投影向量等知识，属于基础题．
 

10.【答案】BC

【解析】解：对于，， 
，， 
，故错误， 
对于，， 
，即，故正确， 
对于，， 
，， 
，即，故正确， 
对于，，当且仅当，即时，等号成立， 
， 
取不到最小值，故错误． 
故选： 
对于，结合不等式的性质，即可求解，对于，结合作差法，即可求解，对于，结合作差法，即可求解，对于，根据已知条件，运用不等式的公式，即可求解． 
此题主要考查不等式的性质，以及作差法，属于中档题．
 

11.【答案】AC

【解析】解：对于，若，，由面面平行的性质定理可知，，选项正确； 
对于，若，，则可能在内，选项错误； 
对于，若，，，由面面垂直的判定定理可知，，选项正确； 
对于，若，，，则与可以平行，可以相交，还可以异面，选项错误． 
故选： 
根据空间中线线，线面，面面间的位置关系，逐项判断即可． 
此题主要考查空间中线线，线面，面面间的位置关系，考查逻辑推理能力及空间想象能力，属于中档题．
 

12.【答案】ACD

【解析】解：对于直线：，整理得：， 
故，整理得，即经过定点，故A正确； 
对于：当时，直线转换为， 
所以圆心到直线的距离，故B错误； 
对于：圆：， 
圆：，当时，：，整理得， 
所以圆心距为， 
故两圆相外切，恰有三条公切线，故C正确； 
对于：当时，直线的方程转换为， 
设点，圆：，的圆心，半径为， 
以线段为直径的圆的方程为：， 
即， 
由于圆的方程为：， 
所以两圆的公共弦的方程为， 
整理得， 
所以，解得，即直线经过点，故D正确； 
故选：． 
直接利用经过定点的直线系建立方程组，进一步求出直线经过的定点，从而确定的结论，利用点到直线的距离公式的应用确定的结论，利用两圆的位置关系的应用确定的结论． 
此题主要考查的知识要点：经过定点的直线系，两圆的位置关系，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．
 

13.【答案】

【解析】 
此题主要考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查． 
直接利用双曲线的标准方程，求出，，即可求解离心率． 
 
解：双曲线的方程为， 
可得，，则． 
所以双曲线的离心率为：． 
故答案为：． 

 

14.【答案】 3-n

【解析】解：设等差数列的公差为，，， 
，， 
解得，， 
则， 
故答案为： 
利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出． 
此题主要考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
 

15.【答案】 7

【解析】解：根据题意，函数， 
则，， 
则； 
故答案为： 
根据题意，由函数的解析式求出和的值，进而计算可得答案． 
此题主要考查分段函数的性质，涉及函数值的计算，属于基础题．
 

16.【答案】 2 ; 略

【解析】解：连接，则，又因为平面，以点为坐标原点， 
、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系， 
 
设，则、、、、、， 
，， 
由已知可得，解得， 
因此，，则点， 
设三棱锥的外接球球心为， 
由，即，解得， 
所以，三棱锥的外接球半径为， 
因此，该三棱锥外接球的表面积为 
故答案为：； 
以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，设，利用空间向量法求出的值，可求得线段的长，设三棱锥的外接球球心为，根据已知条件建立关于、、的方程组，解出这三个未知数的值，可得出球心的坐标，求出球的半径，利用球体的表面积公式可求得结果． 
此题主要考查球与多面体的切接问题，空间想象能力的培养等知识，属于中等题．
 

17.【答案】解：（1）在△ABC中，∵， 
∴=，整理得2sinBcosA=sin（A+C）=sinB， 
∵sinB＞0， 
∴cosA=，A∈（0，π）， 
∴A=； 
（2）∵， 
∴-=（-）-， 
∴=， 
 
∴S△BCD=S△ABC=bcsinA=bcsin=bc． 
在△ABC中，a=3， 
由余弦定理得：9==+-2bccosA=+-bc≥2bc-bc=bc，即bc≤9，当且仅当b=c=3时取等号， 
∴（S△BCD）max=×9=．

【解析】 
利用正弦定理及两角和的正弦公式，化简，可得，从而可求得角的值； 
由，于是有，再利用余弦定理，结合基本不等式可求得，继而可得面积的最大值． 
此题主要考查正弦定理、余弦定理、平面向量的线性运算，考查三角形的面积公式与基本不等式的应用，考查转化与化归思想及运算求解能力，属于中档题．
 

18.【答案】解：（1）由，可得数列{}为等比数列，且公比为2， 
由+=9，可得+8=9，解得=1， 
则=2n-1，n∈N*； 
（2）Sn==2n-1， 
则===-， 
可得Tn=1-+-+…+-=1-=．

【解析】 
由等比数列的定义、通项公式，解方程可得首项，进而得到所求通项公式； 
由等比数列的求和公式和对数的运算性质，可得，再由数列的裂项相消求和，计算可得所求和． 
此题主要考查等比数列的定义、通项公式和求和公式的运用，以及数列的裂项相消求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
 

19.【答案】解：（1）证明：如图所示，连接D1E，D1F，取BB1的中点为M，连接MC1，ME， 
 
∵E为AA1的中点，∴EM∥A1B1∥C1D1， 
∵EM=A1B1=C1D1，∴四边形EMC1D1是平行四边形， 
∴D1E∥MC1， 
∵F为BB1的中点，∴BM∥C1F，且BM=C1F， 
∴四边形BMC1F是平行四边形，∴BF∥MC1，∴BF∥D1E， 
∴B，E，D1，F四点共面． 
（2）以D为坐标原点，DA，DC，DD1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 
 
假设存在满足条件的点G，G（0，0，t）， 
由已知B（1，1，0），E（1，0，1），F（0，1，1）， 
则=（-1，1，0），=（0，1，-1），=（-1，0，t-1）， 
设平面BEF的法向量=（x，y，z）， 
则，取x=1，得=（1，1，1）， 
设平面GEF的一个法向量=（a，b，c）， 
则，取a=t-1，得=（t-1，t-1，1）， 
∵平面GEF⊥平面BEF，∴=t-1+t-1+1=0，解得t=， 
∴存在点G，使得平面GEF⊥平面BEF，DG=．

【解析】 
连接，，取的中点为，连接，，根据为的中点，为的中点，分别得到，，从而，由此能证明，，，四点共面． 
以为坐标原点，，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果． 
此题主要考查四点共面的证明，考查满足面面垂直的点的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 

20.【答案】解：（1）当0＜x＜90时，y=100x-（）-200=， 
当x≥90时，y=100x-（）-200=1980-8lnx-， 
故． 
（2）当0＜x＜90时，y==， 
故当x=60时，y取得最大值，最大值为1600（万元）， 
当x≥90时，y=1980-8lnx-， 
求导，可得y'==， 
当95≤x＜95时，y'＞0，当x＞95时，y'＜0， 
∴y=1980-8lnx-在[90，95）上单调递增，在（95，+∞）上单调递减， 
故当x=95时，y取得最大值，且≈1935.6（万元）， 
∵1935.6＞1600， 
∴当年产量为95万箱时，该口罩生产厂家所获得年利润最大．

【解析】 
根据题意，结合利润销售收入另投入成本固定成本万元，即可求解． 
分别利用二次函数的性质和导数求出每一段函数的最大值，通过比较两段最大值的大小，即可求解． 
此题主要考查函数的实际应用，利用导数研究函数的单调性是解本题的关键，属于中档题．
 

21.【答案】解：（1）由题意知，，解得a=，b=1， 
故椭圆C的方程为+=1． 
（2）设P（，），显然≠±，过点P的直线方程为y-=k（x-）， 
联立，得（2+1）+4k（-k）x+2（-k）2-2=0， 
因为直线l与C相切，所以Δ=16（-k）2-8（2+1）[（-k）2-1]=0，化简得（-k）2=2+1， 
即（-2）-2k+-1=0， 
设直线，的斜率分别为，，显然，是上述关于k的一元二次方程的两个根， 
所以==-1，化简得+=3，即点P到坐标原点O的距离|PO|=， 
故点P在以O为圆心，为半径的圆上，且是动点，而点A为该圆上一定点， 
当满足•=0时，AB为圆O的直径，即点B（，0）， 
所以存在点B（，0）满足题意．

【解析】 
将点代入椭圆方程中，并结合椭圆的几何性质，求得和的值，即可； 
设出过点的直线方程，与椭圆 的方程联立，由判别式，探求出直线，的斜率满足的条件，再推理作答即可． 
此题主要考查直线与椭圆的位置关系，设出直线方程并与椭圆方程联立，结合已知条件及韦达定理推理求解是这类题的一般解题思路，考查逻辑推理能力和运算能力，属于难题．
 

22.【答案】解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），， 
当a≤0时，f′（x）＞0，则函数f（x）在（0，+∞）上单调递增； 
当a＞0时，令f′（x）＞0，得，令f′（x）＜0，得， 
∴函数f（x）在上单调递增，在上单调递减； 
综上，当a≤0时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；当a＞0时，函数f（x）在上单调递增，在上单调递减； 
（2）若a≤0，由（1）可知f（x）在（1，+∞）上单调递增，而f（1）=0，故此时无零点，不合题意； 
若a≥1，则，函数f（x）在上单调递减，则对任意x∈（1，+∞），都有f（x）＜f（1）=0，不合题意； 
若0＜a＜1，则，由（1）可知f（x）在上单调递增，在上单调递减，则， 
又当x→+∞时，f（x）→-∞，由零点存在性定理可知，存在唯一，使得f（）=0，符合题意． 
故实数a的取值范围为（0，1）．

【解析】 
对函数求导，分及讨论导函数与的关系，即可得出结论； 
分，及，结合函数的单调性讨论即可得出结论． 
此题主要考查利用导数研究函数的单调性，零点，考查分类讨论思想及运算求解能力，属于中档题．