初中数学沪科版八年级下册17.2 一元二次方程的解法教案

17.2  一元二次方程的解法

第1课时  直接开平方法

【知识与技能】

认识形如x2＝a（a≥0）或（ax+b）2＝c（a≠0，c≥0，a，b，c为常数）类型的方程，并会用直接开平方法解.

【过程与方法】

培养学生准确而简洁的计算能力及抽象概括能力.

【情感态度】

通过两边同时开平方，将二次方程转化为一次方程，向学生渗透数学新知识的学习往往由未知（新知识）向已知（旧知识）转化，这是研究数学问题常用的方法，化未知为已知.

【教学重点】

用直接开平方法解一元二次方程.

【教学难点】

（1）认清具有（ax＋b）2＝c（a≠0，c≥0，a，b，c为常数）这样结构特点的一元二次方程适用于直接开平方法;（2）一元二次方程可能有两个不相等的实数解，也可能有两个相等的实数解，也可能无实数解．如：（ax＋b）2=c（a≠0，a，b，c常数），当c＞0时，有两个不等的实数解，c＝0时，有两个相等的实数解，c＜0时无实数解.

一、创设情境，导入新课

1.口答题：4 的平方根是        ，81的平方根是        ， 81的算术平方根是        .

2.我们曾学习过平方根的意义及其性质，回忆一下：什么叫做平方根?平方根有哪些性质?

学生回答：

（1）如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根.

用式子表示：若x2＝a，则x叫做a的平方根.

（2）平方根有下列性质：①一个正数有两个平方根，这两个平方根是互为相反数的；

②零的平方根是零；③负数没有平方根.

【教学说明】  以上问题让学生自主完成，教师归纳总结，重点强调正数有两个平方根，负数没有平方根.为后面的学习奠定基础.

二、合作探究，探索新知

1.教师设问：如何求出适合等式x2＝4的x的值呢?

学生思考，尝试解答

2.根据平方根的定义，由x2＝4可知，x就是4的平方根，因此x的值为2和－2

即根据平方根的定义，得x2＝4,x＝±2

即此一元二次方程的解为： x1＝2，x2 ＝-2

3.小结：这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法.

【教学说明】根据平方根的求法得到方程的解，让学生将它们对应起来，然后教师将这种方法进行总结，注意方程解的写法.

4.提问：怎样解方程(x+1)2=256?

让学生说出解法，教师板书.解:直接开平方，得x+1=±16

所以原方程的解是x1＝15，x2＝－17

5.教师小结：对于形如x2=a（a≥0)或（x+h）2=a(a≥0)的一元二次方程可以用直接开平方法求解.解一元二次方程的基本思想是降次，将一元二次方程转化为一元一次方程.

【教学说明】  这里教师要对式子进行分析，然后类比上面的解法，进行求解，最后进行总结，用字母的式子表示，便于学生理解和记忆.

三、示例讲解，掌握新知

例1   解下列方程：

（1）x2＝2；    （2）4x2－1＝0.

【分析】第1题直接用开平方法解；第2题可先将－1移项，再将两边同时除以4化为x2＝a的形式，再用直接开平方法解之.

【教学说明】形如方程ax2-k=0(≥0)可变形为x2= (≥0)的形式，即方程左边是关于x的一次式的平方，右边是一个非负常数，可用直接开平方法解此方程.

例2   解下列方程：

（1）（x＋1）2＝2;

（2）（x－1）2－4 ＝0;

（3）12（3－x）2－3 ＝0.

【分析】  第1小题中只要将（x＋1）看成是一个整体，就可以运用直接开平方法求解；第2小题先将－4移到方程的右边，再同第1小题一样的解法；第3小题先将－3移到方程的右边，再两边同除以12，再同第1小题一样去解即可.

【教学说明】（1）解形如（x+h）2=k(k≥0)的方程时，可把（x+h）看成整体，然后直接开平方；（2）注意对方程进行变形，方程左边变为一次式的平方，右边是非负常数；（3）如果变形后形如（x+h）2=k中的k是负数，不能直接开平方，说明方程无实数根；（4）如果变形后形如(x+h)2=k中的k＝0这时可得方程两根相等.

四、练习反馈，巩固提高

1.若8x2-16=0，则x的值是         .

2.如果方程2（x-3）2=72，那么，这个一元二次方程的两根是         .

3.如果a、b为实数，满足+b2-12b+36=0，那么ab的值是         .

4.用直接开平方法解下列方程：

（1）x2＝169；（2）45－x2＝0；（3）4x2-16＝0;

（4）（x＋2）2－16＝0

【答案】1.±2    2.9或-3    3.-8

【教学说明】  学生易错的是开方时应该是两种情况，学生可能只写一种，所以教师要进行强调.第2题应该先两边除以2，再进行开方求解.

五、师生互动，课堂小结

1.如果一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方，另一边是一个非负常数，便可用直接开平方法来解．如（ax＋b）2＝c（a，b，c为常数，a≠0，c≥0）.

2.平方根的概念为直接开平方法的引入奠定了基础，同时直接开平方法也为一元二次方程的解法起了一个抛砖引玉的作用.两边开平方实际上是二次方程由二次转化为一次，实现了由未知向已知的转化，由高次向低次的转化，是高次方程解法的一种根本途径.

3.一元二次方程可能有两个不同的实数解，也可能有两个相同的实数解，也可能无实数解.

【教学说明】教师引导学生自主总结，教师适当渗透相关的解题思想并进行总结，为后面的学习奠定基础.

完成同步练习册中本课时的练习.

一元二次方程的求解是初中数学学习中非常重要的一部分，而直接开平方法则是解一元二次方程的基础方法，它看似简单，却不容忽视.“直接开平方法解一元二次方程”是配方法解一元二次方程的基础；同时这一节的教材编写中还突出体现了“换元”、“转化”等重要的数学思想方法.因此这一节不仅是为后续学习打下坚实基础的一节课，更是让学生体验并逐步掌握相关数学思想方法的一节课.教学过程中，在合作探究过程中给学生较充分的时间进行独立思考、小组交流，让学生的思维互相启发互相碰撞，让个人智慧与集体智慧充分交融.在探究过程中适当巡视，适时指导点拨，保证各小组探究学习的有效性.同时，及时评价.对学生发现了不同解法时首先给予表扬和肯定，从而激发学生的求知欲.