高中数学高考38第六章 数列与数学归纳法 高考专题突破3 第2课时 数列的综合问题课件PPT

这是一份高中数学高考38第六章 数列与数学归纳法 高考专题突破3 第2课时 数列的综合问题课件PPT，共44页。PPT课件主要包含了内容索引，课时作业，题型分类深度剖析，题型一数列与函数，题型二数列与不等式等内容，欢迎下载使用。

NEIRONGSUOYIN
题型分类 深度剖析
例1　(2019·四川三台中学模拟)数列{an}的前n项和为Sn，2Sn＝an＋1－2n＋1＋1，n∈N*，且a1，a2＋5，19成等差数列.(1)求a1的值；
解　在2Sn＝an＋1－2n＋1＋1，n∈N*中，令n＝1，得2S1＝a2－22＋1，即a2＝2a1＋3，①又2(a2＋5)＝a1＋19，②则由①②解得a1＝1.
(3)设bn＝lg3(an＋2n)，若对任意的n∈N*，不等式bn(1＋n)－λn(bn＋2)－6<0恒成立，试求实数λ的取值范围.
解　由(2)可知，bn＝lg3(an＋2n)＝n.当bn(1＋n)－λn(bn＋2)－6<0恒成立时，即(1－λ)n2＋(1－2λ)n－6<0(n∈N*)恒成立.设f(n)＝(1－λ)n2＋(1－2λ)n－6(n∈N*)，当λ＝1时，f(n)＝－n－6<0恒成立，则λ＝1满足条件；当λ<1时，由二次函数性质知不恒成立；
则f(n)在[1，＋∞)上单调递减，f(n)≤f(1)＝－3λ－4<0恒成立，则λ>1满足条件，综上所述，实数λ的取值范围是[1，＋∞).
数列与函数的交汇问题(1)已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题；(2)已知数列条件，解决函数问题，解题时要注意数列与函数的内在联系，掌握递推数列的常见解法.
跟踪训练1　 (2018·辽南协作校模拟)已知数列{an}满足a1＝1，2an＋1＝an，数列{bn}满足bn＝2－lg2a2n＋1.(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
∴{an}是首项为1，公比为的等比数列，
(2)设数列{bn}的前n项和为Tn，求使得2Tn≤4n2＋m对任意正整数n都成立的实数m的取值范围.
解　由(1)得，Tn＝n2＋3n，∴m≥－2n2＋6n对任意正整数n都成立.设f(n)＝－2n2＋6n，
∴当n＝1或2时，f(n)的最大值为4，∴m≥4.即m的取值范围是[4，＋∞).
数列与不等式的交汇问题(1)函数方法：即构造函数，通过函数的单调性、极值等得出关于正实数的不等式，通过对关于正实数的不等式特殊赋值得出数列中的不等式；(2)放缩方法：数列中不等式可以通过对中间过程或者最后的结果放缩得到.
跟踪训练2　 (2018·天津部分区质检)已知数列{an}为等比数列，数列{bn}为等差数列，且b1＝a1＝1，b2＝a1＋a2，a3＝2b3－6.(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
解　设数列{an}的公比为q，数列{bn}的公差为d，由题意得1＋d＝1＋q，q2＝2(1＋2d)－6，解得d＝q＝2，所以an＝2n－1，bn＝2n－1.
又因为Tn在[1，＋∞)上单调递增，
题型三　数列与数学文化
例3　 (2018·东北师大附中模拟)我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，中间三尺重几何.”意思是：“现有一根金锤，长5尺，头部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤，且从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，问中间三尺共重多少斤.”A.6斤 B.7斤 C.8斤 D.9斤
解析　原问题等价于等差数列中，已知a1＝4，a5＝2，求a2＋a3＋a4的值.由等差数列的性质可知a2＋a4＝a1＋a5＝6，
则a2＋a3＋a4＝9，即中间三尺共重9斤.
我国古代数学涉及等差、等比数列的问题很多，解决这类问题的关键是将古代实际问题转化为现代数学问题，掌握等差、等比数列的概念、通项公式和前n项和公式.
A.4 B.5 C.9 D.16
故b3＝b2q＝3×3＝9.
1.(2018·莆田模拟)设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝－an＋1.(1)求数列{an}的通项公式；
解　由Sn＝－an＋1得Sn＋1＝－an＋1＋1，两式相减得，Sn＋1－Sn＝－an＋1＋an，
(2)若f(x)＝ x，设bn＝f(a1)＋f(a2)＋…＋f(an)，求数列的前n项和Tn.
2.(2018·江西重点中学协作体模拟)已知等差数列{an}的公差d≠0，a1＝0，其前n项和为Sn，且a2＋2，S3，S4成等比数列.(1)求数列{an}的通项公式；
因为a2＋2，S3，S4成等比数列，即(3d)2＝(d＋2)·6d，整理得3d2－12d＝0，即d2－4d＝0，因为d≠0，所以d＝4，所以an＝(n－1)d＝4(n－1)＝4n－4.
证明　由(1)可得Sn＋1＝2n(n＋1)，
(1)求数列{an}的通项公式；
解　f′(x)＝2ax＋b，由题意知b＝2n，16n2a－4nb＝0，
又f′(x)＝x＋2n，
当n＝1时，a1＝4也符合，
∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn
4.已知{xn}是各项均为正数的等比数列，且x1＋x2＝3，x3－x2＝2.(1)求数列{xn}的通项公式；
解　设数列{xn}的公比为q.
所以3q2－5q－2＝0，由已知得q>0，所以q＝2，x1＝1.因此数列{xn}的通项公式为xn＝2n－1.
(2)如图，在平面直角坐标系xOy中，依次连接点P1(x1，1)，P2(x2，2)，…，Pn＋1(xn＋1，n＋1)得到折线P1P2…Pn＋1，求由该折线与直线y＝0，x＝x1，x＝xn＋1所围成的区域的面积Tn.
解　过P1，P2，…，Pn＋1向x轴作垂线，垂足分别为Q1，Q2，…，Qn＋1.由(1)得xn＋1－xn＝2n－2n－1＝2n－1，记梯形PnPn＋1Qn＋1Qn的面积为bn，
所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝3×2－1＋5×20＋7×21＋…＋(2n－1)×2n－3＋(2n＋1)×2n－2，①则2Tn＝3×20＋5×21＋7×22＋…＋(2n－1)×2n－2＋(2n＋1)×2n－1，②由①－②，得－Tn＝3×2－1＋(2＋22＋…＋2n－1)－(2n＋1)×2n－1
(1)求数列{an}的通项公式an；
显然Tn是关于n的增函数，
6.已知各项均不相等的等差数列{an}的前三项和为9，且a1，a3，a7恰为等比数列{bn}的前三项.(1)分别求数列{an}，{bn}的前n项和Sn，Tn；
解　设数列{an}的公差为d，
又b1＝a1＝2，b2＝a3＝4，所以bn＝2n，Tn＝2n＋1－2.
证明　因为an·bn＝(n＋1)·2n，所以Kn＝2·21＋3·22＋…＋(n＋1)·2n，①所以2Kn＝2·22＋3·23＋…＋n·2n＋(n＋1)·2n＋1，②①－②得－Kn＝2·21＋22＋23＋…＋2n－(n＋1)·2n＋1，所以Kn＝n·2n＋1.
所以cn＋1>cn(n∈N*).