8.16 蒙日圆 讲义-高考数学一轮复习解题技巧方法

第16节  蒙日圆

知识与方法

1．蒙日圆：如下图所示，过点P作椭圆的两条切线，若这两条切线互相垂直，则点P的轨迹是圆，该圆即为蒙日圆.

2．蒙日圆的性质：如下图所示，延长、与蒙日圆分别交于点M、N，与交于点Q，则：

（1）M、O、N三点共线；

（2）；

（3）；

（4）.

提醒：双曲线的蒙日圆为，而当时，双曲线没有蒙日圆；抛物线的蒙日圆是抛物线的准线，这里把直线看成了半径无限大的圆.

典型例题

【例1】已知椭圆，若直线上存在点P，使得过P作椭圆C的两条切线，且这两条切线互相垂直，则m的取值范围是______.

变式1  已知椭圆，若直线上存在点P，使得过P作椭圆C的两条切线、，其中A、B为切点，且是钝角，则m的取值范围是______.

变式2  已知椭圆和点，若P为一动点，且过P作椭圆C的两条切线、，其中A、B为切点，满足为锐角，若恒成立，则d的最大值是______.

【例2】（2014·广东）已知椭圆的一个焦点为，离心率为.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若动点为椭圆外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程.

强化训练

1.（★★★）从圆上一定点P作椭圆的两条切线，若这两条切线互相垂直，则直线被圆C截得的线段长的最小值是________.

2.（★★★）已知椭圆，点P在直线上，若过P作椭圆C的两条切线、，且，则满足条件的点P有____个.

3.（★★★）已知椭圆和直线，若P为l上的一动点，过P作椭圆C的两条切线、，其中A、B为切点，满足为钝角，则点P的横坐标的取值范围是________.

4.（★★★）设A、B两点在椭圆上，动点P在直线上，若恒成立，则椭圆C的离心率的取值范围是_______.

5．（★★★★★）给定椭圆，称圆为椭圆C的“蒙日圆”．已知椭圆C的焦距为，短轴长为2.

（1）求椭圆C及其“蒙日圆”的方程；

（2）设P是椭圆C的“蒙日圆”上的动点，过P作椭圆C的两条切线分别交椭圆C的“蒙日圆”于A、B两点，证明：，且为定值.

6.（★★★★★）已知椭圆，P是圆上的一个动点，、分别与椭圆C相切于点和

（1）证明：点P在直线上；

（2）求的面积的取值范围.