1.5 极限思想　讲义——高考数学一轮复习解题技巧方法

第5节  极限思想

知识与方法

高中数学并没有系统地学习极限的相关理论，但掌握一些简单的分析极限的方法，可以巧妙地解决一些选择题，其本质是特值法的思想.运用极限思想分析问题时，我们常用以下方法：

（1）当时，我们把想象成一个很大的数，例如10000；

（2）当时，我们把想象成一个很小的数，例如；

（3）当时，我们把想象成一个比0大一点点的数，例如0.01；

（4）当时，我们把想象成一个比0小一点点的数，例如.

提醒：①当选项中出现了“”或“”时，或者在判断函数图象时，可以考虑极限思想；②设，，对于函数，，，当时，，符号“”表示远大于，若指、对、幂混合在一个函数中，我们在考虑问题时，可以只看主要成分，忽略次要成分，例如，当时，，，若是同类型的函数混合在一个函数中，则需要关注底数、次数等，例如当时，，.

典型例题

【例1】己知函数，则不等式的解集是（    ）

A. B.  C. D.

【解析】

解法1：由题意，当时，，，

，从而即为，故，当时，，，，从而即为，所以，

综上所述，不等式的解集是

解法2：易求得，当时，，不满足，排除选项A和C，另一方面，由上一小节的端点临界特征，不难发现应为解的区间端点，故选D.

【答案】D

【例2】（2018·新课标II卷）函数的大致图象为（    ）

【解析】先分析当时，的极限，我们也不用把取得太大，就假设，则，不难发现比10000大得多，所以是一个很大的数，

如果将x取成更大的数，那么也会变得更大，从而当时，，排除选项C和D，

当时，我们可以取，则，

从而不难发现时，，排除A，故选B.

【答案】B

【例3】（2020·天津）函数的图象大致为（    ）

【解析】设，则，排除B、D，，排除C，故选A.

【答案】A

【例4】函数有2个零点，则实数的取值范围是_______.

【解析】，设，则,

所以，，从而在上，在上，，，

，

据此可作出函数的大致图象如图，由图可知当时，直线与该图象有2个交点，

即函数有2个零点，所以实数的取值范围是.

【答案】

【反思】分析极限是较准确地作出函数图象的必备技能，例如本题若不会分析当时，的极限，则无法准确作出在附近的图象.

强化训练

1.（★★）已知函数，则的大致图象为（    ）

【解析】

解法l：的定义域为，排除D选项，

当时，且，排除A、C选项，故选B.

解法2：易证，所以，从而，故，排除A、C，显然函数的定义域为，排除D选项，故选B.

【答案】B

2.（2013·新课标Ⅰ卷·★★★）已知函数，若，则的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【解析】

解法1：函数的图象如图1，可以看成的图象始终在直线的上方，

当时，y轴右侧的图象不可能始终在直线的上方，不合题意，

当时，y轴右侧显然能满足，再考虑y轴左侧部分，

易求得的y轴左侧的图象在处的切线斜率为，如图2，

所以当且仅当时直线始终位于的图象下方，从而实数a的取值范围为

解法2：当时，函数的图象和直线如图3，由图可知，不能恒成立，从而排除选项A、B；当时，直线与的图象如图4，

由图可知，在y轴右侧，不可能恒成立，从而排除C，故选D.

【答案】D

3.（★★★）若函数有且仅有2个零点，则实数的取值范围是______.

【解析】，设，则，

所以，，从而在上，在上，，，

，

所以的草图如图，

由图可知当且仅当时，直线与的图象有2个交点，

此时，函数有2个零点，满足题意，

所以实数a的取值范围是.

【答案】

4.（★★★）当时，函数的大致图象是（    ）

【解析】当时，，排除A；

当时，，排除C、D，故选B.

【答案】B

5.（2020·新课标Ⅱ卷·★★★）设函数，则（    ）

A.是偶函数，且在上单调递增

B.是奇函数，且在上单调递减

C.是偶函数，且在上单调递增

D.是奇函数，且在上单调递减

【解析】

解法1：先求定义域，，，

所以为奇函数，

当时，，

而当时，，故单调递减.

解法2：先求定义域，，，

所以为奇函数，排除选项A、C，当时，，所以不可能在上，排除选项B，故选D.

【答案】D