3.5 三角形最值问题经典模型 讲义-高考数学一轮复习解题技巧方法

第5节  三角形最值问题经典模型：已知一角及对边

知识与方法

已知一角及其对边，求其它量的最值，这类问题的解题方法通常有三种：

解法1：利用正弦定理进行边化角，将目标量表示成内角的三角函数，借助三角函数求最值.

解法2：对已知的角用余弦定理，结合基本不等式及其相关推论求最值.

解法3：利用模型的几何背景，数形结合求最值.

典型例题

【例题】在中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，，求的面积的取值范围.

【解析】解法1：由正弦定理，，故，，

又，所以，故，

从而

，

因为，所以，从而，故的取值范围为.

解法2：由余弦定理，，

当且仅当时等号成立，所以的最大值为4，又，所以的取值范围是，而，所以的面积的取值范围为.

解法3：记的外接圆为圆O，设其半径为r，

如图，B、C两点在圆周上固定不动，满足，点A在所对的优弧上运动，，

由正弦定理，，所以圆O的半径，所以的外接圆是一个定圆，以作为的底边，设边上的高为，则，

由图可知当点A运动到处时，h最大，

且此时为正三角形，所以，

所以h的取值范围为，从而的面积取值范围为.

【反思】若将题干的改为锐角，解题过程会有什么变化呢?.

变式1  在中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，，求的周长的取值范围.

【解析】

解法1：由正弦定理，，故，，

又，所以，故，

所以的周长

，

因为，所以，故，所以，从而L的取值范围是.

解法2：一方面，，所以；

另一方面，由余弦定理，，

所以，故，

当且仅当时等号成立，所以，从而周长的取值范围为.

【反思】①若将题干的改为锐角，解题过程会有什么变化呢?去看看视频吧；②在已知一角及其对边这一模型中，三角形的面积和周长都会在该三角形为等腰三角形时取得最大值.

变式2  在中，已知，，则的最大值为______.

【解析】如图，在中，即为边上的高，画出图形如图，由图可知，当A位于图中处时，边上的高最大，即最大，此时，为正三角形，可求得.

注：本题也可以按照前面提到的另外两个解法来做，但小题之中，通过图形求解是最快的.

【答案】

变式3  在中，已知，，则边上的中线的取值范围为_______.

【解析】如图，在中，当A位于图中处时，边上的中线最长，为，当A向B或C靠近时，中线逐步变短，故边上的中线的取值范围为.

【答案】

【反思】已知一角及其对边这一模型中，三角形的面积、周长、已知的边上的高、已知的边上中线长这些量的最大值均在另外两边相等时取得，可以在理解的基础上记忆这一结论，便于速解一些小题.

变式4  在中，已知，，点D满足，则的长的最大值为______.

【解析】如图，设外接圆的圆心为O，连接并延长交圆O于点，

当点A与点重合时，的长取得最大值，理由如下：

将图中不与重合的点A和点比较，，在中，，故，所以点当A与点重合时，的长取得最大值，

由正弦定理，，故，

过点O作于点E，则E为中点，故，

，

所以，

从而，故的长最大值为.

【答案】

变式5  在中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知.

（1）求B；

（2）如图，若，D为外一点，在平面凸四边形中，，求四边形面积的最大值.

【解析】解：（1）由题意，

所以，

从而，

故，又，所以.

（2）在中，由余弦定理，，将，代入化简得：，解得：或0（舍去)，所以，由知，在中，由余弦定理，，

从而，

所以，

当且仅当时取等号，因为，所以，故四边形面积的最大值为.

强化训练

1.（★★★）已知的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，且的面积为，则面积的最大值为______.

【解析】由题意，，又，所以，故，因为，所以，从而，结合可得，

，当且仅当时取等号，所以，故面积的最大值为.

【答案】

2.（★★★）设的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知的面积为3，，M为边中点，且，，则______.

【解析】如图，由即M为边中点知，

在中，设，则，

整理得：，

解得：或，由于，所以，故，

由余弦定理，，所以，

由正弦定理，，所以，即.

【答案】

3.（★★★★）在中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，，，则线段的长的最大值为（    ）

A. B. C. D.

【解析】如图，设外接圆的圆心为O，连接，并延长交圆O于点，

当点A与点重合时，的长取得最大值，理由如下：

将图中的点A和点进行比较，，

而在中，，故，所以当点A与点重合时，的长最大，由正弦定理，，

所以，过点O作于点E，则E为中点，故，，

所以，故长的最大值为.

【答案】D

4.（★★★★）在中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，，若D、E分别为、的中点，G为的重心，则的面积的最大值为______.

【解析】

，

如图，G为的重心

，

在中，由余弦定理，，

所以，

当且仅当时取等号，而，

所以，故.

【答案】

【反思】若熟悉本节模型的结论，可在求出后，直接根据面积最大时必为等边三角形快速求得其面积的最大值.

5.（★★★★）在凸四边形中，，对角线，且，则对角线的长的取值范围是_____.

【解析】如图，取中点E，连接，因为，所以，又，所以，从而，，因为，所以已知及其对边，故的外接圆不变，设该外接圆为圆O，如图，点C可以在圆O的优弧上运动，设圆O的半径为r，则，所以，从而，，，所以，当点C无限接近点B或点D时，就无限接近5，所以对角线的长的取值范围是.

【答案】

6.（★★★★）在中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且，，若l和S分别表示的周长和面积，则_____，的最大值为______.

【解析】因为，所以，

从而①，

又，

代入式①整理得：，因为，所以，

故，从而，所以，

因为，所以，故，从而，

所以

，

设，则，一方面，，

另一方面，由余弦定理，，所以，故，

当且仅当时取等号，从而，所以，注意到函数在上，所以，从而，取等条件是，故.

【答案】，

【反思】若求最值得过程中两次运用了不等式，则必须验证两个不等号能同时取等号.

7.（★★★）在中，已知.

（1）求B；

（2）若，求的面积的最大值.

【解析】（1）由得：，所以，

故，所以，结合知.

（2）由余弦定理，，所以，

当且仅当时等号成立，故，从而的面积的最大值为.

8.（★★★）如下图所示，四边形中，A、B、C、D四点共圆，且，，.

（1）若，求的长；

（2）求四边形的周长的最大值.

【解析】（1）在中，

由余弦定理，，

所以，因为A、B、C、D四点共圆，所以，从而，故，

在中，由正弦定理，，所以.

（2）由（1）可得，，

在中，由余弦定理，，即，

所以，

故，

当且仅当时取等号，又，，所以四边形的周长的最大值为.

9.（★★★★）在中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，，若点P在边上，且，.

（1）求C；

（2）求的最大值.

【解析】（1）因为，

所以，整理得：，故，又，所以.

（2）解法1：如图，作交延长线于D，则，且，

因为，所以，，，

在中，由余弦定理，，

所以，

从而，当且仅当时取等号，此时，，所以的最大值为.

解法2：如图，由题意，，

所以，又，

所以，故，

从而，所以，当且仅当时取等号，此时，，，所以的最大值为.