高中数学高考2018高考数学（理）大一轮复习习题：选修4－5 不等式选讲 课时达标检测（六十六） 不等式的证明 Word版含答案

课时达标检测(六十六)  不等式的证明

1．已知函数f(x)＝|x＋3|＋|x－1|，其最小值为t.

(1)求t的值；

(2)若正实数a，b满足a＋b＝t，求证：＋≥.

解：(1)因为|x＋3|＋|x－1|＝|x＋3|＋|1－x|≥|x＋3＋1－x|＝4，所以f(x)min＝4，即t＝4.

(2)证明：由(1)得a＋b＝4，故＋＝1，＋＝＝＋1＋＋≥＋2＝＋1＝，当且仅当b＝2a，即a＝，b＝时取等号，故＋≥.

2．设不等式－2<|x－1|－|x＋2|<0的解集为M，a，b∈M.

(1)证明：<；

(2)比较|1－4ab|与2|a－b|的大小，并说明理由．

解：(1)证明：记f(x)＝|x－1|－|x＋2|＝

由－2<－2x－1<0解得－<x<，

则M＝.

所以≤|a|＋|b|<×＋×＝.

(2)由(1)得a2<，b2<.

因为|1－4ab|2－4|a－b|2＝(1－8ab＋16a2b2)－4(a2－2ab＋b2)＝(4a2－1)(4b2－1)>0.

所以|1－4ab|2>4|a－b|2，故|1－4ab|>2|a－b|.

3．(2017·广州模拟)已知定义在R上的函数f(x)＝|x－m|＋|x|，m∈N*，存在实数x使f(x)<2成立．

(1)求实数m的值；

(2)若α，β≥1，f(α)＋f(β)＝4，求证：＋≥3.

解：(1)因为|x－m|＋|x|≥|(x－m)－x|＝|m|.

要使不等式|x－m|＋|x|<2有解，则|m|<2，解得－2<m<2.

因为m∈N*，所以m＝1.

(2)因为α，β≥1，f(x)＝2x－1(x≥1)，

所以f(α)＋f(β)＝2α－1＋2β－1＝4，即α＋β＝3，

所以＋＝(α＋β)

＝

≥＝3.

(当且仅当＝，即α＝2，β＝1时等号成立)

故＋≥3.

4．(1)已知a，b都是正数，且a≠b，求证：a3＋b3>a2b＋ab2；

(2)已知a，b，c都是正数，求证：≥abc.

证明：(1)(a3＋b3)－(a2b＋ab2)＝(a＋b)(a－b)2.

因为a，b都是正数，

所以a＋b>0.

又因为a≠b，

所以(a－b)2>0.

于是(a＋b)(a－b)2>0，

即(a3＋b3)－(a2b＋ab2)>0，

所以a3＋b3>a2b＋ab2.

(2)因为b2＋c2≥2bc，a2>0，

所以a2(b2＋c2)≥2a2bc.①

同理，b2(a2＋c2)≥2ab2c.②

c2(a2＋b2)≥2abc2.③

①②③相加得2(a2b2＋b2c2＋c2a2)≥2a2bc＋2ab2c＋2abc2，从而a2b2＋b2c2＋c2a2≥abc(a＋b＋c)．

由a，b，c都是正数，得a＋b＋c>0，

因此≥abc(当且仅当a＝b＝c时取等号)．

5．已知x，y∈R，且|x|<1，|y|<1.

求证：＋≥.

证明：∵≤

＝≤＝1－|xy|，

∴＋≥≥，

∴原不等式成立．

6．(2017·长沙模拟)设α，β，γ均为实数．

(1)证明：|cos(α＋β)|≤|cos α|＋|sin β|，|sin(α＋β)|≤|cos α|＋|cos β|；

(2)若α＋β＋γ＝0，证明：|cos α|＋|cos β|＋|cos γ|≥1.

证明：(1)|cos(α＋β)|＝|cos αcos β－sin αsin β|≤|cos αcos β|＋|sin αsin β|≤|cos α|＋|sin β|；

|sin(α＋β)|＝|sin αcos β＋cos αsin β|≤|sin αcos β|＋|cos αsin β|≤|cos α|＋|cos β|.

(2)由(1)知，|cos|≤|cos α|＋|sin(β＋γ)|≤|cos α|＋|cos β|＋|cos γ|，

而α＋β＋γ＝0，故|cos α|＋|cos β|＋|cos γ|≥cos 0＝1.

7．(2017·重庆模拟)设a，b，c∈R＋且a＋b＋c＝1.

求证：(1)2ab＋bc＋ca＋≤；

(2)＋＋≥2.

证明：(1)因为1＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca≥4ab＋2bc＋2ca＋c2，

当且仅当a＝b时等号成立，

所以2ab＋bc＋ca＋＝(4ab＋2bc＋2ca＋c2)≤.

(2)因为≥，≥，≥，

当且仅当a＝b＝c＝时等号成立．

所以＋＋≥＋＋＝a＋b＋c≥2a＋2b＋2c＝2，

当且仅当a＝b＝c＝时等号成立．

8．(2017·贵阳模拟)已知函数f(x)＝2|x＋1|＋|x－2|.

(1)求f(x)的最小值m；

(2)若a，b，c均为正实数，且满足a＋b＋c＝m，求证：＋＋≥3.

解：(1)当x<－1时，f(x)＝－2(x＋1)－(x－2)＝－3x∈(3，＋∞)；

当－1≤x<2时，f(x)＝2(x＋1)－(x－2)＝x＋4∈[3,6)；

当x≥2时，f(x)＝2(x＋1)＋(x－2)＝3x∈[6，＋∞)．

综上，f(x)的最小值m＝3.

(2)证明：a，b，c均为正实数，且满足a＋b＋c＝3，

因为＋＋＋(a＋b＋c)

＝＋＋

≥2＝2(a＋b＋c)．

(当且仅当a＝b＝c＝1时，取等号)

所以＋＋≥a＋b＋c，即＋＋≥3.