高中数学高考2018高考数学（理）大一轮复习习题：第六章 数列 课时达标检测（二十九） 数列的概念与简单表示 Word版含答案

课时达标检测（二十九）  数列的概念与简单表示

1．数列1，，，，，…的一个通项公式an＝(　　)

A.  B.

C.   D.

解析：选B　由已知得，数列可写成，，，…，故该数列的一个通项公式为.

2．设数列{an}的前n项和Sn＝n2＋n，则a4的值为(　　)

A．4      B．6      C．8       D．10

解析：选C　a4＝S4－S3＝20－12＝8.

3．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1an＝2n(n∈N*)，则a10＝(　　)

A．64  B．32  C．16  D．8

解析：选B　∵an＋1an＝2n，∴an＋2an＋1＝2n＋1，两式相除得＝2.又a1a2＝2，a1＝1，∴a2＝2.

则···＝24，即a10＝25＝32.

4．在数列{an}中，a1＝1，anan－1＝an－1＋(－1)n(n≥2，n∈N*)，则的值是(　　)

A.  B.  C.  D.

解析：选C　由已知得a2＝1＋(－1)2＝2，∴2a3＝2＋(－1)3，a3＝，∴a4＝＋(－1)4，a4＝3，∴3a5＝3＋(－1)5，∴a5＝，∴＝×＝.

5．现定义an＝5n＋n，其中n∈，则an取最小值时，n的值为________．

解析：令5n＝t>0，考虑函数y＝t＋，易知其在(0,1]上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，且当t＝1时，y的值最小，再考虑函数t＝5x，当0<x≤1时，t∈(1,5]，则可知an＝5n＋n在(0,1]上单调递增，所以当n＝时，an取得最小值．

答案：

一、选择题

1．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－2n，则a2＋a18＝(　　)

A．36  B．35  C．34  D．33

解析：选C　当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－3；当n＝1时，a1＝S1＝－1，所以an＝2n－3(n∈N*)，所以a2＋a18＝34.

2．数列{an}中，a1＝1，对于所有的n≥2，n∈N*都有a1·a2·a3·…·an＝n2，则a3＋a5＝(　　)

A.        B.       C.        D.

解析：选A　令n＝2,3,4,5，分别求出a3＝，a5＝，∴a3＋a5＝.

3．在各项均为正数的数列{an}中，对任意m，n∈N*，都有am＋n＝am·an.若a6＝64，则a9等于(　　)

A．256   B．510

C．512   D．1 024

解析：选C　在各项均为正数的数列{an}中，对任意m，n∈N*，都有am＋n＝am·an.∴a6＝a3·a3＝64，a3＝8.

∴a9＝a6·a3＝64×8＝512.

4．已知数列{an}满足a1＝15，且3an＋1＝3an－2.若ak·ak＋1<0，则正整数k＝(　　)

A．21   B．22 

C．23   D．24

解析：选C　由3an＋1＝3an－2得an＋1＝an－，则{an}是等差数列，又a1＝15，∴an＝－n.∵ak·ak＋1<0，∴·<0，∴<k<，∴k＝23，故选C.

5．在数列{an}中，已知a1＝2，a2＝7，an＋2等于anan＋1(n∈N*)的个位数，则a2 015＝(　　)

A．8   B．6 

C．4   D．2

解析：选D　由题意得：a3＝4，a4＝8，a5＝2，a6＝6，a7＝2，a8＝2，a9＝4，a10＝8；所以数列中的项从第3项开始呈周期性出现，周期为6，故a2 015＝a335×6＋5＝a5＝2.

6．如果数列{an}满足a1＝2，a2＝1，且＝(n≥2)，则这个数列的第10项等于(　　)

A.   B. 

C.   D.

解析：选C　∵＝，∴1－＝－1，即＋＝2，∴＋＝，故是等差数列．又∵d＝－＝，∴＝＋9×＝5，故a10＝.

二、填空题

7．已知数列{an}中，a1＝1，若an＝2an－1＋1(n≥2)，则a5的值是________．

解析：∵an＝2an－1＋1，∴an＋1＝2(an－1＋1)，∴＝2，又a1＝1，∴{an＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，即an＋1＝2×2n－1＝2n，∴a5＋1＝25，即a5＝31.

答案：31

8．在数列－1,0，，，…，，…中，0.08是它的第________项．

解析：令＝0.08，得2n2－25n＋50＝0，

即(2n－5)(n－10)＝0.

解得n＝10或n＝(舍去)．即0.08是该数列的第10项．

答案：10

9．已知数列{an}满足：a1＝1，an＋1(an＋2)＝an(n∈N*)，若bn＋1＝(n－p)，b1＝－p，且数列{bn}是单调递增数列，则实数p的取值范围为________．

解析：由题中条件，可得＝＋1，则＋1＝2＋1，易知＋1＝2≠0，则是等比数列，所以＋1＝2n，可得bn＋1＝2n(n－p)，则bn＝2n－1(n－1－p)(n∈N*)，由数列{bn}是单调递增数列，得2n(n－p)>2n－1(n－1－p)，则p<n＋1恒成立，又n＋1的最小值为2，则p的取值范围是(－∞，2)．

答案：(－∞，2)

10．设{an}是首项为1的正项数列，且(n＋1)a－na＋an＋1·an＝0(n＝1,2,3，…)，则它的通项公式an＝________.

解析：∵(n＋1)a＋an＋1·an－na＝0，

∴(an＋1＋an)＝0，

又an＋1＋an>0，∴(n＋1)an＋1－nan＝0，即＝，

∴····…·＝××××…×，∵a1＝1，∴an＝.

答案：

三、解答题

11．已知Sn为正项数列{an}的前n项和，且满足Sn＝a＋an(n∈N*)．

(1)求a1，a2，a3，a4的值；

(2)求数列{an}的通项公式．

解：(1)由Sn＝a＋an(n∈N*)，可得

a1＝a＋a1，解得a1＝1；

S2＝a1＋a2＝a＋a2，解得a2＝2；

同理，a3＝3，a4＝4.

(2)Sn＝a＋an，①

当n≥2时，Sn－1＝a＋an－1，②

①－②，整理得(an－an－1－1)(an＋an－1)＝0.

由于an＋an－1≠0，所以an－an－1＝1，

又由(1)知a1＝1，

故数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列，故an＝n.

12．已知数列{an}的通项公式是an＝n2＋kn＋4.

(1)若k＝－5，则数列中有多少项是负数？n为何值时，an有最小值？并求出最小值；

(2)对于n∈N*，都有an＋1>an，求实数k的取值范围．

解：(1)由n2－5n＋4<0，解得1<n<4.

因为n∈N*，所以n＝2,3，

所以数列中有两项是负数，即为a2，a3.

因为an＝n2－5n＋4＝2－，

由二次函数性质，得当n＝2或n＝3时，an有最小值，其最小值为a2＝a3＝－2.

(2)由对于n∈N*，都有an＋1>an知该数列是一个递增数列，又因为通项公式an＝n2＋kn＋4，可以看作是关于n的二次函数，考虑到n∈N*，所以－<，即得k>－3.

所以实数k的取值范围为(－3，＋∞)．