中考数学全面突破：题型7　综合实践题 含解析答案

这是一份中考数学全面突破：题型7　综合实践题 含解析答案，共15页。试卷主要包含了如T＝1，1)．，问题，理解，问题提出等内容，欢迎下载使用。

题型7　综合实践题
此类题考查形式多样，但都与实际问题结合，且解决实际问题时一般会用到前面的结论，解题时要多结合前面的问题，大胆猜想．综合性较强，入手简单，但要得满分较难，此类题型是今后中考命题的方向，应引起重视．

1.如图①，△ABC和△DEF中，AB＝AC，DE＝DF，∠A＝∠D.
(1)求证：＝；
(2)由(1)中的结论可知，等腰三角形ABC中，当顶角∠A的大小确定时，它的对边(即底边BC)与邻边(即腰AB或AC)的比值也就确定，我们把这个比值记作T(A)，即T(A)＝＝.如T(60°)＝1.
①理解巩固：T(90°)＝________，T(120°)＝________，若α是等腰三角形的顶角，则T(α)的取值范围是________；
②学以致用：如图②，圆锥的母线长为9，底面直径PQ＝8，一只蚂蚁从点P沿着圆锥的侧面爬行到点Q，求蚂蚁爬行的最短路径长(精确到0.1)．
(参考数据：T(160°)≈1.97，T(80°)≈1.29，T(40°)≈0.68)


















2. (1)如图①，已知△ABC，以AB、AC为边分别向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，连接BE、CD，请你完成图形(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)，并证明：BE＝CD；
(2)如图②，已知△ABC，以AB、AC为边分别向外作正方形ABFD和正方形ACGE，连接BE、CD，猜想BE与CD有什么数量关系？并说明理由；
(3)运用(1)，(2)解答中所积累的经验和知识，完成下题：
如图③，要测量池塘两岸相对的两点B、E的距离，已经测得∠ABC＝45°，∠CAE＝90°，AB＝BC＝100米，AC＝AE，求BE的长(结果保留根号)．


























3.问题：如图①，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF＝45°，试判断BE、EF、FD之间的数量关系．
【发现证明】
小聪把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，从而发现EF＝BE＋FD，请你利用图①证明上述结论．
【类比引申】
如图②，四边形ABCD中，∠BAD≠90°，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，点E、F分别在边BC、CD上，则当∠EAF与∠BAD满足__________关系时，仍有EF＝BE＋FD.
【探究应用】
如图③，在某公园的同一水平面上，四条道路围成四边形ABCD.已知AB＝AD＝80米，∠B＝60°，∠ADC＝120°，∠BAD＝150°，道路BC、CD上分别有景点E、F，且AE⊥AD，DF＝40(－1)米，现要在E、F之间修一条笔直的道路，求这条道路EF的长．(结果取整数，参考数据：≈1.41，≈1.73)























4.理解：数学兴趣小组在探究如何求tan15°的值，经过思考、讨论、交流，得到以下思路：
思路一　如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB至点D，使BD＝BA，连接AD.

图①
设AC＝1，则BD＝BA＝2，BC＝.
tanD＝tan15°＝
＝＝2－.
思路二　利用科普书上的和(差)角正切公式：tan(α±β)＝.
假设α＝60°，β＝45°代入差角正切公式：
tan15°＝tan(60°－45°)＝＝＝2－.
思路三　在顶角为30°的等腰三角形中，作腰上的高也可以…
思路四　…
请解决下列问题(上述思路仅供参考)．
(1)类比：求出tan75°的值；
(2)应用：如图②，某电视塔建在一座小山上，山高BC为30米，在地平面上有一点A，则得A、C两点间距离为60米，从A测得电视塔的视角(∠CAD)为45°，求这座电视塔CD的高度；
(3)拓展：如图③，直线y＝x－1与双曲线y＝交于A、B两点，与y轴交于点C，将直线AB绕点C旋转45°后，是否仍与双曲线相交？若能，求出交点P的坐标；若不能，请说明理由．
图②
　图③
　备用图









5.【操作发现】在计算器上输入一个正数，不断地按“”键求算术平方根，运算结果越来越接近1或都等于1.
【提出问题】输入一个实数，不断地进行“乘以常数k，再加上常数b”的运算，有什么规律？
【分析问题】我们可用框图表示这种运算过程：

也可用图象描述：如图①，在x轴上表示出x1，先在直线y＝kx＋b上确定点(x1，y1)，再在直线y＝x上确定纵坐标为y1的点(x2，y1)，然后在x轴上确定对应的数x2，…，依次类推．
【解决问题】研究输入实数x1时，随着运算次数n的不断增加，运算结果xn怎样变化．
(1)若k＝2，b＝－4，得到什么结论？可以输入特殊的数如3，4，5进行观察研究；
(2)若k>1，又得到什么结论？请说明理由；
(3)①若k＝－，b＝2，已在x轴上表示出x1(如图②所示)，请在x轴上表示x2，x3，x4，并写出研究结论；
②若输入实数x1时，运算结果xn互不相等，且越来越接近常数m，直接写出k的取值范围及m的值(用含k，b的代数式表示)．


















6.问题提出
(1)如图①，已知△ABC.请画出△ABC关于直线AC对称的三角形．
问题探究
(2)如图②，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，AE＝4，AF＝2.是否在边BC、CD上分别存在点G、H，使得四边形EFGH的周长最小？若存在，求出它周长的最小值；若不存在，请说明理由．
问题解决
(3)如图③，有一矩形板材ABCD，AB＝3米，AD＝6米．现想从此板材中裁出一个面积尽可能大的四边形EFGH部件，使∠EFG＝90°，EF＝FG＝米，∠EHG＝45°.经研究，只有当点E、F、G分别在边AD、AB、BC上，且AF＜BF，并满足点H在矩形ABCD内部或边上时，才有可能裁出符合要求的部件．试问能否裁得符合要求的面积尽可能大的四边形EFGH部件？若能，求出裁得的四边形EFGH部件的面积；若不能，请说明理由．








1. (1)证明：∵AB＝AC，DE＝DF，
∴＝，
又∵∠A＝∠D，∴△ABC∽△DEF，∴＝，
∴＝.
(2)解：①，，0 【解法提示】①如解图①，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝∠C＝45°，
∴设AB＝AC＝x，由勾股定理得BC＝x，
∴T(90°)＝＝＝；
第1题解图①
　　　第1题解图②


如解图②，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC，
过点A作AD⊥BC，
∴∠BAD＝60°，BD＝BC，
设AD＝y，在Rt△ABD中，∠BAD＝60°，
∴BD＝AD·tan60°＝y，AB＝2AD＝2y，
∴BC＝2BD＝2y，
∴T(120°)＝＝；
∵∠A<180°，当∠A＝180°时，
此时AB＝AC＝BC即T(A)＝＝＝2，
∵要构成三角形，∴T(A)<2，
∵T(A)＞0，∴0
第1题解图
②如解图，设圆锥的底面半径为r，母线长为l，
∵圆锥的底面圆周长＝圆锥展开图扇形的弧长，即2πr＝，
∴＝，
∵ r＝4，l＝9，∴n＝160.
∵T(80°)≈1.29，
∴蚂蚁爬行的最短距离＝T(80°)×l≈1.29×9≈11.6.
2. 解：(1)作图如解图①，

第2题解图①
证明：∵△ABD和△ACE为等边三角形，
则AB＝AD，AE＝AC，∠DAB＝∠EAC＝60°，
又∵∠DAC＝∠DAB＋∠BAC＝∠EAC＋∠BAC＝∠BAE，
∴△DAC≌△BAE(SAS)，
∴BE＝CD.
(2)BE＝CD.
理由如下：
∵四边形ABFD和四边形ACGE为正方形，
∴AB＝AD，AC＝AE，∠DAB＝∠EAC＝90°，
又∵∠DAC＝∠DAB＋∠BAC＝∠EAC＋∠BAC＝∠BAE，
∴△DAC≌△BAE(SAS)，
∴BE＝CD.
(3)如解图②，以AB为边，作等腰直角三角形ABD，∠BAD＝90°，

第2题解图②
则AD＝AB＝100米，∠ABD＝45°，
∴BD＝100 米，
连接CD，则由(2)可得，BE＝CD，
∵∠ABC＝45°，
∴∠DBC＝90°，
在Rt△DBC中，BC＝100米，BD＝100 米，
由勾股定理得CD＝
＝100 米，
则BE＝CD＝100 米．
3. 【发现证明】证明：如解图①，将△ABE绕点A逆时针旋转90°到△ADG，则AB与AD重合，

第3题解图①

∴∠BAE＝∠DAG，∠B＝∠ADG，BE＝GD，
AE＝AG，
∴∠GAF＝∠DAF＋∠GAD＝∠BAE＋∠DAF＝45°，
在正方形ABCD中，∠B＝∠ADC＝90°，
∴∠ADG＋∠ADF＝180°，即G、D、F在一条直线上，
∵∠EAF＝45°，
在△EAF和△GAF中，AE＝AG，∠EAF＝∠GAF＝45°，AF＝AF，
∴△EAF≌△GAF(SAS)，
∴EF＝GF，
∴EF＝FG＝FD＋DG＝FD＋BE.
【类比引申】∠EAF＝∠BAD.
【解法提示】如解图②，延长CB至M，使BM＝DF，连接AM，
∵∠ABC＋∠D＝180°，∠ABC＋∠ABM＝180°，
∴∠D＝∠ABM，
在△ABM和△ADF中，
，

第3题解图②
∴△ABM≌△ADF(SAS)，
∴AF＝AM，∠DAF＝∠BAM，
∵∠BAD＝2∠EAF，
∴∠DAF＋∠BAE＝∠EAF
＝∠BAD，
∴∠EAB＋∠BAM＝∠EAM＝∠EAF，
在△FAE和△MAE中，
，
∴△FAE≌△MAE(SAS)，
∴EF＝EM，
又∵EM＝BE＋BM＝BE＋DF，
∴EF＝BE＋DF.
【探究应用】解：如解图③，连接AF，延长BA、CD交于点O，
∵∠BAD＝150°，∠ADC＝120°，
∴∠OAD＝30°，∠ODA＝60°，
∴△OAD是直角三角形．
∵AD＝80，
∴AO＝40，OD＝40，
∵OF＝OD＋DF＝40＋40(－1)＝40，
∴AO＝OF，

第3题解图③
∴∠OAF＝45°，
∵∠OAD＝30°，
∴∠DAF＝15°，
∵∠EAD＝90°，
∴∠EAF＝∠EAD－∠DAF＝75°＝∠BAD，
又∠B＋∠ADC＝180°，
由(2)知EF＝BE＋DF.
∠BAE＝∠BAD－∠EAD＝150°－90°＝60°＝∠B，
∴△ABE为等边三角形，
∴BE＝AB＝80，
∴EF＝BE＋DF＝80＋40(－1)≈109(米)．
4. 解：(1)如解图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB至点D，使BD＝BA，连接AD.

第4题解图①

设AC＝1，则BD＝BA＝2，BC＝，
tan∠DAC＝tan75°＝＝＝＝2＋.
【一题多解】tan75°＝tan(45°＋30°)＝＝＝＝2＋.

第4题解图②
(2)如解图②，在Rt△ABC中，AB＝＝＝30，
sin∠BAC＝＝＝，即∠BAC＝30°，
∵∠DAC＝45°，
∴∠DAB＝45°＋30°＝75°.
在Rt△ABD中，tan∠DAB＝＝2＋，
∴DB＝AB·tan∠DAB＝30·(2＋)＝60＋90，
∴DC＝DB－BC＝60＋90－30＝
60＋60.(米)
答：这座电视塔CD的高度为(60＋60)米.

第4题解图③
(3)直线AB能与双曲线相交，
点P的坐标为(－1，－4)或(，3)，
理由如下：若直线AB绕点C逆时针旋转45°后，与双曲线相交于点P1、P2，如解图③，过点C作CD∥x轴，过点P1作P1E⊥CD于点E，过点A作AF⊥CD于点F.
解方程组，
得，或，
∴点A(4，1)，点B(－2，－2)．
对于y＝x－1，当x＝0时，y＝－1，则C(0，－1)，OC＝1，
∴CF＝4，AF＝1－(－1)＝2，
∴tan∠ACF＝＝＝，
∴tan∠P1CE＝tan(∠ACP1＋∠ACF)＝tan(45°＋∠ACF)＝＝＝3，即＝3.
设点P的坐标为(a，b)，
则有，
解得，或，
∴点P的坐标为(－1，－4)或(，3)；
(ii)若直线AB绕点C顺时针旋转45°后，与x轴相交于点G，如解图④.
由(i)可知∠ACP＝45°，P(，3)，则CP⊥CG.
过点P作PH⊥y轴于H，
则∠GOC＝∠CHP＝90°，∠GCO＝90°－∠HCP＝∠CPH，

第4题解图④
∴△GOC∽△CHP，
∴＝.
∵CH＝3－(－1)＝4，PH＝，OC＝1，
∴＝＝，
∴GO＝3，G(－3，0)．
设直线CG的解析式为y＝kx＋b，
则有，
解得，
∴直线CG的解析式为y＝－x－1.
联立，
消去y，得＝－x－1，
整理得x2＋3x＋12＝0，
∵b2－4ac＝32－4×1×12＝－39<0，
∴方程没有实数根，
∴直线绕点C顺时针旋转45°，与双曲线无交点．(
综上所述，直线AB绕点C逆时针旋转45°后，能与双曲线相交，交点P的坐标为(－1，－4)或(，3)．
5. 解：(1)若k＝2, b＝－4，
①x1＝3时，x2＝2×3－4＝2，x3＝2×2－4＝0，x4＝2×0－4＝－4，x5＝2×(－4)－4＝－12；
②x1＝4时，x2＝2×4－4＝4，x3＝2×4－4＝4，x4＝2×4－4＝4，x5＝2×4－4＝4；
③x1＝5时，x2＝2×5－4＝6，x3＝2×6－4＝8，x4＝2×8－4＝12，x5＝2×12－4＝20，
由上面的特殊值可得，y＝2x－4与y＝x交点的横坐标为4，
所以当输入的值x>4时，xn的值会随着运算次数的增大而增大；
当输入的值x＝4时，xn的值不变；
当输入的值x<4时，xn的值会随着运算次数的增大而减小．
(2)当k>1时，y＝kx＋b与y＝x的交点坐标横坐标为x＝－，
所以当输入的值x>－时，xn的值会随着运算次数的增大而增大；
当输入的值x＝－时，xn的值不变；
当输入的值x<－时，xn的值会随着运算次数的增大而减小．
理由如下：直线y＝kx＋b与直线y＝x的交点坐标为(，)，当x＞时，对于同一个x的值，kx＋b＞x，∴y1＞x1，∵y1＝x2，∴x1＜x2，同理x2＜x3＜…＜xn，∴当x1＞时，随着运算次数n的增加，xn越来越大，同理，当x1＜时，随着运算次数n的增加，xn越来越小，当x＝时，随着运算次数n的增加，xn保持不变．
(3)①画如解图，
第5题解图

结论：通过画图可得，xn的值越来越靠近两个函数图象交点的横坐标即；
②|k|<1且k≠0时，m＝－.即－1＜k＜1且k≠0，
【解法提示】两个函数图象的交点的横坐标满足kx＋b＝x，解得x＝－，且k≠0，由(1)得|k|＜1.
6. (1)【思路分析】要作对称图形，先要考虑对称的性质，即对应点关于对称轴对称，只需作出点B关于直线AC的对称点D，连接AD，CD即可．

第6题解图①
解：如解图①，△ADC即为所求作三角形．
【作法提示】(1)过点B作直线AC的垂线，垂足为点O；
(2)在垂线上截取OD＝OB，连接AD，CD，则△ADC即为所要求作的三角形．
(2)【思路分析】四边形EFGH的周长＝EF＋FG＋GH＋HE，由题意可知AF和AE的长均为定值，利用勾股定理可求得EF的长为定值，所以要求四边形周长的最小值，只需令FG＋GH＋HE最小即可，利用作对称线段将所求线段和转化到三角形中进行求解，进而利用直角三角形三边关系求出线段和最小值．

第6题解图②

解：存在．理由如下：
如解图②，作点E关于CD的对称点E′，作点F关于BC的对称点F′，连接E′F′，交BC于点G，交CD于点H，连接FG、EH，则F′G＝FG，E′H＝EH，所以此时四边形EFGH的周长最小．这是因为：在BC上任取一点G′，在CD上任取一点H′，则FG′＋G′H′＋H′E＝F′G′＋G′H′＋H′E′≥E′F′.
由题意得：BF′＝BF＝AF＝2，DE′＝DE＝2，∠A＝90°，
∴AF′＝6，AE′＝8.
∴E′F′＝10，EF＝2.
∴四边形EFGH周长的最小值为EF＋FG＋GH＋HE＝EF＋E′F′＝2＋10.
∴在BC、CD上分别存在满足条件的点G、H，使四边形EFGH的周长最小，最小值是2＋10.
(3)【思路分析】要使四边形EFGH面积最大，因为E、F、G的位置确定，即△EFG的面积是固定的，只要求以EG为底边的△EGH最大面积即可，且∠EHG为45°，作△EFG关于EG的对称图形，以点F的对称点O为圆心，作以EG为弦的圆，根据圆的基本性质，即EG的中垂线与圆的交点即为所求的点H′，然后再由对称的性质和勾股定理求解即可．
解：能裁得．
∵∠EFG＝∠A＝90°，
∴∠2＋∠AFE＝∠1＋∠AFE＝90°，
∴∠1＝∠2，
∵EF＝FG＝，
∴△AEF≌△BFG(AAS)，
∴AF＝BG，AE＝BF.
设AF＝x，则AE＝BF＝3－x，
∴x2＋(3－x)2＝()2
解得x1＝1或x2＝2，
∵AF＜BF，
∴x2＝2舍去，∴AF＝BG＝1，AE＝BF＝2，
∴DE＝4，CG＝5.
如解图③，连接EG，作△EFG关于EG的对称图形△EOG，则四边形EFGO为正方形，∠EOG＝90°.以点O为圆心，OE长为半径作⊙O，则∠EHG＝45°的点H在⊙O上．连接FO，并延长交⊙O于点H，则点H在EG中垂线上．

第6题解图③
连接EH、GH，则∠EHG＝45°.此时，四边形EFGH就是想要裁得的四边形EFGH中面积最大的．连接CE，则CE＝CG＝＝5.
∴点C在线段EG的中垂线上，连接HC，
∴点F、O、H、C在一条直线上，
又∵EG＝＝，
∴FO＝EG＝.
又∵CF＝＝2，
∴OC＝.
又∵OH＝OE＝FG＝，
∴OH＜OC，
∴点H在矩形ABCD的内部，
∴可以在矩形板材ABCD中，裁得符合条件的面积最大的四边形EFGH部件，这个部件的面积即S四边形EFGH＝EG·FH＝××(＋)＝(5＋)m2.
∴所裁得的四边形部件EFGH是符合条件的面积最大的部件，这个部件的面积为(5＋) m2.
本题的难点在于第(3)问点H位置的确定，题中已知点E、F、G的位置，即解决本题的实质是求以EG为底边的△EGH的面积最大时点H的位置，由于∠EHG＝45°，想到作直角△EFG关于EG的对称图形，则以点F的对称点为圆心、EG为弦的圆在矩形ABCD内的点H满足题意，根据圆的基本性质，则点H为EG的中垂线与所作圆的交点．