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中考数学全面突破：题型1 规律探索型问题 含解析答案
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这是一份中考数学全面突破：题型1 规律探索型问题 含解析答案，共6页。试卷主要包含了常考类型，按一定规律排列的一列数，观察下列等式，5π C等内容，欢迎下载使用。
题型1 规律探索型问题
对于规律探索题型常常会有一定的通式或循环规律，解题时一般先列出前几项，找出规律或通式求解.1.常考类型：①数字规律探索；②数式规律探索；③图形规律探索；④坐标系中图形规律探索；⑤与函数图象相关的规律探索.2.考查形式与题型：一般都是给出一列数字或者图形，求其第n个数字、第n个式子或第n个图形或求末位数值；题型为选择、 填空.
类型一 数字规律探索
1.观察下列等式：71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，76＝117649，…，那么：71＋72＋73＋…＋72016的末位数字是( )
A. 9 B. 7 C. 6 D. 0
2.按一定规律排列的一列数：，1，1，，，，，…，请你仔细观察，按照此规律方框内的数字应为________．
3.观察下列等式：31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，….试猜想，32016的个位数字是________．
类型二 数式规律探索
4. “数学是将科学现象升华到科学本质认识的重要工具”．比如在化学中，甲烷的化学式是CH4，乙烷的化学式是C2H6，丙烷的化学式是C3H8，…，设碳原子的数目为n(n为正整数)，则它们的化学式都可用下列哪个式子来表示( )
A. CnH2n＋2 B. CnH2n C. CnH2n－2 D. CnHn＋3
5.古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，……叫做三角形数，它有一定的规律性．若把第一个三角形数记为x1，第二个三角形数记为x2，…，第n个三角形数记为xn，则xn＋xn＋1＝________．
6.观察下列等式：
1＋2＋3＋4＋…＋n＝n(n＋1)；
1＋3＋6＋10＋…＋n(n＋1)＝n(n＋1)(n＋2)
1＋4＋10＋20＋…＋n(n＋1)(n＋2)＝n(n＋1)(n＋2)(n＋3);
则有：1＋5＋15＋35＋…＋n(n＋1)(n＋2)(n＋3)＝________．
类型三 图形规律探索
7.如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，…，按照此规律继续下去，则S9的值为( )
A. ()6 B. ()7 C. ()6 D. ()7
第7题图 第8题图 第9题图
8.如图，在矩形ABCD中，已知AB＝4，BC＝3，矩形在直线l上绕其右下角的顶点B向右旋转90°至图①位置，再绕右下角的顶点继续向右旋转90°至图②位置，…，依次类推，这样连续旋转2015次后，顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和是( )
A. 2015π B. 3019.5π C. 3018π D. 3024π
9.将一些相同的“○”按如图所示的规律依次摆放，观察每个“龟图”中“○”的个数，若第n个“龟图”中有245个“○”，则n＝________．
10.如图，△ABC的面积为1，第一次操作：分别延长AB，BC，CA至点A1，B1，C1，使A1B＝AB，B1C＝BC，C1A＝CA，顺次连接A1，B1，C1，得到△A1B1C1，第二次操作，分别延长A1B1，B1C1，C1A1至点A2，B2，C2，使A2B1＝A1B1，B2C1＝B1C1，C2A1＝C1A1，顺次连接A2，B2，C2，得到△A2B2C2，…，按此规律，要使得到的三角形的面积超过2016，最少经过________次操作．
第10题图 第11题图 第12题图
11.如图，∠MON＝60°，作边长为1的正六边形A1B1C1D1E1F1，边A1B1、F1E1分别在射线OM、ON上，边C1D1所在的直线分别交OM、ON于点A2、F2，以A2F2为边作正六边形A2B2C2D2E2F2，边C2D2所在的直线分别交OM、ON于点A3、F3，再以A3F3为边作正六边形A3B3C3D3E3F3，…，依此规律，经第n次作图后，点Bn到ON的距离是________．
类型四 坐标中的图形规律探索
12.如图，已知菱形OABC的顶点O(0，0)，B(2，2)，若菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，则第60秒时，菱形的对角线交点D的坐标为( )
A. (1，－1) B. (－1，－1) C. (，0) D. (0，－)
13.如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OA1B1C1的两边在坐标轴上，以它的对角线OB1为边作正方形OB1B2C2，再以正方形OB1B2C2的对角线OB2为边作正方形OB2B3C3，依次类推…，则正方形OB2015B2016C2016的顶点B2016的坐标是________．
第13题图 第14题图 第15题图
14.如图，点A1的坐标为(1，0)，A2在y轴的正半轴上，且∠A1A2O＝30°，过点A2作A2A3⊥A1A2，垂足为A2，交x轴于点A3；过点A3作A3A4⊥A2A3，垂足为A3，交y轴于点A4；过点A4作A4A5⊥A3A4，垂足为A4，交x轴于点A5；过点A5作A5A6⊥A4A5，垂足为A5，交y轴于点A6，…，按此规律进行下去，则点A2016的纵坐标为____________．
15.如图，在平面直角坐标系中，矩形AOCB的两边OA、OC分别在x轴和y轴上，且OA＝2，OC＝1.在第二象限内，将矩形AOCB以原点O为位似中心放大为原来的倍，得到矩形A1OC1B1，再将矩形A1OC1B1以原点O为位似中心放大倍，得到矩形A2OC2B2…，依此规律，得到的矩形AnOCnBn的对角线交点的坐标为________．
16.如图，在平面直角坐标系中，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7，△A7A8A9，…，都是等边三角形，且点A1，A3，A5，A7，A9的坐标分别为A1(3，0)，A3(1，0)，A5(4，0)，A7(0，0)，A9(5，0)，依据图形所反映的规律，则A100的坐标为________．
类型五 与函数图象相关的规律探索
17.如图，在坐标轴上取点A1(2，0)，作x轴的垂线与直线y＝2x交于点B1，作等腰直角三角形A1B1A2；又过点A2作x轴的垂线与直线y＝2x交于点B2，作等腰直角三角形A2B2A3；…，如此反复作等腰直角三角形，当作到An(n为正整数)点时，则An的坐标是________．
第16题图 第17题图 第18题图
18.如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点B顺时针旋转到△A1BO1的位置，使点A的对应点A1落在直线y＝x上，再将△A1BO1绕点A1顺时针旋转到△A1B1O2的位置，使点O1的对应点O2落在直线y＝x上，依次进行下去…. 若点A的坐标是(0，1)，点B的坐标是(，1)，则点A8的横坐标是________．
答案与解析：
类型一 数字规律探索
1. D 【解析】根据题意，7的幂次方最终结果的末位数字是7，9，3，1这样的循环，其和的末位数字是0，因为2016＝504×4，所以71＋72＋73＋…＋72016的末位数字是0.
2. 1 【解析】将原来的一列数变形为，，，□，，，，…通过观察可以得出分子依次为从小到大排列的连续奇数，分母是依次从小到大排列的质数，故方框内填，故答案为1.
3. 1 【解析】从前几个3的幂次方结果来看，它的个位数字依次是3，9，7，1，第5个数跟第一个数的个位数字相同，于是3的整数次幂是每四个数一个循环，2016÷4＝504，于是32016的个位数字与34的个位数字相同，即为1.
类型二 数式规律探索
4. A 【解析】由H的下标可得第1个是4，第二个为6，第三个为8，所以第n个为2n＋2，由C的下标可得第1个是1，第二个是2，…，所以碳原子的数目为n时，化学式为CnH2n＋2.
5. (n＋1)2或n2＋2n＋1 【解析】∵x1＋x2＝1＋3＝4＝22，x2＋x3＝3＋6＝9＝32，x3＋x4＝6＋10＝16＝42，x4＋x5＝10＋15＝25＝52，x5＋x6＝15＋21＝36＝62，∴xn＋xn＋1＝(n＋1)2＝n2＋2n＋1.
6. n(n＋1)(n＋2)(n＋3)(n＋4) 【解析】观察所给等式可以发现，第一个等式的右边系数为＝1×，因式为n(n＋1)；第二个等式的右边系数为＝×，因式为n(n＋1)(n＋2)；第三个等式的右边系数为＝×，因式为n(n＋1)(n＋2)(n＋3)，所以第四个等式的右边系数为×＝，因式为n(n＋1)(n＋2)(n＋3)(n＋4)，结果为n(n＋1)(n＋2)(n＋3)(n＋4)．
类型三 图形规律探索
7. A 【解析】由题意得：S1＝22＝()－2，S2＝()2＝()－1，S3＝(1)2＝()0，S4＝()2＝()1，…，S9＝()9－3＝()6.故选A.
8. D 【解析】本题考查旋转规律探索和弧长公式．在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，由勾股定理得：AC＝＝5，画出经过旋转六次后点A经过的路线，由题图可知经过第①次旋转，点A运动过的路程是以B为圆心，AB长为半径，圆心角为90°的；经过第②次旋转，点A运动过的路程是以AC长为半径，圆心角为90°的；经过第③次旋转，点A运动过的路程是以AD长为半径，圆心角为90°的；第④次旋转，点A在直线上不变化；经过第⑤次旋转，点A运动过的路程与第①次旋转运动过的路程一致. 故点A每经过四次旋转后，重复前四次旋转的路程．∵2015÷4＝503……3，∴点A经过的路程正好是503个前四次运动的路程和再加上一个前三次运动的路程和，即一共是504个前三次运动的路程和．由弧长公式得的长为πAB＝2π，的长为πAC＝π；的长为πAD＝π，∴经过2015次旋转后，点A经过的路程为504×(2π＋π＋π)＝3024π.
9. 16 【解析】根据题意得：第1个图形中小圆的个数为5，第2个图形中小圆的个数为7，第3个图形中小圆的个数为11，得出第n个图形中小圆的个数为n(n－1)＋5.据此可以求出“龟图”中有245个“○”时n的值．方法①：第1个图形有：5个○，第2个图形有：2×(2－1)＋5＝7个○，第3个图形有：3×(3－1)＋5＝11个○，第4个图形有：4×(4－1)＋5＝17个○，…，据此得出：第n个图形有：n(n－1)＋5个○，则可得方程n(n－1)＋5＝245，解得n1＝16，n2＝－15(不合题意，舍去)．故答案为：16.方法②：设y＝an2＋bn＋c，根据题意得，解得，∴y＝n2－n＋5.当y＝245时，可得：n2－n＋5＝245.
10. 四 【解析】△ABC与△A1BB1的底相等(AB＝A1B)，高为1∶2(BB1＝2BC)，故面积比为1∶2，∵S△ABC＝1，∴S△A1BB1＝2.同理可得，S△C1B1C＝2，S△AA1C1＝2，∴S△A1B1C1＝S△C1B1C＋S△AA1C1＋S△A1B1B＋S△ABC＝2＋2＋2＋1＝7，同理可证：S△A2B2C2＝7S△A1B1C1＝49，第三次操作后的面积为7×49＝343，第四次操作后的面积为7×343＝2401.故按此规律，要使得到的三角形的面积超过2016，最少经过四次操作．
11. 3n－1 【解析】由题可知，∠MON＝60°，不妨设Bn到ON的距离为hn，∵正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为1，则A1B1＝1，易知△A1OF1为等边三角形，∴A1B1＝OA1＝1，∴OB1＝2，则h1＝2×＝，又OA2＝A2F2＝A2B2＝3，∴OB2＝6，则h2＝6×＝3，同理可求：OB3＝18，则h3＝18×＝9，…，依此可求：OBn＝2×3n－1，则hn＝2×3n－1×＝3n－1，∴Bn到ON的距离hn＝3n－1.
类型四 坐标中的图形规律探索
12. B 【解析】∵菱形OABC的顶点O(0，0)，点B的坐标是(2，2)，∴BO与x轴的夹角为45°，∵菱形的对角线互相垂直平分，∴点D 是线段OB的中点，∴点D 的坐标是(1，1)，∵菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，360°÷45°＝8，∴每旋转8秒，菱形的对角线交点就回到原来的位置(1，1)，∵60÷8＝7……4，∴第60秒时菱形绕点O逆时针旋转了7周回到原来位置后，又旋转了4秒，即又旋转了4×45°＝180°，∴点D的对应点落在第三象限，且对应点与点D关于原点O成中心对称，∴第60秒时，菱形的对角线交点D的坐标为(－1，－1)．
13. (21008，0) 【解析】点B的位置依次落在第一象限、y轴正半轴、第二象限、x轴负半轴、第三象限、y轴负半轴、第四象限、x轴正半轴，…，每8次一循环.2016÷8＝252，所以点B2016落在x轴正半轴，故B2016的纵坐标是0；OBn是正方形的对角线，OB1＝，OB2＝2＝()2，OB3＝2＝()3，…，所以OB2016＝()2016＝21008，所以点B2016的坐标为(21008，0)．
14. －31007 【解析】∵A1(1，0)，∠A1A2O＝30°，∴A2(0，)，∵A3A2⊥A1A2 ，∴∠A3A2O＝60°，∴∠A2A3O＝30°， ∴A3(－3，0)，同理：A4(0，－3)，A5(9，0)，A6(0，9)，A7(－27，0)，A8(0，－27)，…，即：A2(0，)，A4(0，－3)，A6(0，9)，A8(0，－27)，列表如下：
A2
×(－3)0
…
(2－2)÷2＝0
A4
×(－3)1
…
(4－2)÷2＝1
A6
×(－3)2
…
(6－2)÷2＝2
A8
×(－3)3
…
(8－2)÷2＝3
A2016
×(－3)n
…
(2016－2)÷2＝n
∴n＝1007，∴A2016的纵坐标是－31007.
15. (－，) 【解析】在矩形OABC中，OA＝2，OC＝1，∴A(－2，0)，C(0，1)，∴对角线的交点为(－1，)，将矩形OABC以原点O为位似中心，放大为原来的倍，∴矩形A1OC1B1对角线的交点为(－，)，即(－，×)，继续放大为原来的倍，∴矩形A2OC2B2对角线的交点为(－，)，即(－，×)，…，依次类推，∴矩形AnOCnBn对角线的交点为(－，)．
第16题解图
16. (，－) 【解析】如解图，继续排列图形如下，观察发现，A1、A5、A9、…、A4n－3在点(2，0)的右侧，A3、A7、A11、…、A4n－1在点(2，0)的左侧，A2、A6、A10、…、A4n－2在第一象限，A4、A8、A12、…、A4n在第四象限，∴A100在第四象限，进一步观察发现：①A4、A8、A12、A4n的横坐标都为，②A4n所在等边三角形边长为2n＋1，可求得A100所在等边三角形边长为2×25＋1＝51，进一步可求点A100的纵坐标为－(×51)＝－，从而解得A100的坐标为(，－)．
类型五 与函数图象相关的规律探索
17. (2×3n－1，0) 【解析】∵A1(2，0)＝(2×30，0)，且A1B1⊥x轴，与直线y＝2x交于点B1，∴B1(2，4)，∵作等腰直角三角形△A1B1A2是等腰直角三角形，∴A2(6，0)＝(2×31，0)，∵A2B2⊥x轴，且与直线y＝2x交于点B2，∴B2(6，12)，∴A3(18，0)＝(2×32，0)，如此反复作等腰直角三角形，An(2×3n－1，0)．
18. 6＋6 【解析】由A点的坐标得OA＝1，由B点的坐标得OB＝2，则AB＝，由图象得直线OB与x轴的正方向的夹角为30°，于是A1的横坐标为：OA1·cos30°＝(2＋)×；A2的横坐标为：OO2·cos30°＝(2＋＋1)×；A3的横坐标为：OA3·cos30°＝(2＋＋1＋2＋)×；A4的横坐标为：(2＋＋1＋2＋＋1)×；…，于是A8的横坐标为：(2＋＋1＋2＋＋1＋2＋＋1＋2＋＋1)×＝6＋6.
题型1 规律探索型问题
对于规律探索题型常常会有一定的通式或循环规律，解题时一般先列出前几项，找出规律或通式求解.1.常考类型：①数字规律探索；②数式规律探索；③图形规律探索；④坐标系中图形规律探索；⑤与函数图象相关的规律探索.2.考查形式与题型：一般都是给出一列数字或者图形，求其第n个数字、第n个式子或第n个图形或求末位数值；题型为选择、 填空.
类型一 数字规律探索
1.观察下列等式：71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，76＝117649，…，那么：71＋72＋73＋…＋72016的末位数字是( )
A. 9 B. 7 C. 6 D. 0
2.按一定规律排列的一列数：，1，1，，，，，…，请你仔细观察，按照此规律方框内的数字应为________．
3.观察下列等式：31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，….试猜想，32016的个位数字是________．
类型二 数式规律探索
4. “数学是将科学现象升华到科学本质认识的重要工具”．比如在化学中，甲烷的化学式是CH4，乙烷的化学式是C2H6，丙烷的化学式是C3H8，…，设碳原子的数目为n(n为正整数)，则它们的化学式都可用下列哪个式子来表示( )
A. CnH2n＋2 B. CnH2n C. CnH2n－2 D. CnHn＋3
5.古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，……叫做三角形数，它有一定的规律性．若把第一个三角形数记为x1，第二个三角形数记为x2，…，第n个三角形数记为xn，则xn＋xn＋1＝________．
6.观察下列等式：
1＋2＋3＋4＋…＋n＝n(n＋1)；
1＋3＋6＋10＋…＋n(n＋1)＝n(n＋1)(n＋2)
1＋4＋10＋20＋…＋n(n＋1)(n＋2)＝n(n＋1)(n＋2)(n＋3);
则有：1＋5＋15＋35＋…＋n(n＋1)(n＋2)(n＋3)＝________．
类型三 图形规律探索
7.如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，…，按照此规律继续下去，则S9的值为( )
A. ()6 B. ()7 C. ()6 D. ()7
第7题图 第8题图 第9题图
8.如图，在矩形ABCD中，已知AB＝4，BC＝3，矩形在直线l上绕其右下角的顶点B向右旋转90°至图①位置，再绕右下角的顶点继续向右旋转90°至图②位置，…，依次类推，这样连续旋转2015次后，顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和是( )
A. 2015π B. 3019.5π C. 3018π D. 3024π
9.将一些相同的“○”按如图所示的规律依次摆放，观察每个“龟图”中“○”的个数，若第n个“龟图”中有245个“○”，则n＝________．
10.如图，△ABC的面积为1，第一次操作：分别延长AB，BC，CA至点A1，B1，C1，使A1B＝AB，B1C＝BC，C1A＝CA，顺次连接A1，B1，C1，得到△A1B1C1，第二次操作，分别延长A1B1，B1C1，C1A1至点A2，B2，C2，使A2B1＝A1B1，B2C1＝B1C1，C2A1＝C1A1，顺次连接A2，B2，C2，得到△A2B2C2，…，按此规律，要使得到的三角形的面积超过2016，最少经过________次操作．
第10题图 第11题图 第12题图
11.如图，∠MON＝60°，作边长为1的正六边形A1B1C1D1E1F1，边A1B1、F1E1分别在射线OM、ON上，边C1D1所在的直线分别交OM、ON于点A2、F2，以A2F2为边作正六边形A2B2C2D2E2F2，边C2D2所在的直线分别交OM、ON于点A3、F3，再以A3F3为边作正六边形A3B3C3D3E3F3，…，依此规律，经第n次作图后，点Bn到ON的距离是________．
类型四 坐标中的图形规律探索
12.如图，已知菱形OABC的顶点O(0，0)，B(2，2)，若菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，则第60秒时，菱形的对角线交点D的坐标为( )
A. (1，－1) B. (－1，－1) C. (，0) D. (0，－)
13.如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OA1B1C1的两边在坐标轴上，以它的对角线OB1为边作正方形OB1B2C2，再以正方形OB1B2C2的对角线OB2为边作正方形OB2B3C3，依次类推…，则正方形OB2015B2016C2016的顶点B2016的坐标是________．
第13题图 第14题图 第15题图
14.如图，点A1的坐标为(1，0)，A2在y轴的正半轴上，且∠A1A2O＝30°，过点A2作A2A3⊥A1A2，垂足为A2，交x轴于点A3；过点A3作A3A4⊥A2A3，垂足为A3，交y轴于点A4；过点A4作A4A5⊥A3A4，垂足为A4，交x轴于点A5；过点A5作A5A6⊥A4A5，垂足为A5，交y轴于点A6，…，按此规律进行下去，则点A2016的纵坐标为____________．
15.如图，在平面直角坐标系中，矩形AOCB的两边OA、OC分别在x轴和y轴上，且OA＝2，OC＝1.在第二象限内，将矩形AOCB以原点O为位似中心放大为原来的倍，得到矩形A1OC1B1，再将矩形A1OC1B1以原点O为位似中心放大倍，得到矩形A2OC2B2…，依此规律，得到的矩形AnOCnBn的对角线交点的坐标为________．
16.如图，在平面直角坐标系中，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7，△A7A8A9，…，都是等边三角形，且点A1，A3，A5，A7，A9的坐标分别为A1(3，0)，A3(1，0)，A5(4，0)，A7(0，0)，A9(5，0)，依据图形所反映的规律，则A100的坐标为________．
类型五 与函数图象相关的规律探索
17.如图，在坐标轴上取点A1(2，0)，作x轴的垂线与直线y＝2x交于点B1，作等腰直角三角形A1B1A2；又过点A2作x轴的垂线与直线y＝2x交于点B2，作等腰直角三角形A2B2A3；…，如此反复作等腰直角三角形，当作到An(n为正整数)点时，则An的坐标是________．
第16题图 第17题图 第18题图
18.如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点B顺时针旋转到△A1BO1的位置，使点A的对应点A1落在直线y＝x上，再将△A1BO1绕点A1顺时针旋转到△A1B1O2的位置，使点O1的对应点O2落在直线y＝x上，依次进行下去…. 若点A的坐标是(0，1)，点B的坐标是(，1)，则点A8的横坐标是________．
答案与解析：
类型一 数字规律探索
1. D 【解析】根据题意，7的幂次方最终结果的末位数字是7，9，3，1这样的循环，其和的末位数字是0，因为2016＝504×4，所以71＋72＋73＋…＋72016的末位数字是0.
2. 1 【解析】将原来的一列数变形为，，，□，，，，…通过观察可以得出分子依次为从小到大排列的连续奇数，分母是依次从小到大排列的质数，故方框内填，故答案为1.
3. 1 【解析】从前几个3的幂次方结果来看，它的个位数字依次是3，9，7，1，第5个数跟第一个数的个位数字相同，于是3的整数次幂是每四个数一个循环，2016÷4＝504，于是32016的个位数字与34的个位数字相同，即为1.
类型二 数式规律探索
4. A 【解析】由H的下标可得第1个是4，第二个为6，第三个为8，所以第n个为2n＋2，由C的下标可得第1个是1，第二个是2，…，所以碳原子的数目为n时，化学式为CnH2n＋2.
5. (n＋1)2或n2＋2n＋1 【解析】∵x1＋x2＝1＋3＝4＝22，x2＋x3＝3＋6＝9＝32，x3＋x4＝6＋10＝16＝42，x4＋x5＝10＋15＝25＝52，x5＋x6＝15＋21＝36＝62，∴xn＋xn＋1＝(n＋1)2＝n2＋2n＋1.
6. n(n＋1)(n＋2)(n＋3)(n＋4) 【解析】观察所给等式可以发现，第一个等式的右边系数为＝1×，因式为n(n＋1)；第二个等式的右边系数为＝×，因式为n(n＋1)(n＋2)；第三个等式的右边系数为＝×，因式为n(n＋1)(n＋2)(n＋3)，所以第四个等式的右边系数为×＝，因式为n(n＋1)(n＋2)(n＋3)(n＋4)，结果为n(n＋1)(n＋2)(n＋3)(n＋4)．
类型三 图形规律探索
7. A 【解析】由题意得：S1＝22＝()－2，S2＝()2＝()－1，S3＝(1)2＝()0，S4＝()2＝()1，…，S9＝()9－3＝()6.故选A.
8. D 【解析】本题考查旋转规律探索和弧长公式．在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，由勾股定理得：AC＝＝5，画出经过旋转六次后点A经过的路线，由题图可知经过第①次旋转，点A运动过的路程是以B为圆心，AB长为半径，圆心角为90°的；经过第②次旋转，点A运动过的路程是以AC长为半径，圆心角为90°的；经过第③次旋转，点A运动过的路程是以AD长为半径，圆心角为90°的；第④次旋转，点A在直线上不变化；经过第⑤次旋转，点A运动过的路程与第①次旋转运动过的路程一致. 故点A每经过四次旋转后，重复前四次旋转的路程．∵2015÷4＝503……3，∴点A经过的路程正好是503个前四次运动的路程和再加上一个前三次运动的路程和，即一共是504个前三次运动的路程和．由弧长公式得的长为πAB＝2π，的长为πAC＝π；的长为πAD＝π，∴经过2015次旋转后，点A经过的路程为504×(2π＋π＋π)＝3024π.
9. 16 【解析】根据题意得：第1个图形中小圆的个数为5，第2个图形中小圆的个数为7，第3个图形中小圆的个数为11，得出第n个图形中小圆的个数为n(n－1)＋5.据此可以求出“龟图”中有245个“○”时n的值．方法①：第1个图形有：5个○，第2个图形有：2×(2－1)＋5＝7个○，第3个图形有：3×(3－1)＋5＝11个○，第4个图形有：4×(4－1)＋5＝17个○，…，据此得出：第n个图形有：n(n－1)＋5个○，则可得方程n(n－1)＋5＝245，解得n1＝16，n2＝－15(不合题意，舍去)．故答案为：16.方法②：设y＝an2＋bn＋c，根据题意得，解得，∴y＝n2－n＋5.当y＝245时，可得：n2－n＋5＝245.
10. 四 【解析】△ABC与△A1BB1的底相等(AB＝A1B)，高为1∶2(BB1＝2BC)，故面积比为1∶2，∵S△ABC＝1，∴S△A1BB1＝2.同理可得，S△C1B1C＝2，S△AA1C1＝2，∴S△A1B1C1＝S△C1B1C＋S△AA1C1＋S△A1B1B＋S△ABC＝2＋2＋2＋1＝7，同理可证：S△A2B2C2＝7S△A1B1C1＝49，第三次操作后的面积为7×49＝343，第四次操作后的面积为7×343＝2401.故按此规律，要使得到的三角形的面积超过2016，最少经过四次操作．
11. 3n－1 【解析】由题可知，∠MON＝60°，不妨设Bn到ON的距离为hn，∵正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为1，则A1B1＝1，易知△A1OF1为等边三角形，∴A1B1＝OA1＝1，∴OB1＝2，则h1＝2×＝，又OA2＝A2F2＝A2B2＝3，∴OB2＝6，则h2＝6×＝3，同理可求：OB3＝18，则h3＝18×＝9，…，依此可求：OBn＝2×3n－1，则hn＝2×3n－1×＝3n－1，∴Bn到ON的距离hn＝3n－1.
类型四 坐标中的图形规律探索
12. B 【解析】∵菱形OABC的顶点O(0，0)，点B的坐标是(2，2)，∴BO与x轴的夹角为45°，∵菱形的对角线互相垂直平分，∴点D 是线段OB的中点，∴点D 的坐标是(1，1)，∵菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，360°÷45°＝8，∴每旋转8秒，菱形的对角线交点就回到原来的位置(1，1)，∵60÷8＝7……4，∴第60秒时菱形绕点O逆时针旋转了7周回到原来位置后，又旋转了4秒，即又旋转了4×45°＝180°，∴点D的对应点落在第三象限，且对应点与点D关于原点O成中心对称，∴第60秒时，菱形的对角线交点D的坐标为(－1，－1)．
13. (21008，0) 【解析】点B的位置依次落在第一象限、y轴正半轴、第二象限、x轴负半轴、第三象限、y轴负半轴、第四象限、x轴正半轴，…，每8次一循环.2016÷8＝252，所以点B2016落在x轴正半轴，故B2016的纵坐标是0；OBn是正方形的对角线，OB1＝，OB2＝2＝()2，OB3＝2＝()3，…，所以OB2016＝()2016＝21008，所以点B2016的坐标为(21008，0)．
14. －31007 【解析】∵A1(1，0)，∠A1A2O＝30°，∴A2(0，)，∵A3A2⊥A1A2 ，∴∠A3A2O＝60°，∴∠A2A3O＝30°， ∴A3(－3，0)，同理：A4(0，－3)，A5(9，0)，A6(0，9)，A7(－27，0)，A8(0，－27)，…，即：A2(0，)，A4(0，－3)，A6(0，9)，A8(0，－27)，列表如下：
A2
×(－3)0
…
(2－2)÷2＝0
A4
×(－3)1
…
(4－2)÷2＝1
A6
×(－3)2
…
(6－2)÷2＝2
A8
×(－3)3
…
(8－2)÷2＝3
A2016
×(－3)n
…
(2016－2)÷2＝n
∴n＝1007，∴A2016的纵坐标是－31007.
15. (－，) 【解析】在矩形OABC中，OA＝2，OC＝1，∴A(－2，0)，C(0，1)，∴对角线的交点为(－1，)，将矩形OABC以原点O为位似中心，放大为原来的倍，∴矩形A1OC1B1对角线的交点为(－，)，即(－，×)，继续放大为原来的倍，∴矩形A2OC2B2对角线的交点为(－，)，即(－，×)，…，依次类推，∴矩形AnOCnBn对角线的交点为(－，)．
第16题解图
16. (，－) 【解析】如解图，继续排列图形如下，观察发现，A1、A5、A9、…、A4n－3在点(2，0)的右侧，A3、A7、A11、…、A4n－1在点(2，0)的左侧，A2、A6、A10、…、A4n－2在第一象限，A4、A8、A12、…、A4n在第四象限，∴A100在第四象限，进一步观察发现：①A4、A8、A12、A4n的横坐标都为，②A4n所在等边三角形边长为2n＋1，可求得A100所在等边三角形边长为2×25＋1＝51，进一步可求点A100的纵坐标为－(×51)＝－，从而解得A100的坐标为(，－)．
类型五 与函数图象相关的规律探索
17. (2×3n－1，0) 【解析】∵A1(2，0)＝(2×30，0)，且A1B1⊥x轴，与直线y＝2x交于点B1，∴B1(2，4)，∵作等腰直角三角形△A1B1A2是等腰直角三角形，∴A2(6，0)＝(2×31，0)，∵A2B2⊥x轴，且与直线y＝2x交于点B2，∴B2(6，12)，∴A3(18，0)＝(2×32，0)，如此反复作等腰直角三角形，An(2×3n－1，0)．
18. 6＋6 【解析】由A点的坐标得OA＝1，由B点的坐标得OB＝2，则AB＝，由图象得直线OB与x轴的正方向的夹角为30°，于是A1的横坐标为：OA1·cos30°＝(2＋)×；A2的横坐标为：OO2·cos30°＝(2＋＋1)×；A3的横坐标为：OA3·cos30°＝(2＋＋1＋2＋)×；A4的横坐标为：(2＋＋1＋2＋＋1)×；…，于是A8的横坐标为：(2＋＋1＋2＋＋1＋2＋＋1＋2＋＋1)×＝6＋6.
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