中考数学全面突破：第五讲 不等式（组）及不等式的应用 含解析答案

第五讲　不等式(组)及不等式的应用

命题点分类集训

命题点1　解不等式(组)及其解集表示

【命题规律】1.考查内容：①解一次不等式；②解一次不等式并在数轴上表示解集；③解一次不等式组；④解一次不等式组并在数轴上表示解集；⑤求一次不等式组的整数解；⑥通过不等式组的解集确定不等式中未知字母；⑦结合程序框图考查不等式的解集.2.解不等式组及其解集在数轴上的表示考查较多，均在选择题或解答题中考查，填空题主要考查不等式(组)的解集．

【命题预测】解不等式(组)及其解集在数轴上表示是全国命题趋势之一，特别要注意解集在数轴上的表示方法．

1.将不等式3x－2＜1的解集表示在数轴上，正确的是(　　)

1. D

2.关于x的不等式组，其解集在数轴上表示正确的是(　　)

2. D

3不等式组的整数解的个数为(　　)

A. 0个　　　　　B. 2个　　　　　C. 3个　　　　　D. 无数个

3. C　【解析】根据不等式的性质求出不等式组的解集，再找出整数解．解不等式组，由①得：x≤1，由②得：x>－2，∴不等式组的解集为－2＜x≤1，∴不等式组的整数解有－1、0、1三个．

4.不等式3(x－1)≤5－x的非负整数解有(　　)

A. 1个  B. 2个  C. 3个  D. 4个

4. C　【解析】将不等式化简：去括号得，3x－3≤5－x；移项、合并同类项得，4x≤8；系数化为1得，x≤2，故原不等式的非负整数解为0，1，2，共3个，故选C.

5.不等式－x＋3＜0的解集是________．

5. x＞6　【解析】本题考查了一元一次不等式的解法．移项得，－x＜－3，系数化为1得，x＞6.

6.已知不等式组，在同一条数轴上表示不等式①，②的解集如图所示，则b－a的值为________．

6. 　【解析】解不等式②得x≤b，由不等式组的解集在数轴上的表示可得－2≤x≤3，所以得到－a－1＝－2，b＝3，解得a＝1，所以b－a＝3－1＝.

7.对一个实数x按如图所示的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个实数x”到“结果是否大于88？”为一次操作，如果操作只进行一次就停止，则x的取值范围是________．

7. x＞49　【解析】该操作程序相当于是按照2x－10来运算的，如果操作只进行一次就停止，则2x－10＞88，解得x＞49.

8.解不等式2x－1>，并把它的解集在数轴上表示出来．

8. 解：去分母得4x－2>3x－1，

解得x>1.

这个不等式的解集在数轴上表示如解图所示：

9.解不等式组：.

9. 解：解不等式2x＋5>3(x－1)得x<8，

解不等式4x>得x>1，

所以不等式组的解集为1<x<8.

10.解不等式组，并写出它的整数解．

10. 解：解不等式3x＋1≤2(x＋1)，得x≤1，

解不等式－x＜5x＋12，得x>－2，

∴不等式组的解集是－2<x≤1，

∴该不等式组的整数解是－1，0，1.

11.解不等式组.

请结合题意填空，完成本题的解答．

(Ⅰ)解不等式①，得____________；

(Ⅱ)解不等式②，得____________；

(Ⅲ)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：

(Ⅳ)原不等式组的解集为____________．

11. 解：(Ⅰ)x≤4；

(Ⅱ)x≥2；

(Ⅲ)

(Ⅳ)2≤x≤4.

命题点2　一次不等式的实际应用

【命题规律】1.考查内容：①列不等式解决实际问题，常与方程、函数结合考查；②不等式建模，并解出最终结果.2.命题常涉及的不等关系词有：大于、小于、超过、至少、至多、最多、不超过等．

【命题预测】一次不等式的实际应用常与方程、函数结合考查，解题时注意提取题中的关键词．

12.东营市出租车的收费标准是：起步价8元(即行驶距离不超过3千米都需付8元车费)，超过3千米以后，每增加1千米，加收1.5元(不足1千米按1千米计)．某人从甲地到乙地经过的路程是x千米，出租车费为15.5元，那么x的最大值是(　　)

A. 11  B. 8  C. 7  D. 5

12. B　【解析】设他乘此出租车从甲地到乙地行驶的路程是x千米，依题意得8＋1.5(x－3)≤15.5，解得x≤8.即他乘此出租车从甲地到乙地行驶路程不超过8千米，最大值为8.故选B.

13.有甲、乙、丙三种糖果混合而成的什锦糖100千克，其中各种糖果的单价和千克数如下表所示，商家用加权平均数来确定什锦糖的单价；

(1)求该什锦糖的单价；

(2)为了使什锦糖的单价每千克至少降低2元，商家计划在什锦糖中加入甲、丙两种糖果共100千克，问其中最多可加入丙种糖果多少千克？

13. 解：(1)由题意得＝22(元/千克)．

答：该什锦糖每千克22元．

(2)设加入丙种糖果x千克，则加入甲种糖果(100－x)千克，由题意得≤20，

解得x≤20.

答：最多可加入丙种糖果20千克．

命题点3　方程与不等式的实际应用

【命题规律】1.考查形式：一般为2～3问，第1问为方程(组) 的实际应用，第 2 问会涉及不等关系式，考查不等式的实际应用，若有第3问，一般会涉及方案的选取或求最优方案等，题型均为解答题．

【命题预测】方程(组)与不等式的实际应用将是全国命题的主流形式之一，利用方程(组)与不等式综合考查方案设计问题应引起重视．

14.某服装店用4500元购进一批衬衫，很快售完．服装店老板又用2100元购进第二批该款式的衬衫，进货量是第一次的一半，但进价每件比第一批降低了10元．

(1)这两次各购进这种衬衫多少件？

(2)若第一批衬衫的售价是200元/件，老板想让这两批衬衫售完后的总利润不低于1950元，则第二批衬衫每件至少要售多少元？

14. 解：(1)设第一次购进这种衬衫x件，第二次购进这种衬衫x件，根据题意得：＝＋10，

解得x＝30，

经检验x＝30是原方程的解，且符合题意，

∴x＝×30＝15.

答：第一次购进这种衬衫30件，第二次购进这种衬衫15件．

(2)设第二批衬衫每件销售a元，根据题意得：

30×(200－)＋15×(a－)≥1950，

解得a≥170.

答：第二批衬衫每件至少要售170元.

15.早晨，小明步行到离家900米的学校去上学，到学校时发现眼镜忘在家中，于是他立即按原路步行回家，拿到眼镜后立即按原路骑自行车返回学校. 已知小明步行从学校到家所用的时间比他骑自行车从家到学校所用的时间多10分钟，小明骑自行车速度是步行速度的3倍．

(1)求小明步行速度(单位：米/分)是多少；

(2)下午放学后，小明骑自行车回到家，然后步行去图书馆，如果小明骑自行车和步行的速度不变，小明步行从家到图书馆的时间不超过骑自行车从学校到家时间的2倍，那么小明家与图书馆之间的路程最多是多少米？

15. 解：(1)设小明步行速度为x米/分，则小明骑自行车的速度为3x米/分．根据题意得，

＝＋10，

解得x＝60，

经检验x＝60是原分式方程的解，

答：小明步行速度是60米/分．

(2)设小明家到图书馆之间的路程为a米，根据题意得，

≤2×，

∴a≤600，

答：小明家与图书馆的路程最多为600米．

中考冲刺集训

一、选择题

1.已知不等式组的解集是x≥1，则a的取值范围是(　　)

A. a<1　　　　B. a≤1　　　　C. a≥1　　　　D. a>1

2.不等式组的解集是(　　)

A. x＞－2  B. x＜1  C. －1＜x＜2  D. －2＜x＜1

3.不等式组的解集在数轴上表示为(　　)

4.不等式组的解集是x＞1，则m的取值范围是(　　)

A. m≥1     B. m≤1    C. m≥0     D. m≤0

5.点A，B在数轴上的位置如图所示，其对应的数分别是a和b.对于以下结论：

甲：b－a＜0；

乙：a＋b＞0；

丙：|a|＜|b|；

丁：＞0.

其中正确的是(　　)

A. 甲乙  B. 丙丁  C. 甲丙  D. 乙丁

6.不等式＞－1的正整数解的个数是(　　)

A. 1个  B. 2个  C. 3个  D. 4个

7.某经销商销售一批电话手表，第一个月以550元/块的价格售出60块，第二个月起降价，以500元/块的价格将这批电话手表全部售出，销售总额超过了5.5万元．这批电话手表至少有(　　)

A. 103块  B. 104块  C. 105块  D. 106块

二、填空题

8.不等式＞＋2的解是________．

9.不等式组的解集是________．

10.不等式5x－3＜3x＋5的最大整数解是________．

11.不等式组有3个整数解，则m的取值范围是________．

三、解答题

12. x取哪些整数值时，不等式5x＋2＞3(x－1)与x≤2－x都成立？

13.解不等式组，并写出该不等式组的最大整数解．

14.某商场计划购进A、B两种商品，若购进A种商品20件和B种商品15件需380元；若购进A种商品15件和B种商品10件需280元．

(1)求A、B两种商品的进价分别是多少元？

(2)若购进A、B两种商品共100件，总费用不超过900元，问最多能购进A种商品多少件？

15.某商场用24000元购入一批空调，然后以每台3000元的价格销售，因天气炎热，空调很快售完；商场又以52000元的价格再次购入该种型号的空调，数量是第一次购入的2倍，但购入的单价上调了200元，售价每台也上调了200元．

(1)商场第一次购入的空调每台进价是多少元？

(2)商场既要尽快售完第二次购入的空调，又要在这两次空调销售中获得的利润率不低于22%，打算将第二次购入的部分空调按每台九五折出售，最多可将多少台空调打折出售？

16.某市对初三综合素质测评中的审美与艺术维度进行考核，规定如下：考核综合评价得分由测试成绩(满分100分)和平时成绩(满分100分)两部分组成，其中测试成绩占80%，平时成绩占20%，并且当综合评价得分大于或等于80分时，该学生综合评价评为A等．

(1)孔明同学的测试成绩和平时成绩两项得分之和为185分，而综合评价得分为91分，则孔明同学测试成绩和平时成绩各得多少分？

(2)某同学测试成绩为70分，他的综合评价得分有可能达到A等吗？为什么？

(3)如果一个同学综合评价得分要达到A等，他的测试成绩至少要多少分？

答案与解析：

1. A　2. D　3. C

4. D　【解析】，解①得x＞1，解②得x＞1＋m，∵不等式组的解集是x＞1，∴m＋1≤1，∴m≤0，故选D.

5. C　【解析】∵由数轴可知b<－3<0<a<3，∴甲和丙的结论都正确，故选C.

6. D　【解析】解不等式＞－1得，3(x＋1)＞2(2x＋2)－6，3x＋3＞4x＋4－6，x＜5.∵小于5的正整数有1，2，3，4，∴该不等式的正整数解有1，2，3，4，共4个，故选D.

7. C　【解析】设这批电话手表有x块，根据“销售总额超过5.5万元”列不等式得550×60＋500(x－60)＞55000，解得x＞104，所以这批电话手表至少有105块．

8. x＞－3　9. －3<x≤1

10. 3　【解析】由不等式5x－3＜3x＋5，移项，5x－3x＜5＋3，合并同类项，2x＜8，系数化为1，x＜4，∴最大整数解为3.

11. 2＜m≤3　【解析】本题主要考查了一元一次不等式组的计算，特别注意最后解集范围的确定．∵原不等式组有3个整数解，且解集为：－1＜x＜m，∴三个整数解为0，1，2，∴2＜m≤3.

12. 解：不等式5x＋2＞3(x－1)可化为：x＞－，

不等式x≤2－x可化为：x≤1，

取公共部分：－＜x≤1，

∴满足条件的整数为－2，－1，0，1.

13. 解：，

解不等式①得，x≥－2；

解不等式②得，x＜1；

∴不等式组的解集为－2≤x＜1，

∴不等式组的最大整数解为x＝0.

14. 解：(1)设A种商品的进价为x元，B种商品的进价为y元，

根据题意，得

，解得，

答：A种商品的进价为16元，B种商品的进价为4元．

(2)设购进A种商品a件，则购进B种商品(100－a)件，根据题意，得

16a＋4(100－a)≤900，

解得a≤＝41，

∵a取正整数，

∴a的最大正整数解为a＝41，

答：最多能购进A种商品41件．

15. (1)【思路分析】根据 “第二次购入空调的数量＝第一次购入空调数量的2倍”，列方程求解即可．

解：设商场第一次购入的空调每台进价是x元，根据题意，得

＝2×，

解得x＝2400，

经检验，x＝2400是原方程的解且符合实际意义．

答：商场第一次购入的空调每台进价是2400元．

(2)【思路分析】先分别计算出每次购入空调的销售额，然后再根据题意列不等式求解即可．

解：第一次购入空调：24000÷2400＝10(台)，销售额为：

3000×10＝30000(元)；

第二次购入空调：52000÷(2400＋200)＝20(台)，

设打折出售y台空调，则销售额为：

(3000＋200)×(20－y)＋(3000＋200)×0.95y＝64000－160y，

两次共获得的利润为：

30000＋(64000－160y)－(24000＋52000)＝18000－160y，

根据题意，得18000－160y≥(24000＋52000)×22%，

解得y≤8，

答：最多可将8台空调打折出售．

16. 解：(1)设孔明同学测试成绩为x分，平时成绩为y分，

由题意得，

解得.

答：孔明同学测试成绩为90分，平时成绩为95分．

(2)设该同学平时成绩为100分，则他的综合评价得分为：

70×80%＋100×20%＝76＜80，

因此他的综合评价得分不可能达到A等．

(3)设他的测试成绩为a分，则

a×80%＋100×20%≥80，

解得a≥75.

答：他的测试成绩至少要75分．