高中数学高考8 第8讲　函数与方程　新题培优练

[基础题组练]

1．(2019·沧州模拟)设f(x)是区间[－1，1]上的增函数，且f·f＜0，则方程f(x)＝0在区间[－1，1]内(　　)

A．可能有3个实数根　　　 B．可能有2个实数根

C．有唯一的实数根 D．没有实数根

解析：选C.因为f(x)在区间[－1，1]上是增函数，且f·f＜0，所以f(x)在区间上有唯一的零点．所以方程f(x)＝0在区间[－1，1]内有唯一的实数根．

2．设f(x)＝3x－x2，则在下列区间中，使函数f(x)有零点的区间是(　　)

A．[0，1] B．[1，2]

C．[－2，－1] D．[－1，0]

解析：选D.因为f(x)＝3x－x2，所以f(－1)＝3－1－1＝－＜0，f(0)＝30－0＝1＞0，所以f(－1)·f(0)＜0.

3．(一题多解)(2019·南宁模拟)设函数f(x)＝ln x－2x＋6，则f(x)零点的个数为(　　)

A．3 B．2

C．1 D．0

解析：选B.法一：函数f(x)＝ln x－2x＋6的定义域为(0，＋∞)．f′(x)＝－2＝，令f′(x)＝0，得x＝，当0＜x＜时，f′(x)＞0，当x＞时，f′(x)＜0，所以函数f(x)在上单调递增，在上单调递减．因为f＝－4－＜0，f＝5－ln 2＞0，f(e2)＝8－2e2＜0，所以函数f(x)在，上各有一个零点，所以函数f(x)的零点个数为2，故选B.

法二：令f(x)＝0，则ln x＝2x－6，令g(x)＝ln x，h(x)＝2x－6(x＞0)，在同一平面直角坐标系中画出这两个函数的图象，如图所示，两个函数图象的交点个数就等于函数f(x)零点的个数，容易看出函数f(x)零点的个数为2，故选B.

4．已知函数f(x)＝－log3x，若x0是函数y＝f(x)的零点，且0＜x1＜x0，则f(x1)的值(　　)

A．恒为正值 B．等于0

C．恒为负值 D．不大于0

解析：选A.因为函数f(x)＝－log3x在(0，＋∞)上是减函数，所以当0＜x1＜x0时，有f(x1)＞f(x0)．又x0是函数f(x)的零点，因此f(x0)＝0，所以f(x1)＞0，即此时f(x1)的值恒为正值，故选A.

5．已知函数f(x)＝则使函数g(x)＝f(x)＋x－m有零点的实数m的取值范围是(　　)

A．[0，1) B．(－∞，1)

C．(－∞，1]∪(2，＋∞) D．(－∞，0]∪(1，＋∞)

解析：选D.函数g(x)＝f(x)＋x－m的零点就是方程f(x)＋x＝m的根，画出h(x)＝f(x)＋x＝的大致图象(图略)．观察它与直线y＝m的交点，得知当m≤0或m＞1时，有交点，即函数g(x)＝f(x)＋x－m有零点．

6．(2019·江西八所重点中学联考)已知f(x)＝，若关于x的方程a＝f(x)恰有两个不同的实根，则实数a的取值范围是(　　)

A.∪[1，2)     B.∪[1，2)

C．(1，2)     D．[1，2)

解析：选B.关于x的方程a＝f(x)恰有两个不同的实根，即函数f(x)的图象与直线y＝a恰有两个不同的交点，作出函数f(x)的图象如图所示，由图象可得实数a的取值范围是∪[1，2)，故选B.

7．(2019·河南郑州质检)已知函数f(x)＝－cos x，则f(x)在[0，2π]上的零点个数为________．

解析：如图，作出g(x)＝与h(x)＝cos x的图象，可知其在[0，2π]上的交点个数为3，所以函数f(x)在[0，2π]上的零点个数为3.

答案：3

8．函数f(x)＝＋2cos πx(－4≤x≤6)的所有零点之和为________．

解析：可转化为两个函数y＝与y＝－2cos πx在[－4，6]上的交点的横坐标的和，因为两个函数均关于x＝1对称，所以两个函数在x＝1两侧的交点对称，则每对对称点的横坐标的和为2，分别画出两个函数的图象易知两个函数在x＝1两侧分别有5个交点，所以5×2＝10.

答案：10

9．若函数f(x)＝(m－2)x2＋mx＋(2m＋1)的两个零点分别在区间(－1，0)和区间(1，2)内，则m的取值范围是________．

解析：依题意，结合函数f(x)的图象分析可知m需满足

即

解得＜m＜.

答案：

10．已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝kx－恰有4个不相等的实数根，则实数k的取值范围是________．

解析：若关于x的方程f(x)＝kx－恰有4个不相等的实数根，则f(x)的图象和直线y＝kx－有4个交点．作出函数f(x)的图象，如图，故点(1，0)在直线y＝kx－的下方．所以k·1－＞0，解得k＞.

当直线y＝kx－和y＝ln x相切时，设切点横坐标为m，则k＝＝，所以m＝.此时，k＝＝，f(x)的图象和直线y＝kx－有3个交点，不满足条件，故要求的k的取值范围是.

答案：

11．设函数f(x)＝(x>0)．

(1)作出函数f(x)的图象；

(2)当0<a<b，且f(a)＝f(b)时，求＋的值；

(3)若方程f(x)＝m有两个不相等的正根，求m的取值范围．

解：(1)如图所示．

(2)因为f(x)＝

＝

故f(x)在(0，1]上是减函数，而在(1，＋∞)上是增函数，

由0<a<b且f(a)＝f(b)，得0<a<1<b，

且－1＝1－，所以＋＝2.

(3)由函数f(x)的图象可知，当0<m<1时，方程f(x)＝m有两个不相等的正根．

12．已知函数f(x)＝－x2－2x，g(x)＝

(1)求g(f(1))的值；

(2)若方程g(f(x))－a＝0有4个实数根，求实数a的取值范围．

解：(1)利用解析式直接求解得g(f(1))＝g(－3)＝－3＋1＝－2.

(2)令f(x)＝t，则原方程化为g(t)＝a，易知方程f(x)＝t在t∈(－∞，1)内有2个不同的解，

则原方程有4个解等价于函数y＝g(t)(t<1)与y＝a的图象有2个不同的交点，作出函数y＝g(t)(t<1)的图象(图略)，由图象可知，当1≤a<时，函数y＝g(t)(t<1)与y＝a有2个不同的交点，即所求a的取值范围是.

[综合题组练]

1．(应用型)已知函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝log2x＋x，h(x)＝x3＋x的零点依次为a，b，c，则a，b，c的大小关系为(　　)

A．a＜b＜c B．a＜c＜b

C．a＞b＞c D．c＞a＞b

解析：选B.f(x)＝2x＋x的零点a为函数y＝2x与y＝－x图象的交点的横坐标，由图象(图略)可知a＜0，g(x)＝log2x＋x的零点b为函数y＝log2x与y＝－x图象的交点的横坐标，由图象(图略)知b＞0，令h(x)＝0，得c＝0.故选B.

2．(创新型)(2019·兰州模拟)已知奇函数f(x)是R上的单调函数，若函数y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)只有一个零点，则实数λ的值是(　　)

A. B.

C．－ D．－

解析：选C.因为函数y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)只有一个零点，所以方程f(2x2＋1)＋f(λ－x)＝0只有一个实数根，又奇函数f(x)是定义在R上的单调函数，所以f(－x)＝－f(x)，所以f(2x2＋1)＋f(λ－x)＝0⇔f(2x2＋1)＝－f(λ－x)⇔f(2x2＋1)＝f(x－λ)⇔2x2＋1＝x－λ，所以方程2x2－x＋1＋λ＝0只有一个实数根，所以Δ＝(－1)2－4×2×(1＋λ)＝0，解得 λ＝－.故选C.

3．(应用型)(2019·甘肃一模)已知定义在R上的函数y＝f(x)对任意的x都满足f(x＋2)＝f(x)，当－1≤x＜1时，f(x)＝sin x，若函数g(x)＝f(x)－loga|x|至少有6个零点，则a的取值范围是(　　)

A.∪(5，＋∞) B.∪[5，＋∞)

C.∪(5，7) D.∪[5，7)

解析：选A.当a＞1时，作出函数f(x)与函数y＝loga|x|的图象，如图所示．

结合图象可知，故a＞5；

当0＜a＜1时，作出函数f(x)与函数y＝loga|x|的图象，如图所示．

结合图象可知，故0＜a≤.故选A.

4．设函数f(x)＝，x∈R且x≠1.

(1)求f＋f＋f＋f＋f(4)＋f(6)＋f(8)＋f(10)的值；

(2)就m的取值情况，讨论关于x的方程f(x)＋x＝m在x∈[2，3]上解的个数．

解：(1)根据题意，函数f(x)＝，则f＝＝＝－，

则f(x)＋f＝0，

则f＋f＋f＋f＋f(4)＋f(6)＋f(8)＋f(10)＝f＋f(10)＋f＋f(8)＋f＋f(6)＋f＋f(4)＝0.

(2)根据题意，设g(x)＝f(x)＋x＝＋x＝(x－1)＋＋2，

令t＝x－1，又由x∈[2，3]，则t∈[1，2]，

则设h(t)＝t＋＋2，

有h′(t)＝1－＝，

分析可得：在区间[1，]上，h(t)单调递减，在区间[，2]上，h(t)单调递增；

则h(t)在[1，2]有最小值h()＝2＋2，

且h(1)＝h(2)＝5，

则函数h(t)在区间[1，2]上有最大值5，最小值2＋2，

方程f(x)＋x＝m的解的个数即为函数g(x)与直线y＝m的交点个数，

分析可得：当m＜2＋2时，函数g(x)与直线y＝m没有交点，方程f(x)＋x＝m无解；

当m＝2＋2时，函数g(x)与直线y＝m有1个交点，方程f(x)＋x＝m有1个解；

当2＋2＜m≤5时，函数g(x)与直线y＝m有2个交点，方程f(x)＋x＝m有2个解；

当m＞5时，函数g(x)与直线y＝m没有交点，方程f(x)＋x＝m无解；

综上可得，当m＜2＋2或m＞5时，方程f(x)＋x＝m无解；

当m＝2＋2时，方程f(x)＋x＝m有1个解；

当2＋2＜m≤5时方程f(x)＋x＝m有2个解．